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% Tapuscrit Olivier Reboux
%Corrigé : Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  STI Génie électronique, électrotechnique, optique}%
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{21 juin 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Méropole 21 juin 2012~\decofourright\\[4pt] Génie électronique, électrotechnique, optique}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip
 
%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée.
% 
%Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte. Chaque bonne réponse rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse n'enlève pas de point. On notera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.
%
%\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv.
% 
%On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item L'écriture exponentielle de $- 2 + 2\text{i}$ est: 
%	\begin{enumerate}
%		\item $-2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ 
%		\item $\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}$
%		\item $2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ 
%		\item $2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ 
%	\end{enumerate} 

$|- 2 + 2\text{i}|^2 = 4 + 4 = 4 \times 2$, donc $|- 2 + 2\text{i}| = 2\sqrt{2}$.

$- 2 + 2\text{i} = 2\sqrt{2}\left(- \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i} \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = 2\sqrt{2}\left(\cos \dfrac{3\pi}{4} + \text{i}\sin \dfrac{3\pi}{4} \right) = 2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$. Réponse \textbf{d.}
\item La transformation qui, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe 
$z'  = z + \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ est : 
%	\begin{enumerate}
%		\item La rotation de centre O et d'angle $\dfrac{3\pi}{4}$
%		\item La translation de vecteur $\vect{w}$ d'affixe $\dfrac{\sqrt{2}}{2}  - \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 
%		\item La rotation de centre O et d'angle  $- \dfrac{\pi}{4}$ 
%		\item La translation de vecteur $\vect{w}$ d'affixe  $- \dfrac{\sqrt{2}}{2}   +\text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
%	\end{enumerate}

Réponse \textbf{b.}		 
\item Soient A, B, C et D les points d'affixes $z_{\text{A}} = 1 + \text{i},  z_{\text{B}} = 3 - 2\text{i}, z_{\text{C}} = 4$ et $z_{\text{D}} = 2 + 3\text{i}$. 
%	\begin{enumerate}
%		\item $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ ont le même module 
%		\item O appartient au cercle de diamètre [BD] 
%		\item A appartient à la médiatrice du segment (BC] 
%		\item $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{D}}$ ont des modules opposés
%	\end{enumerate}
Une figure permet de conjecturer que l'affirmation \textbf{b.} est vraie :

OB$^2 = 9 + 4 = 13 ; \text{OD}^2 = 4 + 9 = 13$ et BD$^2 = (- 1)^2 + 5^2 = 26$.

Comme $ 13 + 13 = 26 \iff \text{OB}^2 + \text{OD}^2 = \text{BD}^2 \iff $\:OBD est rectangle en O d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le point O appartient au cercle de diamètre [BD].
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Soit l'équation différentielle $y^{\prime\prime} + 9y = 0$ où $y$ désigne une fonction deux fois dérivable sur l'ensemble des nombres réels. Une fonction $f$ solution de cette équation est définie par : 
%	\begin{enumerate}
%		\item $f(x) = 3$ 
%		\item $f(x) = \sin (3x)$ 
%		\item $f(x) = \text{e}^{3x}$ 
%		\item $f(x) = x^2 - 4$ 
%	\end{enumerate}
Réponse : \textbf{b.}, vérification immédiate.
\item %On considère l'équation différentielle $y^{\prime} + 2y = 0$ où $y$ désigne une fonction dérivable sur l'ensemble des nombres réels. La représentation graphique d'une solution de cette équation différentielle dans un repère orthonormal est : 
%	\begin{enumerate}
%		\item \psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture*}(-2,-3)(3,3)
%\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-2,-3)(3,3)
%\psplot{-0.5}{1.5}{4 x mul 2 sub}
%\end{pspicture*}
%		\item \begin{pspicture*}(-1.5,-1)(3,3.5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-1.5,-1)(3,3.5)
%\psplot{-0.7}{2.5}{2.71828 x neg exp}
%\end{pspicture*}
%		\item \begin{pspicture*}(-1.5,-1.5)(6.5,2)
%\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-1.5,-1.5)(6.5,2)
%\psplot{-1.5}{6.5}{180 x mul 3.141 div cos}
%\end{pspicture*}
%		\item  \begin{pspicture*}(-3,-2)(5,4)
%\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-3,-2)(5,4)
%\psplot{-2.5}{4.5}{x 1 sub dup mul 0.5 neg  mul 3.5 add }
%\end{pspicture*}

Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions $x \longmapsto C\text{e}^{- 2x}$, avec $C \in \R$. La droite et la parabole ne peuvent convenir et la troisième est périodique ce qui n'est pas possible. Reste la solution \textbf{b.} et la solution est $x \longmapsto \text{e}^{- 2x}$ car $y(0) = 1$ entra\^{\i}ne $C = 1$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

%Émile possède quatre pièces de monnaie, une pièce de 2 \euro, une pièce de 1 \euro{} et deux pièces de 0,50 \euro{} et de quatre gobelets d'apparence identique. Sous chacun de ces gobelets, il place exactement une pièce de monnaie.
% 
%Il demande à son camarade Robert de soulever au hasard un gobelet puis un deuxième.
% 
%Il note alors la valeur de la pièce placée sous le premier gobelet soulevé puis la valeur de la pièce placée sous le second gobelet soulevé.
% 
%Chaque issue de cette expérience aléatoire est donc un couple de nombres. Par exemple, (1~;~0,5) est le couple obtenu en découvrant d'abord la pièce de 1 \euro{} et ensuite une pièce de 0,50 \euro.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %À l'aide d'un arbre ou d'un tableau, déterminer tous les tirages possibles. 
~
\begin{center}
\pstree[linecolor=red,treemode=R,treesep=0.25cm,levelsep=3cm,nodesep=2pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{2~\euro}}
	{\TR{1~\euro\quad (2~\euro~;~1~\euro)}  \TR{0,50~\euro\quad (2~\euro~;~0,50~\euro)} \TR{0,50~\euro \quad (2~\euro~;~0,50~\euro)}
     }
	\pstree{\TR{1~\euro}}
	{\TR{2~\euro\quad (1~\euro~;~2~\euro)}  \TR{0,50~\euro\quad (1~\euro~;~0,50~\euro)} \TR{0,50~\euro\quad (1~\euro~;~0,50~\euro)}
     }
  \pstree{\TR{0,50~\euro}}
	{\TR{2~\euro\quad (0,50~\euro~;~2~\euro)}  \TR{1~\euro\quad (0,50~\euro~;~1~\euro)} \TR{0,50~\euro\quad (0,50~\euro~;~0,50~\euro)}
     }
\pstree{\TR{0,50~\euro}}
	{\TR{2~\euro\quad (0,50~\euro~;~2~\euro)}  \TR{1~\euro\quad (0,50~\euro~;~1~\euro)} \TR{0,50~\euro\quad (0,50~\euro~;~0,50~\euro)}
     }
}
\end{center}

Il y a 12 issues possibles.
\item %On admet que toutes les issues sont équiprobables. 

%%On note A l'évènement : \og Les deux pièces découvertes par Robert ont des valeurs différentes \fg. 

Il y a 10 issues sur 12 comprenant des termes différents, donc $p(\text{A}) = \dfrac{10}{2} = \dfrac{5}{6}$.

%Montrer que la probabilité de l'évènement A est égale $\dfrac{5}{6}$.  
\item %On définit la variable aléatoire $S$ qui, à chaque issue, associe la somme des valeurs indiquées sur les deux pièces découvertes. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelles sont les valeurs prises par $S$ ?
		
		On obtient comme sommes : 3, 2,50,  1,50, 1~\euro. 
		\item %Donner la loi de probabilité de $S$.
Les sommes précédentes sortent respectivement 2 ; 4  ; 4 ; 2 fois d'o\`u le tableau de la loi de probabilité de $S$

\begin{center}

\renewcommand\arraystretch{1.9}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$S$							&3				&2,50			&1,50			&1\\ \hline
$p\left(S = s_{i}\right)$	&$\dfrac{2}{12}$&$\dfrac{4}{12}$&$\dfrac{4}{12}$&$\dfrac{2}{12}$\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\end{center}  
		\item %Calculer l'espérance mathématique de $S$. Interpréter ce nombre.
		On a E$(S) = 3 \times \dfrac{2}{12} + 2,50 \times \dfrac{4}{12} +  1,50 \times \dfrac{4}{12} + 1 \times \dfrac{2}{12} = \dfrac{6 + 10 + 6 + 2}{12} = \dfrac{24}{12} = 2$~\euro.
		
Ceci signifie qu'en moyenne sur un grand de parties la somme moyenne obtenue sera voisine de 2~\euro.
	\end{enumerate} 
\item %Robert découvre deux pièces au hasard comme indiqué auparavant. On note B l'évènement : \og Robert a assez d'argent en main pour acheter un magazine à 1,30 \euro{} \fg. Déterminer la probabilité de l'évènement B.
Il y a $4 + 4 + 2 = 10$ issues donnant une somme supérieure à 1,30~\euro. La probabilité de l'évènement B est donc égale à :

$p(\text{B}) = \dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6}$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip 
 
\textbf{Partie A : Étude graphique d'une inéquation}

%\medskip
% 
%Sur le graphique ci-dessous sont tracées la courbe représentant la fonction logarithme népérien et la parabole d'équation $y = \dfrac{1}{2}x^2 + 1$ dans un repère orthogonal \Oij. 
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\psset{unit=0.6cm}
%\begin{pspicture}(-4,-3)(12,9)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-4,-3)(12,9)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
%\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dl](0,0){O}
%\psplot[plotpoints=5000]{-4}{4}{x dup mul 2 div 1 add}
%\psplot[plotpoints=5000]{0.1}{12}{x ln}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%À l'aide du graphique, expliquer pourquoi on peut conjecturer que, pour tout nombre réel $x$ strictement positif, 
%
%\[\dfrac{1}{2}x^2 + 1 - \ln x > 0.\] 
%
%\textbf{Ce résultat est admis dans la suite du problème.}
Le graphique permet de conjecturer que, pour tout nombre réel $x$ strictement positif la parabole est au dessus de la  courbe représentant la fonction logarithme népérien, soit 

$\dfrac{1}{2}x^2 + 1 > \ln x \iff \dfrac{1}{2}x^2 + 1 - \ln x > 0$.
\medskip

\textbf{Partie B : Calculatrice et conjectures}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 
% 
% \[f(x) = \dfrac{1}{2}x - 1 + \dfrac{\ln x}{x}.\] 
%
%On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij{} du plan, $\Delta_{1}$ et $\Delta_{2}$  les droites d'équations respectives $y = \dfrac{1}{2}x - 1$ et $y = \dfrac{3}{2}x - 2$. 
%
%La courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\Delta_{1}$ ont été représentées à l'aide d'un grapheur. Le graphique obtenu est donné en annexe. Cette annexe est à compléter et à rendre avec la copie.
% 
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Sur l'annexe, tracer la droite $\Delta_{2}$.
Les points de coordonnées $(0~;~- 2)$ et (2~;~1) appartiennent à la droite $\Delta_{2}$. 
\item %À l'aide du graphique, conjecturer les réponses aux questions posées ci-dessous : 
	\begin{enumerate}
		\item %Quel est le sens de variation de la fonction $f$ sur $]0~;~+ \infty[$ ?
La fonction $f$ est croissante sur $]0~;~+ \infty[$		 
		\item %Quelles sont les limites de la fonction $f$ en $+ \infty$ et en $0$ ?
On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = + \infty$ et  $\displaystyle\lim_{x \to 0}f(x) = - \infty$.
		\item %Que représente la droite $\Delta_{1}$ pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
$\Delta_{1}$ semble être asymptote à  $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini.
		\item %Que représente la droite $\Delta_{2}$ pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
$\Delta_{2}$ semble être la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Vérification des conjectures}

%\medskip
% 
%L'objectif de cette partie est de démontrer les conjectures émises dans la partie précédente. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ puis en $0$.
On sait que  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\ln x}{x} = 0$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{1}{2}x - 1 = + \infty$, d'o\`u par somme de limites :

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = + \infty$.

$\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{1}{2}x - 1 = - 1$ et comme $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty$, $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\ln x}{x} = - \infty$, d'o\`u par somme de limites :

$\displaystyle\lim_{x \to 0}f(x) = - \infty$
\item %On désigne par $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f^{\prime}(x)$ pour tout réel $x$ strictement positif.
		$f$ est une somme de fonctions dérivables sur $]0~;~+ \infty[$ et en dérivant le quotient  
		
$f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\frac{1}{x}\times x - 1 \times \ln x}{x^2} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$. 
		\item %Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, $f^{\prime}(x) =  \dfrac{1}{x^2}\left(\dfrac{1}{2}x^2 + 1 - \ln x \right)$.
En factorisant $\dfrac{1}{x^2}$ on obtient :
		
$f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x^2}\left(\dfrac{1}{2}x^2 + 1 - \ln x  \right)$.		 
		\item %À l'aide de la partie A, étudier le signe de $f^{\prime}(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ et en déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ ?
Comme $\dfrac{1}{x^2} > 0$, quel que soit le réel $x$ supérieur à zéro, le signe de $f^{\prime}(x)$ est celui du facteur $\dfrac{1}{2}x^2 + 1 - \ln x $. Or on a admis que ce nombre est supérieur à zéro. Conclusion : quel que soit $x \in ]0~;~+ \infty[,\: f'(x) > 0$ ; on en déduit que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left[f(x) - \left(\dfrac{1}{2}x - 1\right)\right]$.
On a  $f(x) - \left(\dfrac{1}{2}x - 1\right) = \dfrac{1}{2}x - 1 + \dfrac{\ln x}{x} - 
\left(\dfrac{1}{2}x - 1\right) = - 1 + \dfrac{\ln x}{x} + 1 = \dfrac{\ln x}{x}$.

Or, on sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\ln x}{x} = 0$, donc 
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\left[f(x) - \left(\dfrac{1}{2}x - 1\right)\right] = 0$.
		\item %Que peut-on en déduire pour la droite $\Delta_{1}$ ?
Géométriquement le résultat précédent signifie que la droite $\Delta_{1}$ est asymptote oblique à 
$\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini. 
		\item %Étudier la position relative de la droite $\Delta_{1}$ et de la courbe $\mathcal{C}$.
On a vu que $f(x) - \left(\dfrac{1}{2}x - 1\right) = = - 1 + \dfrac{\ln x}{x} + 1 = \dfrac{\ln x}{x}$. Le signe de cette différence est celui de $\ln x$ puisque $x > 0$. Donc :

$\bullet~~$$\ln x > 0 \iff x > 1$ : $f(x) > \dfrac{1}{2}x - 1$ ; la courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de son asymptote.

$\bullet~~$$\ln x = 0 \iff x = 1$ : $f(1) = \dfrac{1}{2}\times 1 - 1$ ; la courbe $\mathcal{C}$ et  son asymptote ont un point commun.

$\bullet~~$$\ln x < 0 \iff 0 < x < 1$ : $f(x) < \dfrac{1}{2}x - 1$ ; la courbe $\mathcal{C}$ est au-dessous de son asymptote.
 
		\item %Démontrer la conjecture émise quant à ce que représente la droite $\Delta_{2}$ pour la courbe  $\mathcal{C}$.
On a $f^{\prime}(1)  = 	\dfrac{1}{1^2}\left(\dfrac{1}{2}\times 1^2 + 1 - \ln 1 \right) = \dfrac{3}{2}$.

D'autre part $f(1) = \dfrac{1}{2}\times 1 - 1 + \dfrac{\ln 1}{1} = - \dfrac{1}{2}$.

Une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ est $y - f(1) = f^{\prime}(1)(x - 1)$, soit 

$y + \dfrac{1}{2} =  \dfrac{3}{2}(x - 1) \iff y = - \dfrac{1}{2} +  \dfrac{3}{2}x -  \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2}x - 2$ : c'est bien l'équation de $\Delta_{2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie D : Calcul d'aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Soit $G$ et $g$ les fonctions définies sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$  par 

%\[G(x) = \dfrac{1}{2}(\ln x)^2\quad \text{et}\quad  g(x) = \dfrac{\ln x}{x}\] 

%Montrer que la fonction $G$ est une primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
Sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, $G$ est dérivable et sur cet intervalle :

$G^{\prime}(x) = 2 \times \dfrac{1}{2}(\ln x)\times \dfrac{1}{x} = \dfrac{\ln x}{x} = g(x)$.

Ce dernier résultat montre que $G$ est une primitive de $g$ sur $]0~;~+ \infty[$  
\item %Calculer l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine hachuré sur le graphique fourni en annexe.
On a vu que pour $x > 1$ et a fortiori sur [2~;~4], la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de la droite $\Delta_{1}$, donc l'aire de la surface hachurée est égale (en unité d'aire) à l'intégrale :

$\displaystyle\int_{2}^4 f(x) - \left(\dfrac{1}{2}x - 1 \right)\: \text{d}x = \displaystyle\int_{2}^4 \dfrac{\ln x}{x}\:\text{d}x = \displaystyle\int_{2}^4 g(x)\:\text{d}x  = G(4) - G(2) = 
\dfrac{1}{2}(\ln 4)^2 - \dfrac{1}{2}(\ln 2)^2$.

Or $\ln 4 = \ln 2^2 = 2\ln 2$, donc l'aire de la surface hachurée est égale à :

$\dfrac{1}{2}(2\ln 2)^2 - \dfrac{1}{2}(\ln 2)^2 = 2 (\ln 2)^2 - \dfrac{1}{2}(\ln 2)^2 = \dfrac{3}{2}(\ln 2)^2 \approx 0,72$~(u. a.).
\end{enumerate} 

\begin{landscape}
\begin{center}
 
 
\psset{unit=0.85cm}
\begin{pspicture*}(-1,-5)(19,8.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,-5)(19,8.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-5)(19,8.5)
\uput[u](5.5,2){\blue $\mathcal{C}$}\uput[d](7.5,2.8){$\Delta_{1}$}
\psplot{-0.5}{18.5}{0.5 x mul 1 sub}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1}{18.5}{0.5 x mul 1 sub x ln x div add}
\psplot[linecolor=red]{0}{6.3333}{x 3 mul 2 div 2 sub}\rput(6.2,6.8){$\Delta_{2}$}
\rput{-90}(20.5,1.75){\textbf{ANNEXE}}
\rput{-90}(19.5,1.75){\textbf{À rendre avec la copie}}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2}{4}{0.5 x mul 1 sub x ln x div add}
\psline(4,1)(2,0)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1}{18.5}{0.5 x mul 1 sub x ln x div add}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{landscape}
\end{document}