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% Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STI génie électronique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{13 septembre 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Métropole 13 septembre 2012~\decofourright\\[4pt]Génie électronique, électrotechnique \& optique}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. 
%
%Chaque réponse exacte rapporte $1$ point ; une réponse fausse ou une absence de réponse vaut $0$ point. 
%
%Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses proposées est exacte. 
%
%Recopier sur la copie cette réponse exacte.
%
%\medskip
% 
%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv. On note i le nombre complexe de
%module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 
%
%On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ avec: 
%
%\[z_{\text{A}} = - \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}\quad \text{et}\quad z_{\text{B}} = - 1 - \text{i}\sqrt{3}.\]

\begin{enumerate}
\item %Le nombre complexe $z_{\text{A}}$ est solution de l'équation : 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
%\textbf{a.}~~ $\text{i}z - \sqrt{2}  - \text{i}\sqrt{2} = 0$&\textbf{b.}~~ $ \text{i}z -\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2} = 0$&\textbf{c.}~~$\text{i}z + \sqrt{2}  + \text{i}\sqrt{2} = 0$
%\end{tabularx}
%\medskip 
Première équation : $\text{i}\left(- \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2} \right) - \sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2} = - \text{i} \sqrt{2} + \sqrt{2} - \sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2} = - 2\text{i}\sqrt{2}\neq 0$

Deuxième équation : $\text{i}\left(- \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2} \right) - \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2} = - \text{i} \sqrt{2} - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2} = - 2\sqrt{2}\neq 0$ ;

Troisième équation : $\text{i}\left(- \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2} \right) + \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2} = - \text{i} \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2} = 0$. Réponse \textbf{c.}
\item %Le nombre complexe $z_{\text{B}}$ est solution de l'équation :
%
%\medskip 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
%\textbf{a.}~~ $z^2 - 2z + 4 = 0$&\textbf{b.}~~ $z^2 + 2z + 4 = 0$&\textbf{c.}~~ $ 
% z^2 - 2z - 4 = 0$
% \end{tabularx}
% \medskip
Première équation : $\left(- 1 - \text{i}\sqrt{3} \right)^2 - 2\left(- 1 - \text{i}\sqrt{3} \right) + 4 = 1 - 3 + 2\text{i}\sqrt{3} + 2 + 2\text{i}\sqrt{3} + 4 = 4 + 4\text{i}\sqrt{3}\neq 0$ ;

Deuxième équation : $\left(- 1 - \text{i}\sqrt{3} \right)^2 + 2\left(- 1 - \text{i}\sqrt{3} \right) + 4 = 1 - 3 + 2\text{i}\sqrt{3} - 2 - 2\text{i}\sqrt{3} + 4 = 0$.

Troisième équation : $\left(- 1 - \text{i}\sqrt{3} \right)^2 - 2\left(- 1 - \text{i}\sqrt{3} \right) - 4 = 1 - 3 + 2\text{i}\sqrt{3} + 2 + 2\text{i}\sqrt{3} - 4 =  4\text{i}\sqrt{3} - 4 \neq 0$. Réponse \textbf{b.} 
\item L'écriture exponentielle du nombre complexe $z_{\text{B}}$ est : 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
%\textbf{a.}~~ $2\text{e}^{- \frac{\pi}{6}\text{i}}$&\textbf{b.}~~ $2\text{e}^{- \frac{2\pi}{3}\text{i}}$&\textbf{b.}~~$\sqrt{2}\text{e}^{- \frac{2\pi}{3}\text{i}}$
% \end{tabularx}
% \medskip
On a $\left|z_{\text{B}} \right|^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2$, donc  $\left|z_{\text{B}} \right| = 2$ ;

Donc $z_{\text{B}} = 2\left(- \dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2\left(\cos \frac{-2\pi}{3} + \text{i} \sin \frac{-2\pi}{3} \right) = 2\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}$. Réponse \textbf{b.}
\item %Le triangle OAB est :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}  
%\textbf{a.}~~  équilatéral& \textbf{b.}~~ rectangle et isocèle& \textbf{c.}~~  isocèle
%\end{tabularx}
%\medskip
De même $z_{\text{A} = 2 \left(- \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)}  = 2\text{e}^{- \text{i}\frac{3\pi}{4}}$.

On a donc OA = OB : le triangle OAB est isocèle mais pas équilatéral. Réponse \textbf{c.}
\item %Soit C le point d'affixe $- 2\text{i}$.
 
%Le point C est l'image du point B par la rotation du plan complexe qui à tout point $M$ d'affixe $z$ fait correspondre le point d'affixe $z'$ tel que: 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}  
%\textbf{a.}~~$z' = z\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$&\textbf{b.}~~$z' = z + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$&\textbf{b.}~~$z'' = z \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$
%\end{tabularx}
%\medskip

On a $z_{\text{B}} \times \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}} = 2 \text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}\times \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}} = 2 \text{e}^{-\text{i}\frac{3\pi}{6}} = - 2\text{i}$.

Réponse \textbf{a.}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

%On interroge \np{2000}~ personnes qui possèdent un téléphone portable. On leur demande quel est leur opérateur de téléphonie et quelle est la durée mensuelle de communication de leur forfait. On consigne les résultats dans un fichier. L'analyse de ce fichier permet d'obtenir les résultats suivants :
%
%\begin{center} 
%\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&$1/2$ heure &1 heure &2 heures\\ \hline 
%Opérateur A &100 &500 &300\\ \hline  
%Opérateur B &40 &100 &160\\ \hline  
%Opérateur C &300 &300 &200\\ \hline 
%\end{tabularx} 
%\end{center}
%
%On choisit au hasard le nom d'une personne dans le fichier. On suppose que chaque nom a la même chance d'être choisi.
% 
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la probabilité des évènements suivants : 
%E : \og le nom choisi est celui d'une personne cliente de l'opérateur C \fg.
% 
%F : \og le nom choisi est celui d'une personne qui possède un forfait d'une demi-heure chez l'opérateur C \fg.
% 
%G : \og le nom choisi est celui d'une personne qui possède un forfait d'une demi-heure ou qui a opté pour l'opérateur C \fg.
% 
%H : \og le nom choisi est celui d'une personne qui possède un forfait d'une durée d'au moins une heure \fg.
On a $p(C) = \dfrac{800}{\np{2000}} = \dfrac{8}{20} = 0,4$.

$p(F) = \dfrac{300}{\np{2000}} = \dfrac{3}{20} = 0,15$.

$p(G) = \dfrac{100 + 40 + 300 + 300 + 200}{\np{2000}} = \dfrac{940}{\np{2000}} = \dfrac{94}{200} = 0,47$.

$p(H) = \dfrac{\np{2000} - (100 + 40 + 300)}{\np{2000}} = \dfrac{\np{1560}}{\np{2000}} = \dfrac{156}{200} = \dfrac{78}{100} = 0,78$.
\item %Soit $X$ Ia variable aléatoire qui à chaque client associe la durée, exprimée en heure, de son forfait. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ ? 
		$X$ peut prendre les valeurs : 0,5 ; 1 et 2.
		\item %Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		On a $p(X = 0,5) = \dfrac{440}{\np{2000}} = \dfrac{44}{\np{200}}  = 0,22$ ;
		
		$p(X = 1) = \dfrac{900}{\np{2000}}  = 0,45$ et 
		
		$p(X = 2) = \dfrac{660}{\np{2000}} = \dfrac{66}{200} = \dfrac{33}{100} = 0,33$.
		\item %Quelle est l'espérance mathématique de cette variable aléatoire ?
		On a $E(X ) = 0,5 \times 0,22 + 1 \times 0,45 + 2 \times 0,33 = 0,11 + 0,45 + 0,66 = 1,22$~(h)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème } \hfill 11 points}

\medskip 

Le but du problème est d'étudier la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = x^2 \ln x - \dfrac{3}{2} x^2 + 2x\]

On désigne par $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij{} du plan.

\medskip
 
\textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip
 
On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = 2x \ln x - 2x + 2 .\]
 
\begin{enumerate}
\item %On désigne par $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. 
%Etablir que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, $g'(x) = 2\ln x$.
On a $g'(x) = 2\ln x + 2x \times \dfrac{1}{x} - 2 = 2\ln x + 2 - 2 = 2\ln x$. 
\item %En déduire que la fonction $g$ possède un minimum. Préciser la valeur de ce minimum.
On sait que la fonction $x \longmapsto \ln x$ est croissante sur $]0~;~+ \infty[$ de $- \infty$ à $+ \infty[$ en s'annulant pour $x = 1$.

$\bullet~~$sur $]0~;~1[,\: \ln  x < 0$, donc $g'(x) < 0$ : la fonction $g$ est décroissante ;

$\bullet~~$sur $]1~;~+ \infty[,\: \ln  x > 0$, donc $g'(x) > 0$ : la fonction $g$ est croissante ; 

$\bullet~~$$g'(1) = 0$ : $g(1) = 2\times 1\times \ln 1 - 2\times + 2 = 0$ est donc le minium de la fonction $g$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
\item %Démontrer alors que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, $g(x) \geqslant 0$.
Puisque le minimum de $g$ est $0$, la fonction $g$ est donc positive. Sur  $]0~;~+ \infty[$, $g(x) \geqslant 0$.
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B : étude de la fonction}\boldmath $f$\unboldmath
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %On admet que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x^2 \ln x = 0$. 
		
%Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.
Puisque  $\displaystyle\lim_{x \to 0} x^2 \ln x = 0$, \: $\displaystyle\lim_{x \to 0} x^2 = 0 $ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} 2x = 0$, on obtient par somme de limites que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 0$. 
		\item %Montrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, on a : 
		
%\[f(x) = x2\left(\ln x - \dfrac{3}{2} + \dfrac{2}{x}\right).\]
En factorisant $x^2$, on a :

$f(x) = x^2\left(\ln x - \dfrac{3}{2}\dfrac{x^2}{x^2} + \dfrac{2x}{x^2}\right) = x^2\left(\ln x - \dfrac{3}{2} + \dfrac{2}{x} \right)$.
		\item %En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
		Puisque $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln x = + \infty$, que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{2}{x} = 0$, on obtient par somme de limites que   
		
		$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  f(x) = + \infty$.
	\end{enumerate}		 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout réel $x$ de $]0~;~+ \infty[$, $f'(x) = g(x)$.
Sur $]0~;~+ \infty[$, on a : $f'(x) = 2x\ln x + x^2 \times \dfrac{1}{x} - 2 = 2x\ln x + x - 2 = g(x)$.
		\item %En utilisant les résultats de la partie A, préciser les variations de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$, puis dresser son tableau de variations sur $]0~;~+ \infty[$.
On a vu dans la partie A que $g(x) \geqslant 0$, donc que $f'(x) \geqslant 0$ : la fonction $f$ est donc croissante de 0 à plus l'infini.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : position relative de deux courbes et calcul d'aire}

\medskip
 
Soit $\mathcal{C}$ la courbe d'équation $y = x^2 \ln x$.
 
%Les courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ sont tracées sur le document annexe à rendre avec la copie. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que $f(x) - x^2 \ln x = \dfrac{x}{2}(- 3x + 4)$.
Soit $d$ la fonction définie par :

$d(x) = f(x) - x^2 \ln x = x^2 \ln x - \dfrac{3}{2} x^2 + 2x - x^2 \ln x =  - \dfrac{3}{2} x^2 + 2x  =
\dfrac{x}{2}(- 3x + 4)$.  
		\item %Étudier le signe de $f(x) - x^2 \ln x$ sur $]0~;~+ \infty[$.
		Puisque $x > 0$, le signe de $d(x)$ est celui de la différence $- 3x + 4$ :
		\item %En déduire la position relative des courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$.
$\bullet~~$$- 3x + 4 > 0 \iff 4 > 3x \iff \dfrac{4}{3} > x$ : sur $\left]0~;~\dfrac{4}{3}\right[, \: d(x) > 0$ : géométriquement $\Gamma$ est au dessus de $\mathcal{C}$ ;

$\bullet~~$$- 3x + 4 < 0 \iff 4 < 3x \iff \dfrac{4}{3} < x$ : sur $\left]\dfrac{4}{3}~;~+ \infty\right[, \: d(x) < 0$ : géométriquement $\Gamma$ est au dessous de $\mathcal{C}$ ; 

$\bullet~~$pour $x = \dfrac{4}{3}$, les courbes ont un point commun d'ordonnée $\left( \dfrac{4}{3}\right)^2 \ln \left(\dfrac{4}{3} \right) = \dfrac{16}{9}\ln \left(\dfrac{4}{3} \right)$.
	\end{enumerate} 
\item %Soit $a$ un réel appartenant à $\left]\dfrac{4}{3}~;~+ \infty \right[$.
 
%La droite d'équation $x = a$ coupe la courbe $\Gamma$ en $M$ et la courbe $\mathcal{C}$ en $N$.
D'après la question précédente $M$ est au dessous de $N$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Dans cette question uniquement, on choisit $a = 3$.
		 
%Sur le graphique en annexe, placer les points $M$ et $N$, puis calculer la distance $MN$.
Voir à la fin le graphique. 
		\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
%Pour quelles valeurs du réel $a$ la distance $MN$ est-elle supérieure ou égale à $10$ ?
Il faut résoudre l'équation $d(x) = 10 \iff - \dfrac{3}{2}x^2 + 2x = 10 \iff - 3x^2 + 4x = 20\iff $

$3x^2 - 4x + 20 = 0$.

On a $\Delta = 16 + 240 = 256 = 16^2$ : l'équation a donc deux solutions :

$x_1 = \dfrac{4 + 16}{2 \times 3} = \dfrac{10}{3}$ et $x_2 = \dfrac{4 - 16}{2 \times 3} = - 2$.

La distance $MN$ sera supérieure à 10 si $x \geqslant \dfrac{10}{3}$. Voir la figure.
	\end{enumerate} 
\item %On désigne par $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine compris entre les courbes $\Gamma$, $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = \dfrac{4}{3}$ et $x = 3$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Hachurer ce domaine sur le graphique annexe. 
		Voir la figure.
		\item %Calculer $\mathcal{A}$.
$\mathcal{A}$ est la différence de l'aire de la surface limitée par $\Gamma$, l'axe des abscisses, 	les droites d'équations $x = \dfrac{4}{3}$ et $x = 3$ et l'aire de la surface limitée par $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, les droites d'équations $x = \dfrac{4}{3}$ et $x = 3$. Donc 

$\mathcal{A} = \displaystyle\int_{\frac{4}{3}}^3 x^2 \ln x\:\text{d}x - \displaystyle\int_{\frac{4}{3}}^3 f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{\frac{4}{3}}^3 \left( \dfrac{3}{2}x^2 - 2x \right)\:\text{d}x = \left[\dfrac{1}{2}x^3 - x^2 \right]_{\frac{4}{3}}^3 = 
 \dfrac{27}{2}  - 9 - \left(\dfrac{1}{2}\times\dfrac{64}{27} - \dfrac{16}{9} \right)  = \dfrac{27}{2}  - 9 - \dfrac{32}{27} + \dfrac{16}{9} = \dfrac{729 - 486 - 64 + 96 }{54} = \dfrac{275}{54} \approx 5,09$~(unités d'aire).	
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE}
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{À RENDRE AVEC LA COPIE} 
\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=2.8cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-0.4,-1)(4.5,17)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,0)(4,17)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(4.5,17)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psline[linewidth=1pt](3,0)(3,16)
\psline[linewidth=1pt](3.333,0)(3.333,16)
\psline[linewidth=1pt](1.333,0)(1.333,0.511)\uput[d](1.333,0){$\frac{4}{3}$}
\multido{\n=3.3775+1.0000}{11}{\psline(3.233,\n)(3.433,\n)}
\uput[dr](3,2.2){$M$}\uput[d](3.333,0){$\frac{10}{3}$}
\uput[dr](3,10.2){$N$}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.33}{3}{x dup mul x ln mul x dup mul 1.5 mul sub 2 x mul add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{3}{1.33}{x dup mul x ln mul}
}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{4}{x dup mul x ln mul x dup mul 1.5 mul sub 2 x mul add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.01}{3.54}{x dup mul x ln mul}
\uput[ul](2,3){\red $\Gamma$}\uput[d](4,6){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}