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% Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STI Génie électronique, électrotechnique, optique}%
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Correction du baccalauréat STI La Réunion juin 2010~\decofourright\\[5pt] Génie électronique,  électrotechnique,  optique\\ }}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

%\medskip

%Le plan complexe $\mathcal{P}$ est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 1~cm. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation :

%\[z^2 + 4z + 13 = 0.\]
On a $\Delta = 16 - 4 \times 13 = - 36 = (6\text{i})^2$.

L'équation a donc deux solutions complexes conjuguées :

\[\dfrac{ - 4 + 6\text{i}}{2} = -2 + 3\text{i}~;~-2 - 3\text{i}.\]
 
\item %Dans le plan complexe $\mathcal{P}$, on considère les points A, B et C d' affixes respectives 

%\[z_{\text{A}} = - 2 - 3\text{i},~z_{\text{B}}  = - 2 + 3\text{i}\quad \text{et}~~ z_{\text{C}} = 3 - 2\text{i}.\] 
 
	\begin{enumerate}
		\item %Placer les points A, B et C dans le repère \Ouv.
Voir la figure. 
		\item %Écrire $\dfrac{z_{\text{C}}}{z_{\text{A}}}$ sous forme algébrique.
$\dfrac{z_{\text{C}}}{z_{\text{A}}} = \dfrac{3 - 2\text{i}}{- 2 - 3\text{i}} = \dfrac{(3 - 2\text{i})(- 2 + 3\text{i})}{(- 2 - 3\text{i})(- 2 + 3\text{i})} = = \dfrac{-6 + 6 + 9 \text{i} + 4\text{i}}{4 + 9} = \dfrac{13\text{i}}{13} = \text{i}.$ 
		\item %En déduire la forme exponentielle de $\dfrac{z_{\text{C}}}  {z_{\text{A}}}$.
$\dfrac{z_{\text{C}}}  {z_{\text{A}}} = \text{i} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$ 
		\item %En justifiant, donner la nature du triangle OAC.
D'après le résultat précédent, on a :

$z_{\text{C}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}z_{\text{A}}$ ; cette égalité montre que le point C est l'image du point A dans la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. Par définition de la rotation 

OA = OC ; le triangle OAC est donc un triangle rectangle isocèle en O. 
	\end{enumerate} 
\item %On désigne par D l'image du point C par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Construire à la règle et au compas le point D dans le repère \Ouv.
Voir figure : on construit le triangle équilatéral OCD.		 
%On laissera apparents les traits de construction. 
		\item %Déterminer, sous forme algébrique, l'affixe $z_{\text{D}}$ du point D.
Par définition de la rotation :

$z_{\text{D}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}z_{\text{C}} = \left(\cos \frac{\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{\pi}{3}\right)z_{\text{C}} = 
\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(3 - 2\text{i}) = \dfrac{3}{2} + \sqrt{3} - \text{i} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i} =$

$\dfrac{3}{2} + \sqrt{3}  + \text{i}\left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2} - 1 \right).$
	\end{enumerate} 
\item ~%\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

\psset{unit=0.8cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-4)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[ul](0,0){O}
\psdots(-2,-3)(-2,3)(3,-2)(3.232,1.598)
\uput[dl](-2,-3){A} \uput[ul](-2,3){B} \uput[dr](3,-2){C} \uput[ur](3.232,1.598){D}
\pscircle(0,0){3.6055}
\psline(3,-2)(0,0)(3.232,1.598)
\psline(0,0)(-2,-3)(3,-2)
\rput{-120}(0,0){\psframe(0.4,0.4)}
\psarc(0,0){4mm}{-30}{30} 
\end{pspicture}
\end{center}
 
%Les points A, B, C et D semblent appartenir à une même figure géométrique. Laquelle ? On justifiera la réponse.
On a de façon évidente $\left|z_{\text{A}} \right| = \left|z_{\text{B}} \right| = \left|z_{\text{C}} \right| = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.

Par définition de la rotation OC = OD $= \sqrt{13}$.

Conclusion : A, B, C et D appartiennent au cercle de centre O et de rayon $\sqrt{13}$.
 
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

%\medskip 

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte.\\ 
%Chaque bonne réponse rapporte $1$ point et chaque mauvaise réponse enlève $0,5$ point. Une absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.\\ 
%On notera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie.}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
%Dans une entreprise qui fabrique des pièces pour l'horlogerie, on souhaite étudier la conformité d'un type de pièce ayant la forme d'une roue dentée. Deux machines produisent ce type de pièce. Sur chacune des machines, on prélève 200 unités sortant de la chaîne de fabrication et on mesure avec précision le diamètre des roues dentées. On rassemble les résultats dans le tableau suivant : 

%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Diamètre en mm& 3,45& 3,5& 3,55& 3,6\\ \hline 
%Nombre de pièces issues de la machine A& 5& 184& 10& 1\\ \hline 
%Nombre de pièces issues de la machine B& 9& 173& 15& 3\\ \hline
%\end{tabularx}

%\medskip
% 
%Une pièce est dite conforme lorsqu'elle a un diamètre de $3,5$~mm.

%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %On tire au hasard une pièce dans le lot issu de la machine A. 
%La probabilité que cette pièce soit conforme est de : 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.} 0,8925 &\textbf{b.} 0,92 &\textbf{c.} 0,865 &\textbf{d.} 1,02\\
%\end{tabularx}
%\medskip 
Il y a 184 pièces conformes sur 200, donc une probabilité de $\dfrac{184}{200} = \dfrac{920}{\np{1000}} = 0,92$.
\item %On tire au hasard une pièce parmi les 400 qui ont été prélevées dans la production.
 
%La probabilité que le diamètre de cette pièce soit supérieur ou égal à 3,5~mm est de :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.} 0,035 &\textbf{b.} 0,8925 &\textbf{c.} 0,0725 &\textbf{d.} 0,965\\
%\end{tabularx}
%\medskip 
Il y a $5 + 9 = 14$ de diamètre inférieur \`a 3,5 mm, donc la probabilité est égale \`a $\dfrac{400 - 14}{400} = \dfrac{386}{400} = 0,965$. 
\item %Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque pièce mesurée, associe l'écart par rapport à la dimension théorique de 3,5~mm. Le tableau suivant donne la loi de probabilité de cette variable aléatoire.

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline  
%$x_{i}$& $-0,05$& 0 &0,05 &0,1\\ \hline 
%$P\left(X = x_{i}\right)$&0,035& \np{0,8925} &\np{0,0625} &0,01\\ \hline
%\end{tabularx}

%\medskip 
% 
%L'espérance mathématique de la variable aléatoire X est de :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
%\textbf{a.} 0,2375 &\textbf{b.} 2,375 &\textbf{c.} \np{0,002375} &\textbf{d.} \np{0,005875}\\
%\end{tabularx}
%\medskip 
L'espérance mathématique de la variable aléatoire X est :

E$(X) = -0,05 \times 0,035 + 0 \times \np{0,8925} + 0,05 \times \np{0,0625} + 0,1 \times 0,01 = \np{0,002375}$. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Une solution sur $\R$ de l'équation différentielle $y' + 3 y = 6 x + 5$ est :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}  
%\textbf{a.} $x \longmapsto \text{e}^{-3x}$& 
%\textbf{b.} $x \longmapsto \text{e}^{-3x} + 2x + 1$ \\
%\textbf{c.} $x \longmapsto \text{e}^{3x} + 2x + 1$  &
%\textbf{d.} $x \longmapsto \text{e}^{-3x} + 2x + 3$ \\ 
%\end{tabularx}
%\medskip 
La seule solution est $x \longmapsto \text{e}^{-3x} + 2x + 1$
\item %Une solution sur $\R$ de l'équation différentielle $y'' + 9 y = 0$ est :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{a.} $x \longmapsto 2\cos (9x) + 5\sin (3x)$& \textbf{b.} $x \longmapsto 2\cos (3x) + 5\sin (3x)$\\
%\textbf{c.} $x \longmapsto 2\cos (9x)$ &\textbf{d.} $x \longmapsto 2 \cos (9x)+5 \sin (9x)$ \\ 
%\end{tabularx}
%\medskip 
Les solutions de l'équation $r^2 + 9 = 0$ sont $3\text{i}$ et $-3\text{i}$. On sait qu'alors la forme générale d'une solution est $f(x) = A\cos 3x + B \sin 3x$.

Seule la troisième fonction est de cette forme.
\end{enumerate} 
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

%Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij, en prenant pour unité graphique 2~cm.
% 
%Sur la \textbf{feuille annexe jointe, à rendre avec la copie}, on a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

%\[f(x) = a \ln x + \dfrac{b}{x} + c ,\]

%où $a,~ b$ et $c$ désignent trois  nombres réels.
 
%On a également placé les points A et B de coordonnées respectives $(0~;~\ln 2 - 2)$ et $(-4 \ln 2 + 8~;~0)$ dans le repère \Oij. 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer graphiquement les valeurs de $f(1)$ et de $f'(1)$.
On lit $f(1) = -1$ et $f'(1) = 0$.
		\item %Sachant que la droite (AB) est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $2$, calculer $f'(2)$.
		La pente de la droite (AB) est égale \`a : $\dfrac{0 - (\ln 2-2)}{-4\ln 2 + 8 - 0} = \dfrac{2 - \ln 2}{-4\ln 2 + 8} = \dfrac{2 - \ln 2}{4(2 \ln 2} = \dfrac{1}{4}.$
		
Puisque (AB) est tangente \`a la courbe au point d'abscisse 2, on a $f'(2) = \dfrac{1}{4} = 0,25$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer l'expression de $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
$f$ somme de fonctions dérivables sur $]0~ ;~+ \infty[$ est dérivable sur cet intervalle et :

$f'(x) = \dfrac{a}{x}- \dfrac{b}{x^2} = \dfrac{ax - b}{x^2}$.  
		\item %Montrer que $a, b$ et $c$ sont solutions du système $\left\{\begin{array}{l c r}
%b + c&=&-1\\
%a - b& =& 0\\
%2a - b& =&1
%\end{array}\right.$.
En traduisant numériquement la question 1. et la question 2. a. on obtient :

$\left\{\begin{array}{l c r}
f(1)&=&-1\\
f'(1)& =& 0\\
f'(2)& =&\dfrac{1}{4}
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c r}
b + c&=&-1\\
a - b& =& 0\\
\dfrac{2a - b}{4}& =&\dfrac{1}{4} 
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c r r}
b + c&=&-1&~(1)\\
a - b& =& 0&~(2)\\
2a - b& =&1&~(3) 
\end{array}\right.$. 
		\item %Calculer $a, b$ et $c$. 
%En déduire l'expression de $f(x)$.
Par calcul de la différence (3) - (2), on obtient $a = 1$ puis en remplaçant dans (2) $b = 1$ et enfin en remplaçant dans (1) $c = -2$.

On a donc : $f(x) = \ln x + \dfrac{1}{x} - 2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

%Dans toute la suite du problème, on admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

%\[ f(x) = \ln x + \dfrac{1}{x} - 2.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{x} = 0$, et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln x = + \infty$, $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$. 
\item %On admet que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = +\infty$. 

%Interpréter graphiquement ce résultat.
Ceci signifie que l'axe des ordonnées est asymptote \`a la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de zéro. 
\item %Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
La fonction $f$ est la somme de fonctions dérivables sur $]0~;~+ \infty[$ ; elle est donc dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ et :

$f'(x) = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x - 1}{x^2}$ qui est du signe de $x - 1$, car $x^2 > 0$.

Donc si $x > 1, f'(x) > 0$ : la fonction est croissante sur $]1~;~+ \infty[$.

Si $x < 1,~f'(x) < 0$ : la fonction est décroissante sur $]0~;~1[$. 
\item %La courbe $\mathcal{C}$ semble couper l'axe des abscisses sur l'intervalle [6~;~7].
 
%Prouver ce résultat, puis donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de l'abscisse du point d'intersection.
Sur l'intervalle [6~;~7], la fonction $f$ est croissante ; de plus :

$f(6) = \ln 6 + \dfrac{1}{6} - 2 \approx  -0,04$ ;

$f(7) = \ln 7 + \dfrac{1}{7} - 2 \approx  0,14$.

Il existe donc un réel unique $\alpha$ tel que $f(\alpha) = 0$ avec $6 < \alpha < 7$.

De m\^eme $f(6,3) \approx -0,0007$ et $f(6,4) \approx 0,01$, donc $6,3 < \alpha < 6,4$.

Enfin $f(6,30) \approx -0,0007$ et $f(6,31) \approx 0,0006$, donc 6,30 < \alpha < 6,31$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

%\medskip
% 
%On désigne par $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction logarithme népérien dans le repère \Oij.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer les coordonnées du (ou des) pointes) d'intersection des courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$.
Les points communs aux deux courbes ont une abscisse $x$ qui vérifie :

$f(x) = \ln x \iff \ln x + \dfrac{1}{x} - 2 = \ln x \iff  \dfrac{1}{x} = 2 \iff x = \dfrac{1}{2}$.

Pour cette abscisse l'ordonnée commune est égale \`a $\ln \dfrac{1}{2} = - \ln 2$.

Les deux courbes ont un seul point commun de coordonnées $\left(\dfrac{1}{2~ ;~- \ln 2} \right)$.
\item %Étudier la position relative des courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$.
Soit $d$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

$d(x) = f(x) - \ln x  = \dfrac{1}{x} - 2 = \dfrac{1 - 2x}{x}$

Comme $x > 0,~d(x)$ est du signe de $1 - 2x$.

D'o\`u : si $x < \dfrac{1}{2},~d(x) > 0$, ce qui signifie que  $\mathcal{C}$ est au dessus de $\Gamma$.

Si $x > \dfrac{1}{2},~d(x) < 0$, ce qui signifie que  $\mathcal{C}$ est au dessous de $\Gamma$.
\item %Tracer la courbe $\Gamma$ sur la feuille annexe, à rendre avec la copie.
Voir plus bas. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Hachurer la partie du plan comprise entre les courbes $\mathcal{C}$, $\Gamma$ et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = 2$.
Voir plus bas 
		\item %Calculer la mesure exacte, en unités d'aire, de l'aire $\mathcal{A}$ de la partie hachurée.
Sur l'intervalle [1~ ;~2], on a vu que $\mathcal{C}$ est au dessous de $\Gamma$ ; donc l'aire en unités d'aire de la partie hachurée est égale \`a l'intégrale :

\[\int_{1}^2 [\ln x - f(x)]\:\text{d}x =  \int_{1}^2 \left[-\dfrac{1}{x} + 2 \right]\:\text{d}x = \left[-\ln x + 2x\right]_{1}^2 = -\ln 2 + 4 + \ln 1 - 2 = 2 - \ln 2.\]
		\item %En déduire, en cm$^2$, la mesure arrondie au centième de l'aire $\mathcal{A}$.
La calculatrice donne : $\mathcal{A} \approx 1,30$~cm$^2$ 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\begin{center}

\textbf{\large Problème}

\vspace{1cm}

\textbf{Annexe, à rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\psset{unit=1.41cm}

\begin{pspicture}(-1,-2)(7.5,3)
\multido{\n=-1.00+0.2}{43}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,-2)(\n,3)}
\multido{\n=-2.0+0.2}{26}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](-1,\n)(7.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-2)(7.5,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{1}{2}{x ln 1 x div add 2 sub}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{2}{1}{x ln}
}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0.146}{7.5}{x ln 1 x div add 2 sub}
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{-1}{7.5}{x 4 div 2 ln add 2 sub}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0.146}{7.5}{x ln}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](0,-1.30685)(5.22741,0)
\psline[linewidth=1pt]{<->}(0.5,-1)(1.5,-1)
\uput[dl](0,0){O}\uput[r](0.2,2){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[dr](0,-1.30685){A} \uput[u](5.22741,0){B}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}