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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  STI Génie électronique, électrotechnique, optique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Génie électronique, optique,  ~\decofourright\\[5pt]électrotechnique Métropole  juin 2006}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $2$~cm.
%
%On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}.$

\begin{enumerate}
\item  %Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\C$ l'équation $z^2 - 2z + 4 =  0$.
On a $\Delta = (- 2)^2 - 4 \times 4 = 4 - 16 = - 12 = \left(2\text{i}\sqrt{3} \right)^2 < 0$ : l'équation a donc deux solutions complexes conjuguées :

\[S = \left\{\dfrac{2 + 2\text{i}\sqrt{3}}{2} = 1 + \text{i}\sqrt{3}, \quad 1 - \text{i}\sqrt{3}  \right\}\]
\item %On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ 	et $z_{\text{B}} = 1 - \text{i}\sqrt{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer le module et un argument de $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$.
On a $\left|z_{\text{A}}\right|^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2 \Rightarrow \left|z_{\text{A}}\right| = 2$.

On a donc : $z_{\text{A}} = 2 \left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2\left(\cos \frac{\pi}{3} + \text{i}\sin  \frac{\pi}{3}\right)$. Un argument de $z_{\text{A}}$ est donc $\dfrac{\pi}{3}$.

$z_{\text{B}}$ étant le conjugué de $z_{\text{A}}$  son module est égal à 2 et un de ses arguments est $- \dfrac{\pi}{3}$.
		\item %Donner la forme exponentielle de $z_{\text{A}}$.
$z_{\text{A}} = 2\text{e}^{\frac{\pi}{3}}$.
		\item %Placer les points A et B dans le plan muni du repère \Ouv.
Voir le dessin à la fin de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item %On désigne par $R$ la transformation du plan complexe qui à tout point $M$ d'affixe $z$ fait correspondre le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que : 
%\[z' = \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}z.\]
	\begin{enumerate}
		\item %Indiquer la nature de la transformation $R$ et préciser ses éléments caractéristiques.
$R$ est la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$.
		\item %On nomme C l'image du point A par la transformation $R$. Déterminer la forme exponentielle de l'affixe $z_{\text{C}}$ du point C. En déduire sa forme algébrique.
D'après la définition de la rotation :

$z_{\text{C}} =  \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}z_{\text{A}} = \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}} \times 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} = 2\text{e}^{\text{i}\left[\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3}\right]} = 
2 \text{e}^{\text{i}\pi} = - 2$.
		\item %Placer le point C.
Voir la figure. 
		\item %Montrer que le point B est l'image du point C par la transformation $R$.
Soit C$'$ l'image de C par $R$. On a par définition de $R$ :

$z_{\text{C}'} = \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}z_{\text{C}} = \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}} \times 2 \text{e}^{\text{i}\pi} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{3}} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{-\pi}{3}} = z_{\text{B}}$.

Donc B est l'image par $R$ de C.
	\end{enumerate}
\item %Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier votre réponse.
Utilisons les propriétés de la rotation de conserver les distances :

On a $R(\text{A}) = \text{C}$ et $R(\text{C}) = \text{B}$, donc la distance de deux points étant égale à celle de leurs images : AC = CB et par définition $\widehat{\text{ACB}} = 60$\degres. Le triangle ACB est donc isocèle avec un angle au sommet de $60$\,\degres, les deux autres angles mesurent aussi $60$\degres, donc ACB est un triangle équilatéral.
\end{enumerate}

\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-2)(3,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-2)(3,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psdots(2;60)(2;-60)(2;180)
\pspolygon[linewidth=2pt](2;60)(2;-60)(2;180)
\uput[r](2;60){A}\uput[r](2;-60){B}\uput[ul](2;180){C}\uput[dl](0,0){O}

\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\end{pspicture}
\end{center} 
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

%Pour la fête de l'école, une association propose une loterie selon le principe suivant :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item  Le joueur mise $10$~euros. 
%\item Il fait tourner deux roues identiques chacune s'arrêtant devant un repère. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
% Chaque roue est divisée en quatre quartiers sur lesquels sont indiqués les gains en euros : 10 ; 0 ;  5 ;  0. Tous les quartiers ont la même probabilité de s'arrêter devant le repère. La gain obtenu par le joueur est égal à la somme des gains indiqués sur les quartiers sur lesquels se sont arrêtées les roues.
% 
%\begin{center}
%\psset{unit=0.75cm}
%\begin{pspicture}(12,5.3)
%\pscircle(2.5,2.5){2.5}  \pscircle(8.5,2.5){2.5} 
%\psline(4.914,1.853)(0.085,3.147)
%\psline(3.147,4.915)(1.853,0.085)
%\psline(10.914,1.853)(6.085,3.147)
%\psline(9.147,4.915)(7.853,0.085)
%\rput(3,1.2){\huge 5} \rput(1.25,2){\huge 0} 
%\rput(2,3.7){\huge 10} \rput(3.7,3.2){\huge 0} 
%\rput(9,1.2){\huge 10} \rput(7.25,2){\huge 0} 
%\rput(8,3.7){\huge 5} \rput(9.7,3.2){\huge 0} 
%\rput(0,0){Roue \no 1} \rput(11,0){Roue \no 2}
%\pspolygon*(1.4,5.2)(2,5.2)(1.7,4.87)
%\pspolygon*(7.4,5.2)(8,5.2)(7.7,4.87)
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%Dans l'exemple ci-dessus, la partie assure au joueur un gain de $15$~\euro.
\begin{enumerate}
\item Étude du gain d'un joueur pour une mise de $10$~euros.

%On nomme $G$ la variable aléatoire qui à chaque partie associe le gain du joueur en euros.
	\begin{enumerate}
		\item  %Reproduire et compléter le tableau suivant donnant les valeurs prises par la variable aléatoire $G$ selon les quartiers sur lesquels se sont arrêtées les roues :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\backslashbox{Roue \no 2}{Roue \no 1}&10 & 0 & 5 & 0\\ \hline
0	&20	&10		&15		&10 \\ \hline
0	&10	&$0$	&$5$	&$0$ \\ \hline
5	&15	&$5$	&10		&$5$ \\ \hline
0	&10	&$0$	&$5$	&$0$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item %Prouver que la probabilité que le joueur obtienne un gain supérieur ou égal à
%sa mise est 50\,\%.
Sur les 16 issues, 8 donnent un gain supérieur ou égal à 10~\euro ; la probabilité est donc égale à $\dfrac{8}{16} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{50}{100} = 50\,\%$.
		\item ~%Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $G$.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$g_i$&0&5&10&15&20\\ \hline
$p(G = g_i)$&$\frac{4}{16}$&$\frac{4}{16}$&$\frac{5}{16}$&$\frac{2}{16}$&$\frac{1}{16}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item %Calculer la probabilité, notée $p(G > 10)$, qu'un joueur obtienne un gain strictement supérieur à sa mise.
$p(G > 10) = p(G = 15) + p(G = 20) = \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{3}{16}$.
		\item %Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $G$, puis donner son interprétation.
		On a $E(G) = 0 \times \frac{4}{16} + 5 \times \frac{4}{16} + 10 \times \frac{5}{16} + 15\times \frac{2}{16} + 20\times \frac{1}{16} = \frac{20 + 50 + 30 + 20}{16} = \dfrac{120}{16} = \dfrac{30}{4} = \dfrac{15}{2} = 7,5$.
		
Sur un grand nombre de parties, le gain moyen par partie est de 7,50~\euro.
	\end{enumerate}
\item Étude du bénéfice de l'association pour une valse de $m$ euros.

%On suppose dans cette question que la mise du joueur est $m$ euros.

%On note $B$ la variable aléatoire qui, à chaque partie, associe le bénéfice (positif ou négatif) réalisé par l'association, c'est-à-dire la différence entre la mise qu'elle a encaissée et le gain éventuel qu'elle a reversé au joueur.
	\begin{enumerate}
		\item  %Exprimer en fonction de $m$ l'espérance mathématique de la variable aléatoire $B$.
		On a $E(B) = (m - 0) \times \frac{4}{16} + (m - 5) \times \frac{4}{16} + (m - 10) \times \frac{5}{16} + (m - 15)\times \frac{2}{16} + (m - 20)\times \frac{1}{16} = \dfrac{4m  + 4m - 20  + 5m - 50   + 2m - 30   + m - 20}{16} = \dfrac{16m - 120}{16}$.
		\item %Déterminer $m$ pour que l'espérance de bénéfice de l'association soit d'au moins 5 \euro.
Il faut résoudre l'inéquation :
		
$\dfrac{16m - 120}{16} \geqslant 5$ soit $16m - 120 \geqslant 80$ ou encore 
$16m \geqslant 200$ et enfin $m \geqslant 12,50$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\bigskip

\textbf{Partie A :  Résolution d'une équation différentielle}\\
%On considère l'équation différentielle
 
%\[(\text{E})\quad :\quad  y' + y = - x - 1\]

%où $y$ désigne une fonction de la variable $x$ définie et dérivable sur l'ensemble des réels $\R$.
  
\medskip
  
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Résoudre l'équation différentielle $y' + y =  0$.
La solution générale de l'équation différentielle est $y = C\text{e}^{- x}$, avec $C \in \R$.
		\item %Déterminer la solution $h$ de cette équation différentielle $y'+ y =  0$ prenant la valeur $\dfrac{1}{\text{e}}$ en $x = 1$.
Il faut que $\dfrac{1}{\text{e}} = C\text{e}^{- 1}$ soit $C = 1$.
		
La solution est donc $y = \text{e}^{- x}$.
	\end{enumerate}
\item %Déterminer le nombre réel $a$ tel que la fonction $u$ définie sur $\R$ par 

%$u(x) =  \text{e}^{-x} + ax$ soit solution de l'équation différentielle (E).
Avec $u(x) =  \text{e}^{-x} + ax$, on a $u'(x)  = - \text{e}^{-x} + a$, donc $u$ est solution de (E) si

$- \text{e}^{-x} + a + \text{e}^{-x} + ax = - x - 1$ ou $ax + a = - x - 1$.

Par identification on obtient $a = - 1$, d'où $u(x) = \text{e}^{-x} - x$.
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Partie B : étude d'une fonction auxiliaire} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

%La fonction $f$ est définie sur $\R$ par :
\[f(x)= \text{e}^{-x} - x.\]

\begin{enumerate}
\item ~%Déterminer les limites de la fonction $f$ en $+ \infty$ et  $-\infty$.

$\bullet~~$ On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$ ;

$\bullet~~$ On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{-x} = + \infty$ et $\bullet~~$ On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} - x = + \infty$, donc par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)  = + \infty$.
\item %$f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer, pour tout réel $x,~ f'(x)$ puis en déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
$f'(x) = - \text{e}^{-x} - 1$.

Or $\text{e}^{-x} > 0$ quel que soit le réel $x$, donc $- \text{e}^{-x} < 0$ et enfin $- \text{e}^{-x} - 1 < 0$ ; $f'(x) < 0$ quel que soit le réel $x$ : la fonction $f$ est strictemet décroissante sur $\R$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [0 ; 1].
		La fonction $f$ étant strictement décroissante de plus l'infini à moins l'infini, s'annule une seule fois pour $x = \alpha$.
		
Or $f(0) = 1$ et $f(1) = \text{e}^{-1} - 1 \approx -0,6$ ; ceci montre que $0 < \alpha < 1$.
		\item %Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,01$.
La calculatrice donne :

$f(0,5) \approx 0,1$ et $f(0,6) \approx - 0,05$ donc $0,5 < \alpha <0,6$ ;

f(0,56) \approx 0,011$ et $f(0,57) \approx -0,005$, donc $0,56 < \alpha < 0,57$.
	\end{enumerate}
\item %Préciser le signe de $f(x)$ sur l'intervalle [0 ; 1].
La fonction décroit de plus l'infini à zéro sur l'intervalle $]- \infty~;~\alpha]$, donc est positive sur cet intervalle puis négative sur $]\alpha~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C : Calcul de l'aire d'une partie du plan}

\medskip

%La représentation graphique $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère \Oij{} est tracée sur la feuille jointe en annexe, qui est à rendre avec la copie.

\begin{enumerate}
\item  %Dans le demi-plan constitué des points d'abscisses positives, hachurer la partie $\mathcal{D}$ limitée par la courbe $\mathcal{C}_{f}$ l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.
Voir à la fin.
\item %Calculer en fonction de $\alpha$ la mesure, en unités d'aire, de l'aire de la partie $\mathcal{D}$ du plan.
Sur l'intervalle $[0~;~\alpha]$, la fonction $f$ est positive ; on sait qu'alors l'ire de la surface est égale (en unité d'aire) à l'intégrale :

$\displaystyle\int_0^{\alpha} f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_0^{\alpha}\left(- \text{e}^{- x} - x \right)\:\text{d}x = \left[\text{e}^{- x} - \frac{x^2}{2} \right]_0^{\alpha} = \text{e}^{- \alpha} - \frac{\alpha^2}{2} - \left[\text{e}^{- 0} - \frac{0^2}{2} \right] = \text{e}^{- \alpha} - \frac{\alpha^2}{2} - 1$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie D : étude d'une fonction} \boldmath $g$ \unboldmath \textbf{et représentation graphique}

\medskip

%La fonction $g$ est définie sur $]-\infty~;~ \alpha[$ par :
% \[ g(x) = \dfrac{x}{\text{e}^{-x} - x}\]
%(où $\alpha$ désigne le nombre réel trouvé à la partie B et on note $\mathcal{C}_{g}$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Vérifier que, pour tout $x \in ]-\infty~;~ \alpha[,~g(x) = \dfrac{x\text{e}^x}{1 - x\text{e}^x}$.
En multipliant chaque terme du quotient par $\text{e}^x$, on obtient :
		
$g(x) = \dfrac{x\text{e}^x}{1 - x\text{e}^x}}$.
		\item %En déduire la limite de la fonction $g$ en $-\infty$ et interpréter graphiquement cette limite.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} g(x) = 0$.
		
Géométriquement ce résultat montre que l'axe des abscisses est asymptote horizontale à 
$\mathcal{C}_g$.
 \end{enumerate}
		\item %En utilisant les résultats trouvés dans la partie B question 4, déterminer la limite de la fonction $g$ en $\alpha$. Interpréter graphiquement cette limite.
		On sait que $f(\alpha) = \text{e—^{- \alpha) - \alpha = 0$, donc $\displaystyle\lim_{\alpha} g(x) = + \infty$.
		
Géométriquement ce résultat signifie que la droite d'équation $x = \alpha$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}_g$.
		\item 
			\begin{enumerate}
			\item  %La fonction $g'$ désignant la dérivée de la fonction $g$, montrer que pour tout $x$  de $]-\infty~;~ \alpha[,~ g'(x) = \dfrac{\text{e}^{-x}(1 + x)}{\left(\text{e}^{-x} - x\right)^2}.$
			On a $g'(x) = \dfrac{1\times \left(1 - x \text{e}^x \right) - x\left(\text{e^}{-x} -1 \right)- }{\left(1 - x \text{e}^x \right)^2} = \dfrac{1 - x \text{e}^x}{\left(1 - x \text{e}^x \right)^2}$.
			\item %En déduire les variations de la fonction $g$ sur $]- \infty~;~ \alpha[$ et dresser le tableau des variations de la fonction $g$.
On sait que quel que soit le réel $x$, \: $\text{e}^{- x}$ et $\left(1 - x \text{e}^x \right)^2$ sont des nombres positifs. Le signe de $g'(x)$ est donc celui de $1 + x$.

$\bullet~~$$1 + x > 0$ si $x > - 1$. Sur l'intervalle $]- 1~;~\alpha]$, la fonction $g$ est croissante ;

$\bullet~~$$1 + x < 0$ si $x < - 1$. Sur l'intervalle $]- \infty~;~- 1]$, la fonction $g$ est décroissante.

La fonction $g$ décroit de plus l'infini à $g(- 1) = \dfrac{1\text{e}^1}{1 - 1\text{e}^1} = \dfrac{\text{e}}{1 - \text{e}}\approx 0,582$ puis croit jusqu'à plus l'infini. 

		\end{enumerate}
\item %Tracer la courbe représentative $\mathcal{C}_{g}$ de la fonction $g$ dans le repère figurant sur la feuille annexe à remettre avec la copie.
Voir ci-dessous.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Feuille annexe à remettre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.71cm}
\begin{pspicture}(-4,-2)(3,7)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,subgridwidth=0.25pt,gridcolor=gray](0,0)(-4,-2)(3,7)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-2)(3,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} 
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.675}{2}{2.71828 x neg exp x sub}
\uput[l](-1.2,4.5){\blue $\mathcal{C}_{f}$}\uput[ur](0.57,0){$\alpha$}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{0.57}{2.71828 x neg exp x sub}
\psline(0.57,0)(0,0)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-4}{0.5202}{x 2.71828 x neg exp x sub div}
\uput[r](0.5,6.5){\red $\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture}
\end{center}
\vfill
Si vous photocopiez ce corrigé pensez à en créditer l'\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}, merci
\end{document} 