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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie électronique, électrotechnique et optique}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft ~Baccalauréat STI Antilles--Guyane septembre 2009~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique et optique}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

%Dans cet exercice, les quatre questions sont \textbf{indépendantes}.
 
%Dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, i désigne le nombre de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
 
%Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv.
 
\begin{enumerate}
\item %On considère le nombre complexe $z = -1 + \text{i}\sqrt{3}$.
 
%Écrire $z$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i} \theta}$ où $r$ est un nombre réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel compris entre $-\pi$ et $\pi$. 
On a $|z| = \sqrt{1 + 3} = 2$ ; donc $z = 2\left(- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2\left(\cos \frac{2\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{2\pi}{3} \right) = 2 \text{e}^{\frac{2\pi}{3}}$.
\item %Soit A le point du plan d'affixe $_{\text{A}} = 2 \text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$  et A$'$ l'image de A par la rotation de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$. Déterminer l'affixe de A$'$ sous forme exponentielle puis sous forme algébrique.
L'écriture complexe de la rotation est $z' = z\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{2}}$.

Donc $z_{\text{A}'} =  2 \text{e}^{\frac{5\pi}{6}} \times \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{2}} = 2 \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} = 2 \left(\cos \frac{\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{\pi}{3} \right) = 2 \left(\frac{1}{2} + \text{i}\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 1 + \text{i}\sqrt{3}$.
\item %On considère les points B, C et D du plan d'affixes respectives : 
%\[z_{\text{B}} = 1 + 2\text{i}, ~z_{\text{C}} = 4 - \text{i}, ~z_{\text{D}} = -1 - 3\text{i}. \]

%Calculer les distances DB et DC. Donner une interprétation géométrique du résultat.
DB $ = \left|z_{\vect{\text{DB}}} \right| = \left|1 + 2\text{i} - (-1 - 3\text{i})  \right| = |2 + 5\text{i} | = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$.

DB $ = \left|z_{\vect{\text{DC}}} \right| = \left|4 - \text{i} - (-1 - 3\text{i})  \right| = |5 + 2\text{i} | = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}$.

On a donc DB = DC  : le triangle DBC est isocèle en D.
\item %Déterminer le réel c pour que le nombre complexe $- 4 + 2\text{i}$ soit solution de l'équation : 
%\[z^2 + 8z + c = 0.\]
$- 4 + 2\text{i}$ vérifie $z^2 + 8z + c = 0 \iff (- 4 + 2\text{i})^2 + 8(- 4 + 2\text{i}) + c = 0 \iff 16 - 4 -16\text{i} - 32 + 16\text{i} + c = 0 \iff c = 20$. 
%Résoudre ensuite cette équation dans l'ensemble $\C$.
L'équation à résoudre est donc  $z^2 + 8z + 20 = 0$ : elle est à coefficients réels, donc ses solutions sont complexes conjuguées : l'une étant $- 4 + 2\text{i}$ l'autre solution est  $- 4 - 2\text{i}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip
 
%Une personne possède un téléphone portable dont le code comporte quatre chiffres. Elle ne se souvient plus de ce code et dispose seulement des informations suivantes : 

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item les quatre chiffres sont pris parmi 1, 2, 3, 4, 5, 6 et sont tous différents ;
%\item le deuxième chiffre est un 2 et le quatrième est un 5.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%La situation peut être schématisée de la façon suivante :

%\medskip

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\rule[-3mm]{0mm}{9mm} ?& 2 & \mbox{?} &5\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

%En tenant compte de toutes ces informations, cette personne saisit un code en choisissant au hasard les deux chiffres manquants.
 
\begin{enumerate}
\item %Écrire la liste des douze codes de quatre chiffres qui sont alors possibles.
Les douze codes sont :
\begin{center}\begin{tabular}{*{4}{c}}
1235&1245&1265&3215\\
3245&3265&4215&4235\\
4265&6215&6235&6245\\
\end{tabular}
\end{center} 
\item %Sachant que ces douze codes sont équiprobables et que le bon code est : 

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\rule[-3mm]{0mm}{9mm}3&2&6&5\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
% 
%déterminer les probabilités respectives $p_{1},~ p_{2}$ et $p_{3}$ des évènements suivants:
 
	\begin{enumerate}
		\item %\og Le code saisi est correct \fg.
$p_{1} = \dfrac{1}{12}$ ; 
		\item %\og Le code saisi ne comporte aucun chiffre exact bien placé à part les deux déjà connus \fg.
		$p_{2} = \dfrac{7}{12}$ ; 
		\item %\og Le code saisi comporte au moins un chiffre exact bien placé en plus des deux chiffres déjà connus \fg.
$p_{3} = 1 - p_{2} = 1 -  \dfrac{7}{12} =  \dfrac{5}{12}$. 
	\end{enumerate}

\item %On définit la variable aléatoire $X$ qui, à chaque code saisi, associe le nombre total de chiffres exacts bien placés (y compris ceux déjà connus au départ).
 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la probabilité de l'évènement \og X = 3 \fg.
		$p(X = 3) = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$. 
		\item %Donner les trois valeurs prises par la variable aléatoire $X$.
X peut être égale à 2, 3 ou 4. 
		\item~ %Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
\medskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&2&3&4  \\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$p\left(\text{X} =x_{i}\right)$&$\dfrac{7}{12}$&$\dfrac{4}{12}$&$\dfrac{1}{12}$   \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 12 points}

%\medskip

%Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~ cm.

\medskip

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction} \boldmath $f$ \unboldmath 

\medskip

%Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left]-\dfrac{1}{2}~;~ +\infty\right[$ par : 
%\[f(x) = 1 + \ln (2x + 1)\] 
%où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
% 
%On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère \Oij. La courbe $\mathcal{C}$ est donnée en annexe pour aider le candidat et lui permettre de vérifier ses réponses.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\dfrac{1}{2}$ et en donner une interprétation graphique.
		Comme $\displaystyle\lim_{x \to - \frac{1}{2}} (2x + 1) = 0$ et que $\displaystyle\lim_{X \to 0} \ln X = - \infty$, on en déduit que $\displaystyle\lim_{x \to - \frac{1}{2}} f(x) = - \infty$.
		
Géométriquement ceci signifie que la droite d'équation $x = - \dfrac{1}{2}$ est asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}$.
		\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} (2x + 1) = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{X \to + \infty} \ln X = +\infty$, on déduit que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = +\infty$.
	\end{enumerate} 
\item %On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]-\dfrac{1}{2}~;~ +\infty\right[$· 
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer  $f'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left]-\dfrac{1}{2}~;~ +\infty\right[$.
Avec $u(x) = 2x + 1$, la dérivée de $\ln u$ est $\dfrac{u'}{u}$, donc 

$f'(x) = \dfrac{2}{2x + 1}$. 
		\item  %Étudier le sens de variation de la fonction $f$ et dresser son tableau de variation. 
On a $x > - \frac{1}{2} \rightarrow 2x > -1 \Rightarrow 2x + 1 > 0$. Comme $2 > 0,~\dfrac{2}{2x + 1}> 0$.

Conclusion : sur $\left]-\dfrac{1}{2}~;~ +\infty\right[,~f'(x) > 0$, donc la fonction $f$ est croissante sur son intervalle de définition.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,3)
\psframe(6,3)
\psline(0,2)(6,2) \psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.4,2){$- \frac{1}{2}$} \uput[u](5.6,2){$+ \infty$}
\rput(1,1){$f(x)$} \uput[u](2.4,0){$-\infty$}\uput[d](5.6,2){$+\infty$}
\psline{->}(2.8,0.3)(5.2,1.7)
\end{pspicture}
\end{center}
		\item  %Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, on a $f(x) \geqslant  1$.
On a $f(0) = 1 + \ln 1 = 1$.
		
On a vu que la fonction est croissante en particulier sur $[0~ ;~+ \infty[$ et comme $f(0) = 1$, on en déduit que sur $[0~;~+\infty[,~f(x) \geqslant 1$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Résoudre dans l'intervalle $\left]-\dfrac{1}{2}~;~ +\infty\right[$ l'équation : $1 + \ln (2x +1) = 0$.
$1 + \ln (2x +1) = 0 \iff \ln (2x +1) = - 1 \iff \ln (2x + 1) = \ln \text{e}^{-1} \iff 2x + 1 = \text{e}^{-1}$ (par croissance de la fonction $\ln$) $\iff x = \dfrac{}{2}\left(\text{e}^{-1} - 1\right)$.

\emph{Rem. : la fonction étant croissante sur son intervalle de définition on savait qu'il n'y avait qu'une solution à cette équation.}		
 
		\item %Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec chacun des axes du repère.
On vient de trouver le point d'intersection de $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses $\left(\dfrac{1}{2}\left(\text{e}^{-1} - 1\right)~;~0 \right)$ et on a vu que $f(0) = 1$ donc le point d'intersection avec l'axe des ordonnées est $(0~;~1)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude d'une fonction} \boldmath $g$ \unboldmath 

\medskip

%Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ par : 

%\[g(x) = (x + 1)\text{e}^{-x}.\] 
%On note $\Gamma$ la courbe représentative de $g$ dans le repère \Oij.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de $g$ en $- \infty$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} (x + 1) = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{-x} = + \infty$, d'o\`u par produit de limites : $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} g(x)  = - \infty$
		\item %Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$. Donner une interprétation graphique de cette limite.
$g(x) = \dfrac{x}{\text{e}^{x}} + \dfrac{1}{\text{e}^{x}}$.
		
Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x}{\text{e}^{x}} = 0$  et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{\text{e}^{x}} = 0$, on en déduit que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = 0$.

Géométriquement ceci signifie que l'axe des abscisses est asymptote à $\Gamma$ au voisinage de plus l'infini.
	\end{enumerate}
\item %Soit $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'ensemble $\R$ des nombres réels. 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que, pour tout réel $x,~ g'(x) = -x\text{e}^{-x}$.
Quel soit le réel $x$, 		$g'(x) = \text{e}^{-x} - (x + 1)\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}(1 - x - 1) = -x \text{e}^{-x}$. 
		\item %Étudier le signe de $g'(x)$ selon les valeurs du réel $x$ et dresser le tableau de variation de la fonction $g$.
On sait que quel soit le réel $x$, $\text{e}^{-x} > 0$ : le signe de $g'(x)$ est celui de $-x$, donc :

- pour $x < 0,~g'(x) > 0$ ;

- pour $x > 0,~g'(x) < 0$.

On en déduit les variations de la fonction $g$ sur $\R$ :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2)(8,2) \psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.4,2){$- \infty$}\uput[u](5,2){$0$} \uput[u](7.6,2){$+ \infty$}
\rput(1,1){$g(x)$} \uput[u](2.4,0){$-\infty$}\uput[u](7.8,0){$0$}
\uput[d](5,2){$1$}
\psline{->}(2.8,0.3)(4.6,1.7)\psline{->}(5.4,1.7)(7.5,0.3)
\end{pspicture}
\end{center} 
	\end{enumerate} 
\item %Vérifier que, pour tout réel $x$, on a $g(x) \leqslant  1$.
La fonction $g$ a un maximum (extremum avec changement du signe de la dérivée en $0$), maximum égal à $1$ : on a donc quel que soit $x \in \R,~g(x) \leqslant 1$. 
\item ~%Tracer la courbe $\Gamma$ dans le même repère que la courbe $\mathcal{C}$ sur la feuille donnée en annexe.
\psset{unit=1.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(3,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.5pt,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-2)(3,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2.5,-2.5)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[linecolor=red,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{2}{2 x mul 1 add ln 1 add}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{2}{0}{x 1 add 2.71828 x exp div}}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1.54}{3}{x 1 add 2.71828 x exp div}
\uput[d](3,0){$x$} \uput[l](0,3){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[linecolor=red,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-0.485}{3}{2 x mul 1 add ln 1 add}
\uput[u](2.2,2.65){\red$\mathcal{C}$}\uput[u](2.2,0.35){\blue $\Gamma$}
\rput(1.25,1.5){$\mathcal{P}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Calcul d'aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par: 
%\[F(x) = \left(x + \dfrac{1}{2}\right)\ln (2x + 1).\] 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur cet intervalle.
		La fonction $F$ produit de fonctions dérivables sur  $[0~;~ +\infty[$ est dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ et :
		
$F'(x) = \ln (2x + 1) + 2\left(x + \dfrac{1}{2} \right) \dfrac{1}{2x + 1} = \ln (2x + 1) + \dfrac{2x + 1}{2x+1} = 1 + \ln (2x + 1) = f(x)$.

Conclusion : $F$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~ +\infty[$.
		\item %Calculer l'intégrale $I_{1} = \displaystyle\int_{0}^2  f(x)\:\text{d}x$.
On a vu que sur $[0~;~ +\infty[, f(x) \geqslant 1 > 0$ : l'aire de la surface limitée par $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 2$ est égale (en unité d'aire) à :

$I_{1} = \displaystyle\int_{0}^2  f(x)\:\text{d}x = \left[F(x) \right]_{0}^2 = F(2) - F(0) = \left(2 + \dfrac{1}{2}\right)\ln (2\times 2 + 1) - \left(\dfrac{1}{2}\right)\ln (2\times 0 + 1) = \dfrac{5}{2}\ln 5 - 0 = \dfrac{5}{2}\ln 5$.
	\end{enumerate} 
\item %On considère la fonction $G$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par : $G(x) = (- x - 2)\text{e}^{-x}$.
 
%On admet que la fonction $G$ est une primitive de $g$ sur $[0~;~ +\infty[$.
 
%Calculer l'intégrale $I_{2} = \displaystyle\int_{0}^2  g(x)\:\text{d}x$.
$I_{2} = \displaystyle\int_{0}^2  g(x)\:\text{d}x = \left[G(x) \right]_{0}^2 = G(2) - G(0) = (- 2 - 2)\text{e}^{-2} - (- 0 - 2)\text{e}^{-0} = -4\text{e}^{-2} + 2 = 2 - 4\text{e}^{-2}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer, en utilisant des résultats établis dans les parties A et B, que la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de la courbe $\Gamma$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
On a vu que sur  $[0~;~ +\infty[$, $f(x) \geqslant 1$ et $g(x) \leqslant 1$. Il en résulte donc que sur $[0~;~ +\infty[,~g(x) \leqslant f(x)$, c'est-à-dire géométriquement que $\Gamma$ est au dessous de $\mathcal{C}$.
		\item  %Hachurer sur le graphique la partie $\mathcal{P}$ du plan délimitée par la courbe $\Gamma$, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$.
Voir la figure plus haut. 
		\item  %Déduire de ce qui précède la valeur exacte de l'aire de la partie $\mathcal{P}$ exprimée en unités d'aire.
On a vu que  sur $[0~ ;~+ \infty[$, $f(x) > 0$ et $0 < g(x) \leqslant 1$. Donc  l'aire de la partie $\mathcal{P}$ comprise entre les deux courbes et les deux droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$ est égale, en unité d'aire  à :

\[I_{1} - I_{2} = \dfrac{5}{2}\ln 5 - \left(2 - 4\text{e}^{-2} \right) = \dfrac{5}{2}\ln 5 - 2 + 4\text{e}^{-2}.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%
%\newpage

%\begin{center}
%\textbf{Annexe : À rendre avec la copie}

%\vspace{3cm}

%\psset{unit=2cm}
%\begin{pspicture}(-2,-2.5)(3,3)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2.5)(3,3)
%\uput[d](3,0){$x$} \uput[l](0,3){$y$}
%\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-0.485}{3}{x 2 mul 1 add ln 1 add}
%\uput[ul](1,2.1){$\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O}
%\end{pspicture}
%\end{center}
\end{document}