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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Métropole  septembre 2006~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, génie électrotechnique, optique}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

% j désigne le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{2\pi}{3}$.
\begin{enumerate}
\item %Résoudre, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation d'inconnue $z :$
%\[   (1 - 2\text{i})z = (1 - \text{i})z - 1 - \text{i}.\]
$(1 - 2\text{i})z = (1 - \text{i})z - 1 - \text{i} \iff (1 - 2\text{i} - 1 + \text{i})z = - 1 - \text{i} \iff -\text{i}z = - 1 - \text{i} \iff z = 1 - \text{i}$.
\item  %Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $4$~cm, on considère les points A, B et D tels que :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item A est le point d'affixe $z_{\text{A}} =1 - \text{i}$,
%\item B est l'image du point A par la rotation $R$ de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ ;
%\item D est le symétrique du point A par rapport à O.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item  %Faire une figure et la compléter au fur et à mesure.
		Voir plus bas
		\item  %Calculer le module et un argument de l'affixe $z_{\text{A}}$ du point A.
$\left|z_{\text{A}}\right|^2 = 1 + 1 = 2 \Rightarrow \left|z_{\text{A}}\right| = \sqrt{2}$.

On peut donc écrire $z_{\text{A}} = \sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = 2\left[\cos \left( - \frac{\pi}{4}\right) + \text{i}\sin  \left(- \frac{\pi}{4}\right)\right]$.

Un argument de $z_{\text{A}}$ est donc $- \dfrac{\pi}{4}$.
		\item  %Déterminer la forme algébrique de l'affixe $z_{\text{D}}$ du point D. Justifier.
On a $z_{\text{D}} = - z_{\text{A}}$.  Le module de $z_{\text{D}}$ est égal à celui de $z_{\text{A}}$ soit $\sqrt{2}$ et un de ses arguments est : $- \dfrac{\pi}{4} + \pi = \dfrac{3\pi}{4}$.
		\item  %Calculer le module et un argument du nombre complexe $z_{\text{B}}$ affixe du point B.
Par la rotation $R$ un point d'affixe $z$ a pour affixe $z'$ telle que : $z' = z\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.

Donc $z_{\text{B}} = z_{\text{A}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} = \sqrt{2}\text{e}^{- \pi}{4} = \sqrt{2}\text{e}^{\frac{\pi}{12}}$.

Le module de $z_{\text{B}}$ est donc égal à $\sqrt{2}$ et un de ses arguments à $\dfrac{\pi}{12}$.
		\item  %Justifier que le triangle AOB est équilatéral, en déduire la valeur de la distance AB.
B est l'image du point A par la rotation $R$ de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ ; donc OA = OB et $\left(\vect{\text{OA}}~;~\vect{\text{OB}}\right) = \dfrac{\pi}{3}$.

 Le triangle AOB étant  isocèle en O, ses trois angles ont pour mesure $\dfrac{\pi}{3}$ : il est donc équilatéral.
 
 En particulier AB  = OA $ = \left|z_{\text{A}}\right| = \sqrt{2}$.
	\end{enumerate}
\item  %On note C l'image de B par la translation $T$ de vecteur d'affixe $-1 + \text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Établir l'égalité vectorielle $\vect{\text{AD}} = 2\vect{\text{BC}}$.
On a par définition : $\vect{\text{BC}} = \vect{w}$.

D'autre part $\vect{\text{AD}} = 2\vect{\text{OD}} = 2\vect{w}$, puisque D a pour affixe $-1 + \text{i}$.

On a donc $\vect{\text{AD}} = 2\vect{\text{BC}}$.
		\item   %Démontrer que le quadrilatère OBCD est un parallélogramme.
		On vient de voir que $\vect{\text{BC}} = \vect{w}$ et $\vect{\text{OD}} = \vect{w}$, donc $\vect{\text{BC}} = \vect{\text{OD}} \iff $ ODCB est un parallélogramme.
		\item   %Prouver que CD = AB.
ODCB est un parallélogramme entraîne que CD = OB ; mais OAB étant équilatéral OB = AB ; donc 	CD = AB.	
		\item   %En déduire que le quadrilatère ABCD est un trapèze isocèle.
A, O et D sont alignés  ; (OD) est parallèle à (BC) : le quadrilatère ABCD a deux côtés opposés parallèles : c'est un trapèze.

D'autre part on a démontré que CD = AB : ABCD est donc un trapèze isocèle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=3cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(1.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.5,-1.5)(1.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \uput[dl](0,0){O}
\uput[ur](0.85,0.85){\textcolor{blue}{$\vect{w}$}}
\pscircle[linestyle=dashed](0,0){1.414}
\SpecialCoor
\psdots(1.414;-45)(1.414;15)(1.414;75)(1.414;135)%ABCD
\uput[dr](1.414;-45){A} \uput[ur](1.414;15){B} \uput[ur](1.414;75){C} \uput[ul](1.414;135){D}
\pspolygon(1.414;-45)(1.414;15)(1.414;75)(1.414;135)
\psline(1.414;15)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(1.414;15)(1.414;75) 
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}	

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

%Un joueur lance successivement et dans cet ordre trois pièces de monnaie : une de $2$~euros et deux de $1$~euro.
\begin{enumerate}
\item  %Déterminer les différents résultats possibles, sachant qu'un résultat peut être considéré comme un triplet du type (P, F, P) par exemple, P désignant pile et F désignant face.

%Chaque pièce est parfaitement équilibrée. On est dans une situation d'équiprobabilité.

Les résultats possibles sont :

(P, P, P)\quad (P, P, F) \quad (P, F, P) \quad (P, F, F) \quad (F, P, P) \quad (F, P, F) \quad (F, F, P) \quad (F, F, F)
\item  %Si les trois pièces présentent leur côté face, le joueur perd $5$~euros : sinon il gagne la somme des euros figurant sur les pièces présentant leur côté pile.

%Soit X la variable aléatoire qui, à chaque lancer des trois pièces, associe la somme d'argent gagnée en euros. Lorsque le joueur perd, la variable X prend alors une valeur négative.
	\begin{enumerate}
		\item  %Quelles valeurs peut prendre X ?
Les résultats précédents conduisent respectivement aux valeurs suivantes :
		
4 \quad 3 \quad 3 \quad 2 \quad 2 \quad 1 \quad 1 \quad $-5$ 
		\item  ~%Donner la loi de probabilité de X.
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&4 & 3 &2 &1& $-5$ \\ \hline
$p\left(X = x_{i}\right)$& 1/8&2/8&2/8&2/8&1/8  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
		\item  %Calculer la probabilité de l'évènement \og  X $\leqslant  2$ \fg.
$p(X \leqslant 2) = p(X = 2) + p(X = 1) + p(X = -5) = \dfrac{2}{8} + \dfrac{2}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{5}{8}$.
	\end{enumerate}
\item  %On dit qu'un jeu est équitable lorsque l'espérance mathématique du gain est égale à $0$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Ce jeu est-il équitable ?
		On a E($X) = 4 \times \dfrac{1}{8}+ 3 \times \dfrac{2}{8} + 2 \times \dfrac{2}{8} + 1\times \dfrac{2}{8} + (-5) \times \dfrac{1}{8} = \dfrac{11}{8}$.
		
L'espérance (de gain) est positive : le jeu n'est pas équitable.
		\item  %Quelle somme le joueur devrait-il perdre lorsque les trois pièces présentent leur côté face pour que ce jeu soit équitable ?
		On reprend le calcul de l'espérance avec une perte de $x$ euros si les trois pièces présentent leur côté face :
		
E($X) = 4 \times \dfrac{1}{8}+ 3 \times \dfrac{2}{8} + 2 \times \dfrac{2}{8} + 1\times \dfrac{2}{8} + x \times \dfrac{1}{8} = \dfrac{16+ x}{8}$.

Donc l'espérance est nulle si $x = - 16$.		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A : Détermination d'une fonction}

\medskip

%Soit $f$ une fonction définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$,  la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} du plan et $f'$ la fonction dérivée de $f$.

%On sait de plus que :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] la droite $\Delta$ d'équation $y = 1$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ en $-\infty$ ;
%\item[$\bullet~$] la courbe $\mathcal{C}_{f}$ passe par le point A(0 ; 4)
%\item[$\bullet~$] la courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet au point d'abscisse $\dfrac{1}{4}$ une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item  %Déterminer les nombres réels suivants en justifiant la réponse donnée :

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.} $f(0)$&		\textbf{b.} $f'\left(\dfrac{1}{4}\right)$& \textbf{c.} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$.
%\end{tabularx}
Comme A$(0~;~4) \in \mathcal{C}_{f}$, on a $f(0) = 4$.

D'après la dernière information le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $\dfrac{1}{4}$ est nul : $f'\left(\dfrac{1}{4}\right) = 0$.

D'après la première information on a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 1$.
\item  %On admet que, pour tout réel $x,~ f(x) = a + (bx + c)\text{e}^{2x}$ où $a,~ b$ et $c$ sont trois constantes réelles.
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que, pour tout réel $x,~f'(x)  = (2bx +b + 2c)\text{e}^{2x}$.
$f$ est dérivable sur $\R$ et 

$f'(x) = b\text{e}^{2x} + 2(bx + c)\text{e}^{2x} = (2bx + b + 2c)\text{e}^{2x}$.
		\item  %Exprimer en fonction de $a,~ b$ et $c$ les nombres réels suivants :
		
%$f(0)~~;~~f'\left(\dfrac{1}{4}\right)~~;~~\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$ (on admet que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^{2x} = 0$).
$f(x) = a + (bx + c)\text{e}^{2x} \Rightarrow f(0) = a + c$ ;

$f'(x)  = (2bx + b + 2c)\text{e}^{2x} \Rightarrow f'\left(\frac{1}{4} \right) = \left(2b\frac{1}{4} + b + 2c \right)\text{e}^{2\times \frac{1}{4}} = \left(\dfrac{3b}{2} + 2c \right)\text{e}^{ \frac{1}{2}}$ ; 

Comme $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^{2x} = 0$ et que $f(x) = a + bx\text{e}^{2x} + c\text{e}^{2x}$, on peut en déduire que 

$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = a$.
	\end{enumerate}
\item  	
	\begin{enumerate}
		\item  %Déduire des questions précédentes que les réels $a,~ b$ et $c$ sont solutions du système :
		En comparant les résultats des questions 1 et 2 on en déduit que  $a,~ b$ et $c$ sont solutions du système :
		
$\left\{\begin{array}{l c l}
 a + c 				&=&4\\
\dfrac{3}{2}b + 2c 	&=&0\\
 a					&=&1\\
 \end{array}\right.$  
		\item %Résoudre ce système et donner l'expression de $f(x)$ en fonction de $x$.
Le système précédent est équivalent à 
		
$\left\{\begin{array}{l c l}
 1 + c 				&=&4\\
\dfrac{3}{2}b + 2c 	&=&0\\
 a					&=&1\\
 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
 c 				&=&3\\
\dfrac{3}{2}b + 2c 	&=&0\\
 a					&=&1\\
 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
 c 				&=&3\\
\dfrac{3}{2}b + 6 	&=&0\\
 a					&=&1\\
 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
 c 				&=&3\\
b  	&=&-4\\
 a					&=&1\\
 \end{array}\right.$
 
On a donc $f(x) = f(x) = 1 + (-4x + 3)\text{e}^{2x}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B: étude et représentation d'une fonction}

\medskip

%On admet que $f$ est définie sur $\R$ par : 
%\[f(x) = 1 + (-4x + 3)\text{e}^{2x}.\] 
%$\mathcal{C}_{f}$ est la courbe représentative de $f$
%dans le repère orthonormal \Oij{} d'unité $2$~cm.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
$f(x) = 1 + (-4x + 3)\text{e}^{2x} = 1 - 4x\text{e}^{2x} + 3\text{e}^{2x}$.

On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{2x} = \displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^{2x} = 0$.

Conclusion : $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 1$.
		\item  %On rappelle que la droite $\Delta$ d'équation $y = l$ est asymptote à la courbe	$\mathcal{C}_{f}$	en $- \infty$.
		
%Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}_{f}$	par rapport à la droite $\Delta$.
Soit la fonction $d$ définie sur $\R$ par :

$d(x)  = f(x) - 1 = (-4x + 3)\text{e}^{2x}$.

Comme $\text{e}^{2x} > 0$ quel que soit $x \in \R$, le signe de $d(x)$ est celui de $-4x + 3$.

$-4x + 3 > 0 \iff 3 > 4x \iff \dfrac{3}{4} > x$ ; 

$-4x + 3 < 0 \iff 3 < 4x \iff \dfrac{3}{4} < x$.

Conclusion : sur $\left]- \infty~;~\dfrac{3}{4}\right[$, la fonction $d$ est positive ce qui signifie que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ est au dessus de l'asymptote $\Delta$ et sur $\left]\dfrac{3}{4}~;~+ \infty\right[$ la courbe $\mathcal{C}_{f}$ est au dessous de l'asymptote $\Delta$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer $f'(x),~ f'$ étant la fonction dérivée de la fonction $f$.
$f$ est une somme de fonctions dérivables sur $\R$ et 

$f'(x) = -4\text{e}^{2x} + 2(-4x + 3)\text{e}^{2x} = (-8x + 2)\text{e}^{2x}$.
		\item  %Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$ et établir son tableau de variations.
Le signe de $f'(x)$ est celui de $(-8x + 2)$.

Or $-8x + 2 > 0 \iff 2 > 8x \iff \dfrac{1}{4} > x$ : donc sur $\left]-\infty~;~\dfrac{1}{4}\right[$, $f'(x) > 0$, donc $f$ est croissante ;

$-8x + 2 < 0 \iff 2 < 8x \iff \dfrac{1}{4} < x$ : donc sur $\left]\dfrac{1}{4}~;~+\infty\right[$, $f'(x) < 0$, donc $f$ est décroissante.

D'où le tableau de variations :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,2.5)
\psframe(8,2.5) \psline(0,2)(8,2) \psline(2,0)(2,2.5)
\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.4,2){$-\infty$} \uput[u](5,2){$1/4$} \uput[u](7.6,2){$+\infty$}
\rput(1,1){$f(x)$} 
\psline{->}(2.6,0.3)(4.4,1.7) \psline{->}(5.6,1.7)(7.4,0.3)
\uput[u](2.2,0){$1$} \uput[u](7.6,0){$-\infty$} 
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $\left[\dfrac{1}{4}~;~1\right]$.
Le minimum de la fonction est égal à $f\left(\frac{1}{4}\right) = 1 + \left(-4 \times \frac{1}{4} + 3\right)\text{e}^{2\times \frac{1}{4}} = 1 + 2\text{e}^{\frac{1}{2}}$.

Ce minimum est la somme de deux nombres supérieur à zéro : il est supérieur à zéro.

$f(1) = 1 - \text{e}^{2} \approx -6 < 0$.

Sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{4}~;~1\right]$ la fonction est décroissante : conclusion : il existe un réel unique $\alpha$ de cet intervalle tel que $f(\alpha) = 0$.
		
		\item  %Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
La calculatrice donne :

$f(0,8) \approx 0,009$ et $f(0,9) \approx -2,63$, donc $0,8 < \alpha < 0,9$ ;

$f(0,80) \approx 0,009$ et $f(0,81) \approx -0,21$, donc $0,80 < \alpha < 0,81$
	\end{enumerate}
\item  %En utilisant les résultats précédents, construire sur la feuille de papier millimétré, la droite $\delta$ puis la courbe $\mathcal{C}_{f}$ dans le repère \Oij.
Voir plus bas.
\end{enumerate} 
\medskip
 
\textbf{Partie C :  calcul d'une aire}

\medskip

%On considère les fonctions $h$ et $H$ définies sur $\R$ par :

%\[h(x) = (-4x+3)\text{e}^{2x}~~ \text{et}~~ H(x) = \left(- 2x + \dfrac{5}{2}\right)\text{e}^{2x}.\]
\begin{enumerate}
\item  %Vérifier que la fonction $H$ est une primitive de la fonction $h$ sur $\R$.
La fonction $H$ est dérivable sur $\R$ et 

$H'(x) = -2\text{e}^{2x} + 2\left(- 2x + \dfrac{5}{2} \right)\text{e}^{2x}  = \text{e}^{2x} (-4x + 5 - 2) = (-4x + 3)\text{e}^{2x} = h(x)$.

Conclusion : $H$ est une primitive sur $\R$ de la fonction $h$.
\item  %On appelle $\mathcal{D}$ la partie du plan comprise entre $\mathcal{C}_{f}$ ,la droite $\Delta$ d'équation $y = 1$ et les droites
%d'équations $x=-1$ et $x=0$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Hachurer $\mathcal{D}$ sur le graphique.
Voir plus bas
		\item  %Calculer la valeur exacte de la mesure, en cm$^2$, de l'aire $\mathcal{A}$ de $\mathcal{D}$ puis en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
D'après le tableau de variations, sur l'intervalle $[-1~;~0]$ la fonction $f$ est positive ; donc l'aire en unité d'aire de la surface $\mathcal{D}$ est égale à l'intégrale :

$\displaystyle\int_{-1}^0 f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{-1}^0 1 + (x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{-1}^0 1\:\text{d}x + \displaystyle\int_{-1}^0 h(x)\:\text{d}x = [x]_{-1}^{0} + \left[H(x) \right]_{-1}^{0} =  1  + H(0) - H(-1) =  1 + \left( \dfrac{5}{2}\right)\text{e}^{2\times 0} - \left(\left(- 2\times (-1) + \dfrac{5}{2}\right)\text{e}^{2\times (-1)} \right) = 1 + \dfrac{5}{2} - \dfrac{9}{2}\text{e}^{-2} = \dfrac{7}{2} - \dfrac{9}{2}\text{e}^{-2}$~(u. a.).

Or l'unité d'aire est égale à $2 \times 2 = 4$~cm$^2$.

Donc l'aire de la partie $\mathcal{D}$ est égale à $4\left(\dfrac{7}{2} - \dfrac{9}{2}\text{e}^{-2} \right) = 14 - 18\text{e}^{-2}$~cm$^2$ soit environ 11,564 ou encore 11,56~cm$2$ au mm$^2$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=1.75cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-6)(4,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.25pt,gridcolor=lightgray](-2,-6)(4,6)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-6)(4,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-1}{0}{3 4 x mul sub 2.71828 x 2 mul exp mul 1 add}
\psline(0,0)(-1,0)}
\psline(-1,0)(-1,1.9473)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[dl](0,0){O}
\uput[u](4,0){$x$}\uput[r](0,6){$y$}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-2}{0.9915}{3 4 x mul sub 2.71828 x 2 mul exp mul 1 add}
\end{pspicture}
\end{center}
\vfill
Si vous photocopiez ce corrigé pensez à en créditer l'\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}, merci
\end{document}