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%% Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rhead{\small Corrigé du baccalauréat STI  Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Antilles-Guyane~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, énergétique, civil juin 2009}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

%Une agence de voyage propose trois durées de séjours - un week-end, une semaine, ou deux semaines - et deux types de destination - France ou Étranger.
% 
%Parmi les dossiers de l'agence, on constate que :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item 60\:\% de séjours ont lieu en France; 
%\item 20\:\% des séjours en France durent deux semaines; 
%\item pour les séjours en France, il y a deux fois plus de séjours d'un week-end que de séjours d'une semaine ; 
%\item 75\:\% des séjours à l'étranger durent deux semaines ; 
%\item il y a autant de séjours d'un week-end que de deux semaines.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item  %L'agence a traité 250 dossiers. Reproduire puis compléter le tableau d'effectifs suivant :

\medskip

\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
				&France &Étranger &Total \\ \hline
Le week-end		&80		&25	&105\\ \hline 
La semaine		&40		&0	&40 \\ \hline 
Deux semaines	&30		&75		&105\\ \hline 
Total			&150	&100&\backslashbox{250}{250}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip 

\item %On choisit un dossier au hasard parmi les 250 dossiers traités. Calculer la probabilité des évènements suivants (on exprimera les résultats sous forme de fractions) : 
	\begin{enumerate}
		\item  %F : \og le dossier choisi est, celui d'un séjour en France \fg{} ;
$p(F) = \dfrac{150}{250} = \dfrac{3}{5} = 0,6$. 
		\item %S : \og le dossier choisi est celui d'un séjour de deux semaines \fg{} ;
$p(S) = \dfrac{105}{250} = \dfrac{21}{50} = 0,42$. 
		\item %Sachant que le dossier choisi est celui d'un séjour de deux semaines, quelle est la probabilité qu'il soit celui d'un séjour en France ?
		Il faut trouver $p_{S}(F) = \dfrac{p(S \cap F)}{p(S)} = \dfrac{\frac{30}{250}}{\frac{105}{250}} = \dfrac{30}{105} = \dfrac{2}{7}$.
	\end{enumerate}
	 
%Dans la suite, on considère que la probabilité pour un client de choisir un séjour d'un week-end ou de choisir un séjour de deux semaines est la même, égale à 0,42.
 
\item %Le traitement d'un dossier par l'agence a un coût : appels téléphoniques, recherches, temps passé, \ldots
 
Les frais de dossier s'élèvent pour l'agence à :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item 2 euros pour un séjour d'un week-end ; 
%\item 5 euros pour un séjour d'une semaine ; 
%\item 15 euros pour un séjour de deux semaines ; 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\medskip

%Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque type de dossier associe son coût. 
	\begin{enumerate}
		\item ~ %Donner la loi de probabilité de $X$.
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$X$&2&5&15\\ \hline
$p(X = x_{i})$&0,42&0,16&0,42\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
		\item %Calculer E($X$), espérance mathématique de $X$. On fera apparaître de façon détaillée l'application de la formule donnant E($X$).
E($X)  = 2 \times 0,42 + 5 \times 0,16 + 15 \times 0,42 = 0,84 + 0,80 + 6,30 = 7,94$~\euro.
		\item %Par souci de commodité, l'agence demande une somme forfaitaire à chaque client quelque soit le type de séjour qu'il a choisi.
		 
%Quelle somme doit-elle demander à chaque client pour espérer rentrer au moins dans ses frais ? Expliquer cette réponse.
Le coût moyen d'un dossier est égal à  $7,94$~\euro ; pour rentrer dans ses frais l'agence doit au moins demander cette somme à chaque client, soit 8~\euro{} à 10~centimes près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points} 

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (Q.C.M.).
% 
%Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées dont une seule est exacte.

% Pour chacune des questions, donner, sans justification, la bonne réponse sur la copie.
%  
%Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse inexacte ou l'absence de réponse est comptée 0 point.
 
\begin{enumerate}
\item  Le nombre complexe $z = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ a pour module et argument respectivement : 

%\textbf{Réponse A :} 1 et $\dfrac{\pi}{6}$ ; 
% 
%\textbf{Réponse B :} 2 et  $\dfrac{\pi}{3}$ ;

%\textbf{Réponse C :} 4 et $-\dfrac{\pi}{3}$ 
On a $|z|^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2 \Rightarrow |z| = 2$.

D'où $z = 2\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2\left(\cos \frac{\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{\pi}{3}\right)$. Donc réponse B.
\item %Le plan complexe est rapporté au repère \Ouv.
 
%Le point d'affixe $1 + \text{i}$ appartient :

%\textbf{Réponse A :} au cercle de centre O et de rayon 1 ; 

%\textbf{Réponse B :} à la droite d'équation $y =-x$ ;

%\textbf{Réponse C :} au cercle de centre O et de rayon $\sqrt{2}$. 
Si A$(1 + \text{i})$, on a OA$^2 = 1 + 1 = 2$, donc OA $ = \sqrt{2}$, donc réponse C
\item %Une solution de l'équation $\dfrac{z - \text{i}}{z + \text{i}} = - \text{i}$ 	 est :
 
$\dfrac{z - \text{i}}{z + \text{i}} = - \text{i} \iff z - \text{i} = -\text{i}z + 1 \iff z(1 + \text{i}) = 1 + \text{i} \iff z = 1$ (car $1 + \text{i} \neq 0$. Donc réponse A. 
%\textbf{Réponse A :} 1 ;  \textbf{Réponse B :} i ;   \textbf{Réponse C :} $0$.

\item   %L'ensemble des points d'affixe $z$ tels que : $\left|z +  \text{i}\right| = \left|z -  1\right|$ est : 

%\textbf{Réponse A :} la droite d'équation $y = x -1$ ; 

%\textbf{Réponse B :} la droite d'équation $y = -x$ ;
% 
%\textbf{Réponse C :} la droite d'équation $y = x$. 
Si A$(0~;~- \text{i})$ et B(1~;~0), alors $\left|z +  \text{i}\right| = \left|z -  1\right|$ signifie que $M\text{A} = M\text{B}$, donc que $M$ appartient à la médiatrice de [AB] qui a pour équation $y = - x$. Donc réponse  B.

Remarque : on peut aussi noter $z = x + \text{i}y$ et arriver à $y = - x$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points} 

\medskip

%La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :
%\[ f (x) = a \dfrac{\ln x}{x} + b,\]
% où $a$ et $b$ sont deux nombres réels à  déterminer.
%  
%$f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
% 
%On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de cette fonction $f$, dans un repère orthonormé \Oij{} du plan d'unité graphique 2~cm.
% 
%On a représenté la courbe $\mathcal{C}$, sur la feuille annexe.
% 
%La droite T est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point de coordonnées (1~;~2) ; elle coupe l'axe des ordonnées au 
%point de coordonnées (0~;~1).

%\medskip
 
\textbf{Partie A : recherche de l'expression de} \boldmath $f(x)$ \unboldmath

En utilisant le graphique de la feuille annexe,
  
\begin{enumerate}
\item %Préciser (sans justifier) les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$.
On lit $f(1) = 2$.

La droite $T$ est la tangente à la courbe au point d'abscisse $1$. Le nombre dérivé $f'(1)$ est donc le coefficient directeur de $T$ qui contient les points (0~;~1) et (1~;~2), donc $f'(1)  = \dfrac{2  - 1}{1 - 0} = 1$. 
\item %Déterminer $f'(x)$, en fonction de la variable $x$, du nombre réel $a$ et du nombre réel $b$ si besoin.
$x \neq 0$, donc $f$ est dérivable sur  $]0~;~+ \infty[$ et $f'(x) = a\dfrac{\frac{1}{x}\times x - \ln x \times 1}{x^2} = a\dfrac{1 - \ln x}{x^2}$.
\item %Utiliser les deux questions précédentes pour déterminer les valeurs de $a$ et $b$.
\[\left\{ \begin{array}{l c l}
f(1) &=&2\\
f'(1)&=&1
\end{array}\right. \iff 
\left\{ \begin{array}{l c l}
a\dfrac{\ln 1}{1} + b&=&2\\
a\dfrac{1 - \ln 1}{1^2}&=&1
\end{array}\right. \iff 
\left\{ \begin{array}{l c l}
b&=&2\\
a&=&1
\end{array}\right. \]
\end{enumerate}

Conclusion : sur $]0~;~+ \infty[,~f(x) = \dfrac{\ln x}{x} + 2.$
\bigskip
 
\textbf{Partie B : étude de la fonction}  \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

%Dans la suite du problème, la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par :

%\[ f(x) = \dfrac{\ln x}{x} + 2.\]

\begin{enumerate}
\item %Déterminer, par le calcul, la limite de $f(x)$ en $O$. 

%En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ dont on donnera une équation. 
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x= - \infty$ et que $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x}= + \infty$, d'où par produit des limites $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln x}{x}= - \infty$.

On en déduit que l'axe des ordonnées d'équation $y = 0$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}$ au voisinage de $0$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer, par le calcul, que la droite $D$, d'équation, $y = 2$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$.
On sait (puissances comparées) que  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$ et par conséquent $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 2$.

Donc la droite $D$ d'équation $y = 2$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini.
		\item %Étudier par le calcul, la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $D$ sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$. 
Soit $d$ la fonction définie sur $]0~;~ + \infty[$ par $d(x) = f(x) - 2 = \dfrac{\ln x}{x}$.

Comme $x > 0$, le signe de ce quotient est le signe du numérateur $\ln x$, soit :

- $\ln x > 0 \iff x  > 1$, donc sur l'intervalle $]1~;~+\infty[$ $\mathcal{C}$ est au dessus de $D$ ;

- $\ln x = 0 \iff x = 1$ ; le point (1~;~2) est commun à $\mathcal{C}$ et à $D$ ;

- $\ln x < 0 \iff x < 1$, donc sur l'intervalle   $]0~ ;~1[$ la courbe $\mathcal{C}$ est au dessous de $D$.
		\item %Tracer la droite $D$ sur la feuille annexe.
Voir plus bas.
	\end{enumerate} 
\item %Déterminer $f'(x)$.
Sur $]0~;~+ \infty]$, la fonction $f$ est dérivable et $f'(x) = \dfrac{\frac{1}{x}\times x - \ln x \times 1}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$. 
\item %Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$ en justifiant avec soin le signe de $f'(x)$.
Comme $x^2 > 0$ sur $]0~;~+ \infty]$ la dérivée est du signe du numérateur $1 - \ln x$.

Or $1 - \ln x > 0 \iff 1 > \ln x \iff \text{e} > x$. La dérivée est positive non nulle sur l'intervalle $]0~;~\text{e}[$.

De m\^eme  $1 - \ln x < 0 \iff 1 < \ln x \iff \text{e} < x$. La dérivée est négative non nulle sur $]\text{e}~;~+ \infty[$.

D'où le tableau de variations :

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,2)(8,2)\psline(0,2.5)(8,2.5)\psline(2,0)(2,3)
\psline(2.1,0)(2.1,2)
\uput[u](1,2.5){$x$}\uput[u](2.1,2.5){$0$}\uput[u](5,2.5){e}\uput[u](7.7,2.5){$+ \infty$}
\uput[u](1,1.9){$f'(x)$}\uput[u](3.5,1.9){$+$}\uput[u](5,1.9){$0$}\uput[u](6.5,2){$-$}
\rput(1,1){$f(x)$}\uput[u](2.4,0){$-\infty$} \uput[d](5,2){$2 + \frac{1}{\text{e}}$} \uput[u](7.8,0){$2$}
\psline{->}(2.7,0.3)(4.5,1.7)\psline{->}(5.5,1.7)(7.5,0.3) 
\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Calcul d'une aire}

\medskip
 
%Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 
\[g(x) = (\ln x)^2\]
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $g'(x)$, où $g'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $g$.
$g$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ et $g'(x) = 2 \ln x \times (\ln x)' = 2\ln x \times \dfrac{1}{x} = 2\dfrac{\ln x}{x}$. 

Conclusion sur $]0~;~+ \infty[$ une primitive de $\dfrac{\ln x}{x}$ est $\dfrac{1}{2}g(x) = \dfrac{1}{2}(\ln x)^2$.

Finalement une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$ est la fonction $F$ définie sur cet intervalle est  $F(x) = \dfrac{1}{2}(\ln x)^2 + 2x.$
%En déduire une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$. 
\item %On considère le domaine du plan $S$ délimité par la droite d'équation $x = 1$, la droite d'équation $x = \text{e}$, la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $D$.
 
%Calculer, en unités d'aire puis en cm$^2$, la mesure de l'aire du domaine $S$.
On a vu que sur $[1~ ;~\text{e}]$, $\mathcal{C}$ est au dessus de $D$, donc l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $S$ est en unité d'aire l'intégrale :

$\mathcal{A} = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} [f(x) - 2]\:\text{dx} = \left[F(x) - 2x \right]_{1}^{\text{e}} = \left[\dfrac{1}{2}(\ln x)^2 \right]_{1}^{\text{e}} = \dfrac{1}{2}\left[(\ln \text{e})^2 - (\ln 1)^2 \right] = \dfrac{1}{2}$~(u.~a.).

L'unité de longueur étant sur les deux axes de 2~cm, une unité d'aire est égale à $2 \times 2 = 4$~cm$^2$.

D'où  $\mathcal{A}  = \dfrac{1}{2} \times 4 = 2$~cm$^2$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Feuille annexe}

\vspace{1cm}

\textbf{(à rendre avec la copie)}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.35cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-2)(7,5.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-1,-2)(7,5)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=8,Dy=8](0,0)(-1.5,-2)(7,5.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) 
\uput[d](.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot{-1.5}{4.5}{x 1 add}
\psline(-1.5,2)(7,2) \uput[d](7,2){$D$}
\psline(1,-1)(1,4) \psline(2.71828,-1)(2.71828,4)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.5pt]{0.3}{7}{x ln x div 2 add}
\uput[dr](2.71828,0){e}
\uput[d](7,0){$x$} \uput[l](0,5.5){$y$}\uput[dr](4,5){$T$}
\uput[dl](0,0){O} \uput[u](7,2.35){\blue $\mathcal{C}$}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.5pt]{1}{2.71828}{x ln x div 2 add}
\psline(2.71828,2)(1,2) 
}
\rput(2.2,2.2){$S$}

\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}