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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rhead{\small Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{23 juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Métropole 23 juin 2009~\decofourright\\[5pt]STI Génie mécanique, civil}}

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

%Pour la construction d'une piscine privée, un architecte a imaginé la forme de la fi\-gure 1 (vue de dessus de la piscine), où \Oij{} est un repère orthonormal d'unité graphique 1 cm. Le périmètre de cette piscine est constitué de deux demi-cercles : $\widearc{\text{AB}}$ de centre O et de rayon 3, et $\widearc{\text{CD}}$ de centre O$'$ et de rayon 4, reliés par deux courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$. L'axe des abscisses est un axe de symétrie de la figure.

%\medskip
% 
%La courbe $\mathcal{C}$ reliant les points A et D est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~8]. 

%\medskip
%\psset{unit=0.7cm}
%\begin{pspicture}(-4,-5)(13,5)
%\psaxes[Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-4,-5)(13,5)
%\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,1)
%\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} 
%\uput[dl](0,0){O} \uput[d](13,0){$x$} 
%\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(0,-1)(8,-1)
%\psline(8,0)(9.71,4.698) \psline{->}(9.71,4.698)(9.368,3.759)\rput{70}(9.3,4.5){$R = 4$}
%\psarc(0,0){3}{90}{-90}
%\psarc(8,0){4}{-90}{90}
%\uput[ul](0,3){A} \uput[dl](0,-3){B} \uput[dr](8,-4){C} \uput[ur](8,4){D} 
%\uput[d](4,-5){figure 1} \uput[dl](0,0){O} \uput[dl](8,0){O$'$} \uput[u](4,-1){8}
%\psplot[plotpoints=5000]{0}{8}{x 2 exp 3 mul 64 div x 3 exp 256 div sub 3 add}
%\psplot[plotpoints=5000]{0}{8}{x 2 exp 3 mul 64 div x 3 exp 256 div sub 3 add neg}
%\psline[linestyle=dashed](8,-5)(8,5)\psline[linestyle=dashed](5,4)(8,4) \psline[linestyle=dashed](0,3)(3,3)
%\uput[u](4,3.5){$\mathcal{C}$} \uput[d](4,-3.5){$\mathcal{C}'$} 
%\SpecialCoor
%\psline(0;0)(4;160) \rput{-20}(-3.8,1){$r = 3$}\psline[linewidth=1pt]{->}(4;160)(3;160)
%\end{pspicture}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %En remarquant que la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A d'abscisse $0$, le point D d'abscisse 8, et qu'en ces points elle admet une tangente horizontale, déterminer les valeurs de $f(0),~ f(8),~ f'(0)$ et $f'(8)$.
 
On lit sur le graphique :

$f(0) = 3,~ f(8) = 4,~f'(0) = 0,~f'(8) = 0$

		\item %On suppose qu'il existe quatre nombres réels $a,~ b,~ c$ et $d$ tels que pour tout réel $x$  de l'intervalle [0~;~8],~ $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$. 
	
%Déterminer l'expression de $f'(x)$ en fonction de $a,~ b,~ c,~ d$ et $x$.
Sur $[0~;~8],~f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$.

		\item %Déduire des questions précédentes que $c = 0$ et $d = 3$ et que les réels $a$ et $b$ vérifient le système : $\left\{\begin{array}{l c l}
%512a + 64b&=&1\\ 
%192a+16b&=&0\\
%\end{array}\right.$.
On a :

$\left\{\begin{array}
{l c l}
f(0)	&=	&3\\
f(8)	&=	&4\\
f'(0)	&=	&0\\
f'(8)	&=	&0\\
\end{array}
\right. \iff 
\left\{\begin{array}
{l c l}
d					&=	&3\\
512a+64b + 8c + d 	&=	& 4\\
c					&=	&0\\
192a + 16b			&=	&0
\end{array}\right.$
		\item %Résoudre le système précédent.
		Il reste à résoudre :
		 
$\left\{\begin{array}
{l c l}
512a + 64b	&=	&1\\
12a + b		&=	&0\\
\end{array}
\right. \iff \left\{\begin{array}
{l c l}
512a + 64b	&=	&1\\
 b			&=	&-12a\\
\end{array}
\right. \iff
\left\{\begin{array}
{l c l}
a	&=	&- \dfrac{1}{256}\\
b 	&= 	&\dfrac{3}{64}\\
\end{array}
\right.$

On a donc $f(x) = - \dfrac{1}{256}x^3 + \dfrac{3}{64}
x^2 + 3$.
	\end{enumerate}
\item %Par la suite, on admet que pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~8],

%$f(x) = - \dfrac{1}{256}x^3 + \dfrac{3}{64} x^2 + 3$, et que $f$ est strictement positive sur [0~;~8]. 

\medskip

%Le but de cette question est de déterminer l'aire de la piscine, en m$^2$, sachant que la figure 1 est une représentation à l'échelle 1/100 de la réalité. 
	\begin{enumerate}
		\item %Expliquer une démarche qui permet d'obtenir l'aire demandée. On rappelle que toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, pourra être prise en compte.
La surface dont on cherche l'aire se décompose en :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item un demi-disque  de rayon 3 ;
\item un demi-disque de rayon 4 ;
\item la surface limitée par la courbe $\mathcal{C}$ l'axe des abscisses, la droite d'équation $x = 0$ et
la droite d'équation $x = 8$ ;
\item la surface symétrique de de la précédente autour de l'axe des abscisses.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
		 
	\item %Calculer, en m$^2$, la valeur exacte de l'aire de la piscine réelle. Donner également la valeur arrondie à 0,1 m$^2$ de cette aire.
L'aire $\mathcal{A}$ demandée est égale à :

$\mathcal{A} = \dfrac{\pi \times 9}{2} + \dfrac{\pi \times 16}{2} + 2 \displaystyle\int_{0}^8 \left(- \dfrac{1}{256}x^3 + \dfrac{1}{64} x^3 + 3x\right) = 12,5\pi + 2\left[- \dfrac{1}{256\times 4}x^4 + \dfrac{1}{64}x^3 + 3x \right]_{0}^8 = 12,5\pi - 2\times \dfrac{1}{256 \times 4}\times 8^4 + 2\times \dfrac{8^3}{64} + 2\times 3 \times 8 = 12,5 \pi + 56~\left(\text{m}^2\right).$

La calculatrice donne $\mathcal{A} \approx 95,269 \approx 95,3~\left(\text{m}^2\right).$	 
	\end{enumerate}
\item %La profondeur d'eau de cette piscine est constante, égale à 1,60~m. Calculer, en m$^3$, la valeur exacte du volume d'eau contenue dans cette piscine. Donner également la valeur arrondie au m$^3$ de ce volume.
Le volume $V$ est égal à :

$V = 1,6(12,5\pi + 56) = 20\pi + 89,6$ soit $V \approx 152,4 \approx 152~\left(\text{m}^3\right)$. 
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 5~cm. 
 
%On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1$ et $z_{\text{B}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(1 + \text{i})$, où i désigne le nombre  complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip 

%Le but de cet exercice est de déterminer la valeur exacte de $\cos \dfrac{\pi}{8}$ 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que les points A et B appartiennent au cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1.
On a de façon évidente $\left|z_{\text{A}}\right| = 1$ ; $\left|z_{\text{B}}\right|^2 = \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)^2  + \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$.

Donc  $\left|z_{\text{B}}\right| = 1$.

Conclusion : les points A et B appartiennent au cercle centré en O de rayon 1.
	\item %Déterminer un argument de $z_{\text{B}}$.
$z_{\text{B}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(1 + \text{i}) = \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \text{i}\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \cos \frac{\pi}{4} + \text{i}\sin \frac{\pi}{4}.$

Un argument de $z_{\text{B}}$ est donc $\dfrac{\pi}{4}.$ 
	\item %Tracer le cercle $\mathcal{C}$, et placer les points A et B.
Voir la figure 
	\item %Soit I le milieu du segment [AB] et $z_{\text{I}}$ son affixe. Placer I sur la figure et prouver que $z_{\text{I}} = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4}\text{i}$.
Le point I se place en construisant la médiatrice de [AB]. 

L'affixe de I est égale à la demi-somme des affixes de A et de B, soit $z_{\text{I}} = \dfrac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{4} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{4}.$ 
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer la distance OI, et prouver que OI $ = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$.
On a $\left|z_{\text{I}} \right|^2 = \left(\dfrac{2 + \sqrt{2}}{4} \right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{2}}{4} \right)^2 = \dfrac{(2 + \sqrt{2})^2 + 2}{16} = \dfrac{4 + 2 + 4\sqrt{2} + 2}{16} = \dfrac{8 + 4\sqrt{2}}{16} = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{4}.$

Finalement OI = $\left|z_{\text{I}} \right| = \sqrt{\dfrac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}.$  
	\item %Démontrer que la droite (OI) est la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$. En déduire un argument de $z_{\text{I}}$.
Dans le triangle isocèle OAB (puisque OA = OB = 1), la droite (OI) médiane est aussi bissectrice de l'angle $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}\right)$, donc  $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OI}}\right) = \frac{\pi}{8}$
	\item %Donner la forme trigonométrique de $z_{\text{I}}$.
$z_{\text{I}}$ a donc pour écriture trigonométrique :

$z_{\text{I}} = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\left(\cos \frac{\pi}{8} + \text{i}\sin \frac{\pi}{8} \right)$
	\end{enumerate}
\item %Montrer à l'aide des résultats obtenus aux questions précédentes que la valeur exacte de $\cos \dfrac{\pi}{8}$  est  	$\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$.
En identifiant les parties réelles de $z_{\text{I}}$ obtenues aux questions  1. d. et 2. c., on obtient :
\[\cos \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}.\]
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=3cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1.1,-1.1)(1.1,1.1)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.1,-1.1)(1.1,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psdots(1,0)(0.707,0.707)(0.853,0.3535)%ABI
\uput[dr](0,0){O}
\uput[ur](1,0){A} 
\uput[ur](0.707,0.707){B} 
\uput[d](0.853,0.3535){I}
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\pspolygon(1,0)(0.707,0.707)(0,0)
\psline(0,0)(0.853,0.3535)
\pscircle(0,0){1}
\end{pspicture}
\end{center} 

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points}

\medskip 

%Le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 2~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées. On s'intéresse, dans ce problème, à la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : 
%\[ f(x) = \dfrac{\ln x}{x} -x + 2.\]
% 
%On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le repère \Oij. 

%\medskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire}
 
%Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$  par 

%\[g(x) =  1- \ln x - x^2.\] 
\begin{enumerate}
\item  %Calculer $g'(x)$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$. En déduire le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
$g'(x) = - \dfrac{1}{x} - 2x = - \dfrac{1 + 2x^2}{x}$.

Sur $]0~;~+\infty[,~x > 0$ et $1 + 2x^2 \geqslant 1 > 0$, donc $g'(x) < 0$.

La fonction $g$ est donc décroissante sur $]0~;~+\infty[$.
\item  %Calculer $g(1)$ et en déduire le signe de $g(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
On a $g(1) = 1 - 0 - 1 = 0$. La fonction étant décroissante :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $g(x) > 0$ si $0< x < 1$ ;
\item[$\bullet~$] $g(1) = 0$ ;
\item[$\bullet~$] $g(x) < 0$ si $x > 1$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$. Interpréter graphiquement cette limite.
Comme $\displaystyle\lim_{x \to 0}\ln x  = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} x = 0,~\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x) = - \infty$.
		\item  %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
		On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} - x  = - \infty$, on a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = - \infty$. 
	\item %Justifier que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = - x + 2$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
	Soit $d$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : $d(x) = g(x) - (- x + 2) = \dfrac{\ln x }{x}$. On a vu que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} = 0$.
	
Ceci montre que la droite  $\mathcal{D}$ d'équation $y = - x + 2$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
	\item %Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$.
	Il faut étudier le signe de $d(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ qui est celui de $\ln x$. Donc :
	
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Si $0 < x < 1,~\mathcal{C}$ est au dessous de $\mathcal{D}$.
\item[$\bullet~$] Si $x = 1,~ \mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ ont un point commun de coordonnées (1~;~1) ;
\item[$\bullet~$] Si $x > 1,~\mathcal{C}$ est au dessus de $\mathcal{D}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$,
		
%		$ f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
$f$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ et 

$f'(x) = \dfrac{\frac{1}{x}\times x - \ln x}{x^2} - 1 = \dfrac{1 - \ln x}{x^2} - 1 = \dfrac{1 - \ln x - x^2}{x^2} = \dfrac{g(x)}{x^2}$.  
	\item %Établir le tableau de variations complet de la fonction  $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
	Comme $x^2 > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $g(x)$ vu en A. 2. D'o\`u le tableau de variations de $f$ : (avec $f(1) = - 1 + 2 = 1$.)
	
\medskip
	
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,4)
\psframe(8,4) \psline(0,2)(8,2) \psline(0,3)(8,3)\psline(2,0)(2,4)
\psline[doubleline=true](2.1,0)(2.1,3)
\uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.1,3){0} \uput[u](5,3){1} \uput[u](7.6,3){$+\infty$}\rput(1,2.5){$f'(x)$} \rput(3.5,2.5){+} \rput(5,2.5){0}\rput(6.5,2.5){$-$} \rput(1,1){$f(x)$}\uput[u](2.4,0){$-\infty$}\uput[d](5,2){1}\uput[u](7.6,0){$- \infty$}
\psline{->}(2.6,0.4)(4.8,1.8)  \psline{->}(5.2,1.8)(7.5,0.4)
\end{pspicture} 
\end{center}
	  
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer les coordonnées du point A de la courbe $\mathcal{C}$ tel que la tangente en ce point soit parallèle à l'asymptote $\mathcal{D}$.
		Le coefficient directeur de $\mathcal{D}$ est égal à $-1$. Il faut donc chercher pour quelle valeur de $x$ le nombre dérivé $f'(x)$ est égal à $-1$, soit :
		
$\dfrac{1 - \ln x - x^2}{x^2} = - 1 \iff  1 - \ln x - x^2 = -x^2 \iff 1 - \ln x = 0 \iff 1 = \ln x \iff \text{e} = x$. Et $f(\text{e} = \dfrac{\ln(\text{e})}{\text{e}} - \text{e} + 2 = \dfrac{1}{\text{e}} + 2 - \text{e}$.

On a donc A$\left(\text{e}~;~\dfrac{1}{\text{e}} + 2 - \text{e} \right)$.
	\item %Déterminer une équation de la droite $\mathcal{T}$, tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse e.
La tangente cherchée est la tangente en A. Une de ses équations est donc 

$y - f(\text{e}) = -1(x - \text{e}) \iff y = -x + \text{e} + f(\text{e})	\iff y = - x + \text{e} + \dfrac{1}{\text{e}} + 2 - \text{e} \iff y = -x + \dfrac{1}{\text{e} } + 2$.
%On rappelle que e est le nombre réel tel que $\ln \text{e} = 1$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer que l'équation $f(x) =  0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle ]0~;~ 1[.
Sur [0~;~1], $f$ est croissante de moins l'infini à $+ 1$ ; comme elle est déri\-vable, il existe un nombre unique $\alpha \in ]0~;~1[$ tel que $f(\alpha) = 0$.		 
		
%On appelle B le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $\alpha$. 
	\item %Donner un encadrement d'amplitude 0,01 de $\alpha$.
	La calculatrice donne $f(0,48) \approx -0,091$ et $f(0,49) \approx 0,054$, donc $0,48 < \alpha < 0,49$.
	\end{enumerate} 
\item %Dans le repère \Oij, placer les points A et B puis tracer les droites $\mathcal{D}$,~ $\mathcal{T}$ et la courbe $\mathcal{C}$. 
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.7cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-5)(6,2)

\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridcolor=gray,subgridcolor=lightgray](0,0)(0,-5)(6,2)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.5,-5)(6,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](6,0){$x$}\uput[r](0,2){$y$}\uput[dr](0,0){O}
\psdots(0.48,0)(2.71828,-0.35)
\uput[dr](0.48,0){B} \uput[u](2.71828,-0.35){A}\uput[r](4,-1.6){$\mathcal{C}$}\uput[d](4,-2){$\mathcal{D}$}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.2223}{6}{x ln x div x sub 2 add}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{0}{6}{2 x sub}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}