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% Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small Corrigé du baccalauréat STI Génie des matériaux, mécanique}
\lhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Antilles--Guyane septembre 2009~\decofourright\\Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 1~cm. Toutes les constructions demandées seront à faire sur le même graphique.
 
%Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = - 5\text{i}$.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
			\item  %Résoudre dans $\C$ l'équation : $z^2 - 6z + 25 = 0$. 
$z^2 - 6z + 25 = 0 \iff (z - 3)^2 - 9 + 25 = 0 \iff (z - 3)^2  + 16 = 0 \iff (z - 3)^2 - (4\text{i})^2 = 0 \iff (z - 3 + 4\text{i})(z - 3 - 4\text{i}) = 0$.

L'équation a coefficients entiers a deux solutions complexes conjuguées : $3 + 4\text{i} = z_{\text{B}}$ et $3 - 4\text{i}$.			
%On note $z_{\text{B}}$ la solution de cette équation dont la partie imaginaire est positive. 
			\item %Placer dans le plan complexe les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$.
	\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray,gridwidth=0.3pt](0,0)(-5,-5)(5,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-5)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscircle[fillstyle=vlines](0,0){5} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,0){2}
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} 
\psdots(0,-5)(3,4)(1,1.732)(-1.732,1)(1.732,-1)
\pspolygon(1,1.732)(-1.732,1)(1.732,-1)
\uput[r](0,-5){A} \uput[ur](3,4){B}\uput[dl](0,0){O}
\uput[ur](1,1.732){I} \uput[ul](-1.732,1){J}\uput[dr](1.732,-1){K}
\uput[ul](1,-1.73){$(C')$}\uput[ur](4,3){$(C)$}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-5)(5,5)
\end{pspicture}
\end{center} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que les points A et B appartiennent à un même cercle $(C)$ de centre O.
		On a de fa\c{c}on évidente $\left|z_{\text{A}} \right| = 5$ et $\left|z_{\text{B}} \right| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.
		
Donc OA = OB = 5, ce qui montre que les points A et B appartiennent au cercle centré en O et de rayon $5$.
		\item  %Construire le cercle $(C)$.
Voir la figure
	\end{enumerate}

\medskip
	 
%Dans la suite de l'exercice, on note I, J et K les points d'affixes respectives $z_{\text{I}},~ z_{\text{J}}$ et $z_{\text{K}}$ telles que :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] $z_{\text{I}} = 1 + \text{i}\sqrt{3}$,
%\item[$\bullet~$] $z_{\text{J}}$ est le nombre complexe de module 2 et d'argument $\dfrac{5\pi}{6}$,
%\item[$\bullet~$] $z_{\text{K}} = - z_{\text{J}}$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la forme algébrique de $z_{\text{J}}$.
$z_{\text{J}} = 2\left(\cos \frac{5\pi}{6} + \text{i}\sin \frac{5\pi}{6} \right) = 2\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\frac{1}{2} \right) = - \sqrt{3} + \text{i}$. 
		\item  %Comparer les modules des nombres $z_{\text{I}},~z_{\text{J}}$  et $z_{\text{K}}$.
$\left|z_{\text{I}}\right| = \sqrt{1 + 3} = 2$ ;

$\left|z_{\text{J}}\right| = 2$ ;

$\left|z_{\text{K}}\right| = \left|z_{\text{J}}\right| = 2$.

Les trois nombres ont le même module, donc I, J et K appartiennent au cercle centré en O de rayon 2.		
	\end{enumerate} 
\item %\textbf{Pour la question 4., toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.} 
	\begin{enumerate}
		\item %Placer avec soin les points I, J et K et tracer le cercle $\left(C'\right)$ circonscrit au triangle IJK dans le plan complexe en laissant apparents les traits de construction.
Voir la figure ; $\left(C'\right)$ est le cercle de centre O de rayon 2		 
%Quelle est la nature du triangle IJK ? Justifier cette réponse.
IJ$^2 = \left|z_{\vect{\text{IJ}}} \right|^2 = |- \sqrt{3} + \text{i} - (1 + \text{i}\sqrt{3}) |^2 = (-1 - \sqrt{3})^2 +  (1 - \sqrt{3})^2 = 8$.

IK$^2 = \left|z_{\vect{\text{IJ}}} \right|^2 = |\sqrt{3} - \text{i} - (1 + \text{i}\sqrt{3}) |^2 = ( \sqrt{3} - 1)^2 +  (-1 - \sqrt{3})^2 = 8$.

JK$^2 = \left|z_{\vect{\text{JK}}} \right|^2 = |\sqrt{3} - \text{i} - (- \sqrt{3} + \text{i}) |^2 = (2\sqrt{3})^2 +  (-2)^2 = 12+ 4 = 16$.

Donc IJ = IK : le triangle est isocèle en I ;

IJ$^2 + $IK$^2 = $ JK$^2 \iff $  IJK est rectangle en I d'après la réciproque du théorème de Pythagore.

Le triangle IJK est rectangle isocèle en I.
		\item %Soit $(E)$ l'ensemble des points $M$ du plan dont l'affixe $z$ vérifie la relation : $2 < |z| < 5$.
Les points de $(E)$ (couronne circulaire sont les points situés entre les cercles $(C)$ et $(C')$.		 
%Représenter l'ensemble $(E)$ sur le graphique précédent à l'aide de hachures, en expliquant la démarche mise en {\oe}uvre.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

%Un bâtiment industriel est équipé d'une alarme qui se déclenche, en principe, lorsqu'il y a un dégât des eaux.
% 
%Il arrive cependant que ce système d'alarme soit mis en défaut.
% 
%On suppose qu'il ne peut pas y avoir plus d'un dégât des eaux par jour et qu'il ne peut pas y avoir plus d'un déclenchement d'alarme par jour.
% 
%Une étude portant sur 500~journées montre qu'il y a eu :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item 5 jours où il y a eu un dégât des eaux. 
%\item 1 jour où il y a eu un dégât des eaux sans que l'alarme se déclenche. 
%\item 10 jours où l'alarme s'est déclenchée sans qu'il y ait un dégât des eaux.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item  %À l'aide des données de l'énoncé, recopier et compléter le tableau suivant.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline 
&Nombre de jours où il y a un dégât des eaux &Nombre de jours où il n'y a pas de dégât des eaux &TOTAL\\ \hline
Nombre de jours où l'alarme se déclenche		&4	&10	&14  \\ \hline 
Nombre de jours où l'alarme ne se déclenche pas	&1	&485&486  \\ \hline 
TOTAL											&5	&495& 500 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
\item %On choisit un jour au hasard parmi les 500~journées étudiées.
 
%On considère les évènements suivants :
 
%E : \og Ce jour-là il y a un dégât des eaux \fg 

%A : \og Ce jour-là l'alarme se déclenche \fg
 
%Les résultats seront donnés sous forme de fraction irréductible. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité $p(\text{A})$ de l'évènement A.
		D'après le tableau  $p(\text{A}) = \dfrac{14}{500} = \dfrac{7}{250}$.
		\item Soit %B l'évènement : \og le système d'alarme est mis en défaut \fg.
Le système d'alarme est mis en défaut 10 + 1 = 11 fois.

$p(\text{B}) = \dfrac{11}{500}$.		 
%Calculer la probabilité $p(\text{B})$ de l'évènement B. 
		\item %Sachant que ce jour-là, l'alarme s'est déclenchée, quelle est la probabilité qu'il y ait réellement un dégât des eaux ?
		Il faut calculer $p_{\text{A}}(\text{E}) = \dfrac{p(\text{A} \cap \text{E})}{p(\text{A})} = \dfrac{\frac{4}{500}}{\frac{14}{500}} = \dfrac{4}{14} =  \dfrac{2}{7}$. 
	\end{enumerate} 

\item %On admet que les probabilités calculées au 2. restent valables si on choisit n'importe quel jour au hasard, quelle que soit sa date.
 
%Pour une journée donnée, on peut se trouver dans l'une des quatre situations suivantes :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item il y a un dégât des eaux et l'alarme se déclenche,
%\item il y a un dégât des eaux et l'alarme ne se déclenche pas,
%\item l'alarme se déclenche sans qu'il y ait un dégât des eaux,
%\item rien ne se passe.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm} 

%Les assureurs estiment les coûts suivants pour le bâtiment :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item \nombre{1000}~euros pour un dégât des eaux lorsque l'alarme fonctionne. 
%\item \nombre{3000}~euros pour un dégât des eaux lorsque l'alarme ne fonctionne pas.
%\item  150~euros lorsque l'alarme se déclenche par erreur. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm} 

%On note X la variable aléatoire représentant le coût journalier pour le bâtiment industriel. 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner la loi de probabilité de X.
Tableau de la loi de probabilité :
		
\medskip
		
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&0&150&\nombre{1000}& \nombre{3000}  \\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$p\left(\text{X} = x_{i}\right)$&$\dfrac{97}{100}$&$\dfrac{1}{50}$&$\dfrac{1}{125}$&$\dfrac{1}{500}$  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
  
		\item  %Quel est le coût moyen journalier de cette assurance ?
Le coût moyen journalier de cette assurance est égal \`a l'espérance mathématique de la variable X.

E(X) $ = 0 \times \dfrac{97}{100} + 150 \times \dfrac{1}{50} +  \nombre{1000} \times \dfrac{1}{125} + \nombre{3000} \times \dfrac{1}{500} = 3 + 8 + 6 = 17$ (euros).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\medskip
 
\textbf{PARTIE A : étude graphique d'une fonction}

\medskip
 
%Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
%\[f(x) = \dfrac{2\text{e}^{2x} - 4\text{e}^{x}}{\text{e}^{2x} - 4\text{e}^{x} + 5}.\]
% 
%On a représenté en annexe la courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f$ dans le repère  orthonormé $\left(\text{O}~ ;~\vect{\text{OI}},~\vect{\text{OJ}}\right)$ (avec OI = OJ = 2~cm).
% 
%La tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point B$(0~;~-1)$ passe par le point M$(-1~;~0)$. 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que pour tout réel $x\quad  :\quad  f(x) = \dfrac{2 - 4\text{e}^{-x}}{1 - 4\text{e}^{-x} + 5\text{e}^{-2x}}$.
On a $f(x) = \dfrac{\text{e}^{2x}\left(2 - 4\text{e}^{-x}  \right)}{\text{e}^{2x}\left(1 - 4\text{e}^{-x} + 5\text{e}^{2x} \right)} = \dfrac{2 - 4\text{e}^{-x}}{1 - 4\text{e}^{-x} + 5\text{e}^{2x}}$, car $\text{e}^{2x}\neq 0$.

%En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement ce résultat  pour la courbe $(\mathcal{C})$, et compléter le graphique en annexe.
On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-2x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 2$.

Géométriquement, ceci signifie que la droite d'équation $y = 2$ est asymptote horizontale au voisinage de plus l'infini.

Voir la figure 
		\item %Montrer que le point A$(\ln 2~;~0)$ est un point de la courbe $(\mathcal{C})$.
$\bullet~$ $f(\ln 2) = \dfrac{2\text{e}^{2\ln 2} - 4\text{e}^{\ln 2}}{\text{e}^{2\ln 2} - 4\text{e}^{\ln 2} + 5} = \dfrac{2\text{e}^{\ln 4} - 4\text{e}^{\ln 2}}{\text{e}^{\ln 4} - 4\text{e}^{\ln 2} + 5} = \dfrac{2 \times 4 - 4 \times 2}{4 - 8 + 5} = \dfrac{0}{1} = 0$

$\bullet~$ Autre méthode $f(x) = 0 \iff 2\text{e}^{2x} - 4\text{e}^{x} = 0 \iff \text{e}^{x} = 2 \iff x = \ln 2$ d'après la croissance de la fonction logarithme népérien.
	\end{enumerate} 
\item %Par lecture graphique, en justifiant : 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$.
$f(x) \leqslant 0$ si $x \leqslant \ln 2$ ; ($\mathcal{C}$) est sous l'axe des abscisses ;

$f(x) \geqslant 0$ si $x \geqslant \ln 2$  
		\item %Déterminer la valeur de $f'(0)$.
Le nombre dérivé en $0$ est égal \`a la pente de la tangente (BM) ; cette pente est égale \`a $- 1$, donc $f'(0) = - 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B : étude d'une primitive de \boldmath$f$ \unboldmath sur} \boldmath$\R$ \unboldmath

\medskip

%Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par 
%\[F(x) = \ln \left(\text{e}^{2x} - 4\text{e}^{x} + 5\right).\]
% 
%Soit $(\Gamma)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(\text{O}~ ;~\vect{\text{OI}},~\vect{\text{OJ}}\right)$. 
\begin{enumerate}
\item %Étudier la limite de la fonction $F$ en $- \infty$.
$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{x} = \displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{2x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} F(x) = \ln 5$.
 
%Interpréter graphiquement ce résultat pour la courbe $(\Gamma)$.
Géométriquement ceci signifie que la droite d'équation $y = \ln 5$ est asymptote horizontale \`a  $(\Gamma)$ au voisinage de moins l'infini.
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que pour tout réel $x \quad :\quad F(x) = 2x + \ln \left(1 - 4\text{e}^{-x} + 5\text{e}^{-2x}\right)$.
En factorisant $\text{e}^{2x}$, on peut écrire  $\text{e}^{2x} - 4\text{e}^{x} + 5 = \text{e}^{2x}\left(1 - \text{e}^{-x} + 5\text{e}^{-2x}\right)$ ; donc 

$F(x) = \ln \left[\text{e}^{2x}\left(1 - \text{e}^{-x} + 5\text{e}^{-2x}\right)  \right] = \ln \left(\text{e}^{2x} \right) + \ln \left[1 - \text{e}^{-x} + 5\text{e}^{-2x} \right] = 2x + \ln \left[1 - \text{e}^{-x} + 5\text{e}^{-2x} \right]$.
		\item %Calculer la limite de la fonction $F$ en $+ \infty$ et la limite de $F(x) - 2x$ en $+ \infty$.
En utilisant l'écriture que l'on vient d'obtenir :

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-2x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \ln \left[1 - \text{e}^{-x} + 5\text{e}^{-2x} \right] = \ln 1 = 0$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 2x = + \infty$, on a finalement $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} F(x) = + \infty$.

Comme $F(x) - 2x = \ln \left[1 - \text{e}^{-x} + 5\text{e}^{-2x} \right]$ qui a pour limite $0$ en $+ \infty$, on a 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} F(x) - 2x = 0$.
		\item %Interpréter graphiquement ce résultat pour la courbe $(\Gamma)$.
Géométriquement le résultat précédent signifie que la droite d'équation $y = 2x$ est asymptote oblique \`a $(\Gamma)$ au voisinage de plus l'infini.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la fonction $f$ est la fonction dérivée de la fonction $F$ sur $\R$.
Quel que soit $x \in \R,~F'(x) = \dfrac{2\text{e}^{2x} - 4\text{e}^{x}}{\text{e}^{2x} - 4\text{e}^{x} + 5} = f(x)$.

La fonction $f$ est la dérivée de la fonction $F$. 
		\item %Vérifier que $F(\ln 2) = 0$.
Comme $\text{e}^{\ln 2} = 2$ et $\text{e}^{2\ln 2} = \text{e}^{\ln 2^2} = \text{e}^{\ln 4} = 4$, on a 

$F(\ln 2) = \ln  \left(\text{e}^{2\times 2} - 4\text{e}^{2} + 5\right) = \ln \left(4 - 8 + 5 \right) = \ln 1 = 0$.
		\item %Déduire de la partie A le tableau de variations de la fonction $F$.
On a vu dans la partie A que $f(x) = F'(x) < 0$ si $x < \ln 2$ : la fonction $F$ est donc décroissante sur $]- \infty~;~\ln 2]$.

De même $f(x) = F'(x) > 0$ si $x > \ln 2$ : la fonction $F$ est donc décroissante sur $[\ln 2~;~+ \infty[$. D'où le tableau de variations :

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)\psline(0,2)(8,2)\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.4,2){$-\infty$} \uput[u](5,2){$\ln 2$} \uput[u](7.5,2){$+\infty$}
\rput(1,1){$F(x)$} \uput[d](2.4,2){$\ln 5$} \uput[d](7.5,2){$+ \infty$}
\uput[u](5,0){$\ln 2$}
\psline{->}(2.6,1.7)(4.5,0.3) \psline{->}(5.5,0.3)(7.4,1.7)
\end{pspicture}
\end{center}

	\end{enumerate} 
\item  %Reproduire et compléter le tableau suivant avec des valeurs approchées à $10^{-2}$ près :
La calculatrice donne : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$& $-2$& $-1$ &0 &0,5& 1 &2 \\ \hline
$F(x)$&1,50&1,30&0,69&0,12&0,42&3,40  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item %Tracer la courbe $(\Gamma)$ dans un repère orthonormé $\left(\text{O}~ ;~\vect{\text{OI}},~\vect{\text{OJ}}\right)$ en faisant apparaitre les interprétations graphiques des questions 1. et 2. c. 
Voir plus bas
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE C : calcul d'une aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{\ln 2}^2 f(x)\:\text{d}x$.
$\displaystyle\int_{\ln 2}^2 f(x)\:\text{d}x = \left[F(x) \right]_{\ln 2}^2 = F(2) - F(\ln 2) = \ln \left(\text{e}^{2\times 2} - 4\text{e}^{2} + 5\right) - 0 = \ln \left(\text{e}^{4} - 4\text{e}^{2} + 5\right)$. 
\item %De quel domaine le calcul précédent permet-il de calculer l'aire ?
On a vu que pour $x \geqslant \ln 2,~F(x) \geqslant 0$ ; donc l'intégrale précédente est égale (en unité d'aire) \`a l'aire de la surface limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = \ln 2$ et $x = 2$. 
%Hachurer sur le graphique de la feuille annexe ce domaine, et déterminer une valeur  approchée de la mesure, en cm$^2$, de son aire (on exprimera la réponse à 0,01~cm$^2$ près).
L'unité d'aire vaut $2 \times 2 = 4$ cm$^2$; donc l'aire du domaine est égale \`a :

$4\times  \ln \left(\text{e}^{4} - 4\text{e}^{2} + 5\right) \approx 13,61$~cm$^2$
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE à rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\psset{unit=1.5cm}

\begin{pspicture}(-4,-2)(4,4)
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[linecolor=green,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.693147}{2}{2.71828 2 x mul exp 2.71828 x exp 4 mul sub 5 add ln}
\psline(2,0)(0.693147,0)}
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none,ticks=all](0,0)(-4,-2)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labels=none,ticks=all]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](1,0){I} \uput[l](0,1){J} \uput[dl](0,0){O}
\uput[u](3,2.2){\blue $\mathcal{C}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4}{4}{2.71828 x 2 mul exp 2 mul 2.718 x exp 4 mul sub 2.71828 x 2 mul exp 2.71828 x exp 4 mul sub 5 add div}
\uput[dl](0.75,0){A}\uput[ur](-1,0){M} \uput[ur](0,-1){B}
\psplot{-4}{1}{1 neg x sub}
\psplot[linecolor=red,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4}{2.2}{2.71828 2 x mul exp 2.71828 x exp 4 mul sub 5 add ln}
\psline(-4,2)(4,2) \psline[linecolor=red](-4,1.60944)(4,1.60944)
\uput[d](4,1.60944){$y = \ln 5$}
\psline(-1,-2)(2,4)\rput{63.4}(1.65,3.5){$y = 2x$}
\uput[r](2.15,4){\red $\Gamma$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}