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% Tapuscrit Olivier Reboux
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique,\\ génie des matériaux}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{21 juin 2012}}
%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Métropole 21 juin 2012~\decofourright\\[7pt] Génie mécanique, génie des matériaux}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip
 
%\emph{Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples. Les différentes situations proposées sont indépendantes.\\ 
%Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une seule réponse par question est acceptée et aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rap- 
%porte un point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de point.\\ 
%Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante.}
%
%\medskip
% 
%Le plan est muni d'un repère orthonormé \Ouv.
% 
%On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
% 
%Soient A et B les points d'affixes respectives $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ telles que $z_{\text{A}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$  et $z_{\text{B}} = \text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Les points A et B, images de $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$, sont représentés sur l'une des figures ci-dessous. Laquelle ? 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~}\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-1,-1)(1,1)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-1)(1,1)
%\pscircle(0,0){1}\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
%\psdots(1;-30)(1;-120)\uput[dr](1;-30){\small A}\uput[dl](1;-120){\small B}
%\end{pspicture}&\textbf{b.~~}\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(1,1)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-1)(1,1)
%\pscircle(0,0){1}\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
%\psdots(1;150)(1;-120)\uput[ul](1;150){\small A}\uput[dl](1;-120){\small B}
%\end{pspicture}&\textbf{c.~~}\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(1,1)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-1)(1,1)
%\pscircle(0,0){1}\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
%\psdots(1;-30)(1;120)\uput[dr](1;-30){\small A}\uput[ul](1;120){\small B}
%\end{pspicture}&\textbf{d.~~}\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(1,1)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-1)(1,1)
%\pscircle(0,0){1}\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
%\psdots(1;150)(1;120)\uput[ul](1;150){\small A}\uput[ul](1;120){\small B}
%\end{pspicture}\\
%\end{tabularx}
A est dans le deuxième cadran et B dans le troisième : réponse b.

\item %Un argument de $\dfrac{z_{\text{A}}}{z_{\text{B}}}$ est égal à : 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~}$- \dfrac{5}{4}$&\textbf{b.~~} $- \text{i}\dfrac{\pi}{2}$&\textbf{c.~~}$- \dfrac{\pi}{2}$&\textbf{d.~~}$\dfrac{\pi}{6}$\\
%\end{tabularx} 
On a $\dfrac{z_{\text{A}}}{z_{\text{B}}} = \dfrac{\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}}{\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}} = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{5\pi}{6} + \frac{2\pi}{3}\right)} =  \text{e}^{\text{i}\left(\frac{5\pi}{6} + \frac{4\pi}{6}\right)} = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{9\pi}{6}\right)} = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{3\pi}{2}\right)} = \text{e}^{-\text{i}\left(\frac{\pi}{2}\right)}$. Réponse c.
\medskip

\item %La longueur AB est égale à : 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~}$\sqrt{3}$&\textbf{b.~~}$\sqrt{2}$&\textbf{c.~~}$0$&\textbf{d.~~}$\sqrt{2 - \sqrt{3}}$\\
%\end{tabularx} 
On a $z_{\text{A}} = \cos \frac{5\pi}{6} + \text{i}\sin \frac{5\pi}{6} = - \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2}$, donc A$\left(- \dfrac{\sqrt{3}}{2}~;~\dfrac{1}{2} \right)$.

De même $z_{\text{B}} = \cos \frac{-2\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{-2\pi}{3} = - \dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, donc B$\left(- \dfrac{1}{2}~;~\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

On a donc AB$^2 = \left(- \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2}  \right)^2 = \dfrac{3 + 1 - 2\sqrt{3}}{4} + \dfrac{+ 3 + 1 - 2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{8 - 4\sqrt{3}}{4} = 2 - \sqrt{3}$.

Donc AB = $\sqrt{2 - \sqrt{3}}$. Réponse d.
\medskip

\item %Soit $z_{\text{C}}$ le nombre complexe défini par $z_{\text{C}} = z_{\text{B}}^2$. 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{a.~~}$z_{\text{C}} = \text{e}^{- \text{i}\frac{4\pi}{9}}$&\textbf{b.~~}$z_{\text{C}} = \text{e}^{ \text{i}\frac{24\pi}{3}}$\\
%\textbf{c.~~} $\left|z_{\text{C}}  \right| = 2$&\textbf{d.~~} Les points B et C sont symétriques par rapport à O.\\
%\end{tabularx}
$z_{\text{C}} = z_{\text{B}}^2 = \text{e}^{- \text{i}\frac{4\pi}{3}} = \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$. Réponse b.
\medskip
 
\item %Dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation $z^2 + z + 1 = 0$ :
 
%\textbf{a.~~} n'admet pas de solution ;
% 
%\textbf{b.~~} admet deux solutions complexes : $z_{\text{A}}$ et $\overline{z_{\text{A}}}$ ;
% 
%\textbf{c.~~} admet deux solutions complexes : $z_{\text{B}}$ et $\overline{z_{\text{B}}}$ ;
% 
%\textbf{d.~~} admet deux solutions réelles :  $\dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2}$ et  $\dfrac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$ 
On a $\delta = 1 - 4 = - 3 = \left(\text{i}\sqrt{3}\right)^2$ : l'équation a donc deux solutions complexes conjuguées : 

$\dfrac{- 1 + \text{i}\sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{- 1 - \text{i}\sqrt{3}}{2}$ ; ce sont les affixes de $z_{\text{B}}$ et $\overline{z_{\text{B}}}$. Réponse c.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Soit $y$ une fonction de la variable réelle $x$ définie et deux fois dérivable sur $\R$. 

%On note $y''$ sa dérivée seconde.
 
%Résoudre l'équation différentielle (E) : $y'' + y = 0$.
L'équation caractéristique $r^2 + 1 = 0$ a pour solution i et $- \text{i}$.

On sait que la solution générale de cette équation est $f(x) = A\cos x + B \sin x$.
 \item %Déterminer la solution particulière $f$ de (E), de dérivée notée $f'$, vérifiant les conditions : 

%\[f(0) = 1\quad \text{et} \quad  f'(0) = 1\]
On doit avoir $\left\{\begin{array}{l c l}
f(0)&=&1\\
f'(0)&=&1
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
A + 0 &=& 1\\
-0 + B&=&1
\end{array}\right.$.

Donc $f(x) \cos x + \sin x$.
\item  %On admet que $f(x)$ peut s'écrire: 

\[f(x) = \sqrt{2}\cos \left(x - \dfrac{\pi}{4} \right)\]

et une représentation graphique de cette fonction est donnée ci-dessous.

\psset{unit=1.2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-1.5)(7,1.5)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(-1,-1.5)(7,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5,comma=true](0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{7}{x 0.7854 sub  180 mul 3.141 div cos 1.41421 mul}
\end{pspicture}
\end{center}
 
%Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes :
 
	\begin{enumerate}
		\item %Combien de solutions possède l'équation $f(x) = 1,5$ sur $[0~;~2\pi]$ ? 
Cette équation n'a pas de solution.
		\item %Combien de solutions possède l'équation $f (x) = 1$ sur $[0~;~2\pi]$ ? 
La courbe coupe la droite d'équation $y = 1$ en deux points d'abscisse 0 et à peu près $\frac{\pi}{2}$.
		\item %Combien de solutions possède l'équation $f (x) = 0$ sur $[0~;~2\pi]$ ?
L'équation a deux solutions.
	\end{enumerate} 
\item %Résoudre, dans l'intervalle $[0~;~2\pi]$, l'équation $f(x) = 0$.
$f(x) = 0$ ou $\sqrt{2}\cos \left(x - \dfrac{\pi}{4} \right) = 0$ soit $\cos \left(x - \dfrac{\pi}{4} \right) = 0$.

On a donc $x - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}$ ou $x - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{2}$ d'où finalement :

$x = \dfrac{3\pi}{4}$ ou $x = \dfrac{7\pi}{4}$
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A - Calcul de volume}

\medskip
 
%Une entreprise souhaite construire un conteneur métallique (voir la figure 1) pour le commercialiser . 
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\psset{unit=0.6cm}
%\begin{pspicture}(-1,0)(9,8)
%%\psplot{0}{1}{x dup mul 3  mul x 3 exp 2  mul sub 1 sub 7.4 add}
%%\psplot{0}{1}{x 3 exp 2 mul x dup mul 3 mul sub 1 add}
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.1,0)(6.6,7.4)
%\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-.65,3.7)(0.4,1.9)
%\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
%{\pscurve(-0.65,5.6)(-0.2,5.8)(0,6.1)(0.4,6.8)(1,7.35)(1.1,7.4)\psline(1.1,7.4)(1.1,0)
%\pscurve(1.1,0)(1,0.05)(0.4,0.6)(0,1.3)(-0.2,1.6)(-0.65,1.8)}
%\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6.6,3.7)(0.8,3.7)
%%\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.1,3.7)(0.8,3.7)
%\scalebox{0.216}[1]{\psarc(-2.8,3.7){1.85}{90}{-90}}%
%\scalebox{0.216}[1]{\psarc[linestyle=dashed](-2.8,3.7){1.85}{-90}{90}}
%\scalebox{0.2027}[1]{\psarc(4.8,3.7){3.65}{90}{-90}}%
%\scalebox{0.2027}[1]{\psarc[linestyle=dashed](4.8,3.7){3.65}{-90}{90}}
%%\psline[linewidth=0pt](-0.65,1.8)(-0.65,5.6)
%%\psgrid
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linecolor=lightgray](0.9,0)(1.1,7.4)
%\rput(4,-0.5){Figure 1 - Le conteneur}
%\end{pspicture}
%\end{center}
% 
%Ce conteneur est composé d'un cylindre et d'un goulot. Ce goulot est obtenu en faisant tourner, autour de l'axe des abscisses, la courbe $C_{f}$ d'une fonction $f$, définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~1], et représentée par l'arc $\widearc{\text{AB}}$ de la figure 2.
% 
%On appelle $f^{\prime}$ la dérivée de la fonction $f$ sur [0~;~1].
% 
%Le repère utilisé est orthonormal d'unité graphique : 1~m. 
%
%On donne : A(0~;~1); B(1~;~2); C(4~;~2).
% 
%On précise que la courbe $C_{f}$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses en A et en B. 
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1.25cm}
%\begin{pspicture}(-1,-1)(5,3)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(5,3)
%\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(5,3)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
%\uput[dr](0,1){A}\uput[ur](1,2){B}\uput[ur](4,2){C}
%\uput[u](5,0){$x$}\uput[r](0,3){$y$}
%\psline[linewidth=1.25pt](1,2)(4,2)
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x dup mul 3 mul x 3 exp 2 mul sub 1 add}
%\rput(2,-0.75){Figure 2 - Coupe latérale du conteneur}
%\end{pspicture}
%\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item %À partir des données précédentes, préciser les valeurs de : 

%\[f(0)\quad ; \quad  f(1)\quad ; \quad f'(0)\quad ; \quad f^{\prime}(1).\]
$f(0) = 1, \: f(1) = 2,\: f'(0) = 0, \: f'(1) = 0$.
\item  %On admet qu'il existe deux nombres réels $a$ et $b$ tels que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1], $f(x) = ax^3 + bx^2 + 1$.
 
On cherche à déterminer ces deux nombres. 
	\begin{enumerate}
		\item %À l'aide de la question 1, montrer que les nombres $a$ et $b$ vérifient le système :
		 
%$\left\{\begin{array}{l c l}
%a + b + 1 	&=&2\\
%3a + 2b 	&=&0
%  \end{array}\right.$ 
D'après la question précédente, $a$ et $b$ doivent vérifier le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
f(0) &=& 1\\f(1) &=& 2\\f'(0) &=& 0\\f'(1) &=& 0
\end{array}\right.$ soit 
$\left\{\begin{array}{l c l}
1&=&1\\a + b&=&2\\ 0&=&0\\
3a + 2b&=&0\end{array}\right.$ ou encore $\left\{\begin{array}{l c l}
a + b&=&2\\ 
3a + 2b&=&0\end{array}\right.$

		\item %En déduire les valeurs de $a$ et $b$, puis $f(x)$ sur l'intervalle [0~;~1].
		De la première équation on déduit que $b = 2 - a$ et en remplaçant dans la seconde :
		
		$3a + 2(2 - a) = 0$ d'où $a + 4 = 0$, $a = - 4$ et donc $b = 2 - (- 4) = 6$.
		
		O a donc $f(x) = - 4x^3 + 6x^2 + 1$ sur [0~;~1].
	\end{enumerate}		 
\item %On admet que, sur l'intervalle [0~;~1], on a: 

\[[f(x)]^2 = 4x^6 - 12x^5 + 9x^4 - 4x^3 + 6x^2 + 1\]

%Déterminer une primitive de la fonction d'expression $[f(x)]^2$ sur [0~;~1].
Une primitive de la fonction d'expression $[f(x)]^2$ est $4\dfrac{x^7}{7} - 12\dfrac{x^6}{6} + 9\dfrac{x^5}{5} - 4\dfrac{x^4}{4} + 6\dfrac{x^3}{3} + x$.
\item %Le volume du goulot engendré par $C_{f}$ sur [0~;~1] est donné en m$^3$ par : 

\[\pi\int_{0}^1  [f(x)]^2\:\text{d}x.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la valeur arrondie au dm$^3$ du volume du goulot.
D'après le résultat précédent :

$\pi\int_{0}^1  [f(x)]^2\:\text{d}x = \pi\left[4\dfrac{x^7}{7} - 12\dfrac{x^6}{6} + 9\dfrac{x^5}{5} - 4\dfrac{x^4}{4} + 6\dfrac{x^3}{3} + x \right]_0^1 = $

$4\dfrac{1^7}{7} - 12\dfrac{1^6}{6} + 9\dfrac{1^5}{5} - 4\dfrac{1^4}{4} + 6\dfrac{1^3}{3} + 1  = \dfrac{4}{7} - 2 + \dfrac{9}{5} - 1 + 2 + 1 = \dfrac{4}{7}  + \dfrac{9}{5} =$

$ \dfrac{20 + 63}{7\times 5} = \dfrac{83}{35} \approx 2,3714$, soit 2,371~m$^3$ au dm$^3$ près.
		\item %En déduire la valeur arrondie au dm$^3$ du volume total du conteneur.
		Le rayon du cylindre est égal à 2, donc son volume est : $\pi \times 2^2 (4 - 1) = 12\pi$.
		
		Le volume du conteneur est donc $12\pi + \dfrac{83}{35} \approx 40,0705$ soit 40,071~m$^3$ au dm$^3$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B - Étude de l'évolution des ventes}

\medskip
 
%On admet que l'évolution des ventes de ce conteneur métallique est modélisée par la fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ et d'expression: 
%
%\[g(x) = \dfrac{400}{16\text{e}^{-x} + 4}	 - 20\] 
%
%où $x$ désigne le nombre de mois écoulés depuis le début de la fabrication des conteneurs et $g(x)$ le nombre de conteneurs vendus par mois.
% 
%On note $C_{g}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthonormé. 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$.
		On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{-x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{400}{16\text{e}^{-x} + 4} = 100$ et enfin $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = 80$.
		\item %Que peut-on en déduire pour la courbe $C_{g}$ ? 
		Le résultat précédent signifie géométriquement que la droite d'équation $y = 80$ est asymptote horizontale à la courbe $C_{g}$ au voisinage de plus l'infini.
		\item %Comment interpréter ce résultat pour l'évolution des ventes ?
Ceci signifie que les ventes vont plafonner à 80 unités.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Soit $g'$ la fonction dérivée de $g$ sur $[0~;~+ \infty[$. 
%Montrer que : 
	 	
%\[g'(x) = \dfrac{6400\text{e}^{-x}}{\left(16\text{e}^{-x} + 4\right)^2}\]
On a $g'(x) = - \left(- \dfrac{400 \times 16}{\left(16\text{e}^{-x} + 4\right)^2}\right) = \dfrac{6400\text{e}^{-x}}{\left(16\text{e}^{-x} + 4\right)^2}$.
		\item %Déterminer le signe de $g'(x)$ en justifiant la réponse et en déduire le tableau de variation de $g$.
Tous les termes de ce quotient sont supérieurs à zéro, donc $g'(x) > 0$ sur $[0~;~+ \infty[$ et la fonction $g$ est donc strictement croissante de $g(0) = \dfrac{400}{16 + 4} - 20 = 0$ à 80.
	\end{enumerate} 
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%Justifier que l'entreprise devrait dépasser 70~conteneurs vendus par mois au cours du quatrième mois de production. 
\emph{Méthode $1$}

On a $g(3) = \dfrac{400}{16\text{e}^{-3} + 4}	 - 20 \approx 63,39$ et 

$g(4) = \dfrac{400}{16\text{e}^{-4} + 4}	 - 20 \approx 93,17$.

La fonction $g$ étant strictement croissante l'entreprise vendra 70 conteneurs au cours du quatrième mois de production.

\emph{Méthode $2$}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit= .08cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.25)(8,85)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(8,85)
\psline[linecolor=red](0,70)(8,70)
\psline[linestyle=dashed](0,80)(8,80)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8}{400 16 2.71828 x neg exp mul  4 add div 20 sub}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](3.58,70)(3.58,0)
\uput[d](3.58,0){$\approx 3,6$}
\end{pspicture}
\end{center}
\bigskip

Graphiquement on voit que la droite d'équation $y = 70$ coupe la courbe en un point dont l'abscisse est à peu près 3,6 soit $3 + 0,6 \times 30$ soit 3 mois et 18 jours à peu près. Cette méthode est plus précise.
\end{enumerate}
\end{document}