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\begin{document}
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\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie des matériaux, mécanique}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Métropole juin 2006~\decofourright  \\[5pt]Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E }}
    
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation 
%\[(z - 4)\left(z^2 + 4z + 16\right) = 0.\]
$(z - 4)\left(z^2 + 4z + 16\right) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l}
z - 4 = 0\\
z^2 + 4z + 16 = 0
\end{array}\right.$

La première équation a pour solution $z_{1} = 4$. La seconde est une équation du second degré :

$\Delta = 16 - 4 \times 16 = - 3 \times 16 = \left(4\text{i}\sqrt{3} \right)^2 < 0$.

L'équation a donc deux solutions complexes conjuguées : 

$z_{2} = \dfrac{- 4 - 4\text{i}\sqrt{3}}{2} = - 2 - 2\text{i}\sqrt{3}\quad \text{et}\quad z_{3} = - 2 + 2\text{i}\sqrt{3}$.

On a donc $S = \{4~;~- 2 - 2\text{i}\sqrt{3}~;~- 2 + 2\text{i}\sqrt{3}\}$.
\item %Soient les nombres complexes suivants :
%\[z_{1} = 4\qquad 	z_{2} =  - 2 - 2\text{i}\sqrt{3}\qquad	z_{3} =   - 2 + 2\text{i}\sqrt{3}\qquad 	z_{4} = 8\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\qquad z_{5} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\]
\begin{enumerate}
\item  %Donner le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_{1},~ z_{2},~ z_{3}$.
On a $\left|z_{1} \right| = 4$ et arg$z_{1} = 0$ ;

$\left|z_{2} \right|^2 = 4 + 12 = 16 = 4^2 \Rightarrow \left|z_{2} \right| = 4$.

Donc $z_{2} = 4\left(- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{-\sqrt{3}}{2} \right) = 4\left(\cos \left(- \frac{2\pi}{3} \right) + \text{i}\sin \left(- \frac{2\pi}{3} \right) \right)$.

Donc un argument de $z_{2}$ est $- \dfrac{2\pi}{3}$.

De m\^eme $z_{3} = 4\left(- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 4\left(\cos \left( \frac{2\pi}{3} \right) + \text{i}\sin \left( \frac{2\pi}{3} \right) \right)$.

Donc un argument de $z_{3}$ est $ \dfrac{2\pi}{3}$.
\item %Donner les formes algébriques de $z_{4}$ et de $z_{5}$.
$z_{4} = 8\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} = 8 \left[\cos \frac{\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{\pi}{3} \right] = 8\left(\frac{1}{2}+ \text{i}\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 4 + 4\text{i}\sqrt{3}$.

$z_{5} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} = 2\left(\cos \frac{\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{\pi}{3} \right) = 2\left(\frac{1}{2}+ \text{i}\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 1 + \text{i}\sqrt{3}$.
\end{enumerate}
\item %Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm. Soient les points A, B, C, D et E d'affixes respectives $z_{1},~z_{2},~z_{3},~z_{4}$  et $z_{5}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Placer les points A, B, C, D  et E dans le repère indiqué.
Voir la figure.
		\item %Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.
		L'affixe du vecteur $\vect{\text{AD}}$ est égale à $z_{\text{B}} - z_{\text{A}} = 4\text{i}\sqrt{3}$ : celle du vecteur $\vect{\text{BC}}$ est égale à 
		
$z_{\text{C}} - z_{\text{B}} = 4\text{i}\sqrt{3}$. On a donc $\vect{\text{AD}} = \vect{\text{BC}} \iff$ ADCB est un  parallélogramme.
		
De plus AB$^2 = 36 + 12 = 48$ et BC$^2 = \left(4\sqrt{3} \right)^2 = 48$, donc AB = BC.

Le parallélogramme ADCB a deux c\^otés consécutifs de m\^eme longueur : c'est un losange.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

%On considère l'équation différentielle (E) suivante :
%
%\[\pi^2y  +  9y'' = 0,\]
%
%où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$ et $y''$ sa dérivée seconde.
\begin{enumerate}
\item  %Soit $g$ la fonction numérique définie pour tout nombre réel $x$ par :

%\[g(x) = 2\cos \left(\dfrac{\pi}{3}x\right) + 4\sin \left(\dfrac{\pi}{3}x\right).\]
%Vérifier que la fonction $g$ est une solution de l'équation différentielle (E).
$g$ est dérivable et $g'(x) = - \dfrac{2\pi}{3}\sin \left(\dfrac{\pi}{3}x\right) + \dfrac{4\pi}{3}\cos \left(\dfrac{\pi}{3}x\right)$, puis

$g''(x) = - \dfrac{2\pi^2}{9}\cos \left(\dfrac{\pi}{3}x\right) - \dfrac{4\pi^2}{9}\sin \left(\dfrac{\pi}{3}x\right)$.

Calculons :

$\pi^2 g(x) + 9g''(x) = \pi^2\left[2\cos \left(\dfrac{\pi}{3}x\right) + 4\sin \left(\dfrac{\pi}{3}x\right)  \right] + 9\left[- \dfrac{2\pi^2}{9}\cos \left(\dfrac{\pi}{3}x\right) - \dfrac{4\pi^2}{9}\sin \left(\dfrac{\pi}{3}x\right) \right] = $

$2\pi^2 \cos \left(\dfrac{\pi}{3}x\right) + 4\pi^2\sin \left(\dfrac{\pi}{3}x\right) ) - 2\pi^2\cos \left(\dfrac{\pi}{3}x\right) - 4\pi^2\sin \left(\dfrac{\pi}{3}x\right) = 0$.

Conclusion $g$ est une solution de l'équation différentielle (E).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle (E).
(E) peut s'écrire $\dfrac{\pi^2}{9}y + y'' = 0$ qui est de la forme $\omega^2y + y'' = 0$ avec $\omega = \dfrac{\pi}{3}$.

On sait que les solutions sont de la forme :

$f(x) = A\cos \dfrac{\pi}{3}x + B \sin \dfrac{\pi}{3}x$.
		\item %Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation différentielle (E) qui vérifie :
%\[f(0) = 1\quad  \text{et}\quad f'(0) = \dfrac{\pi}{3}.\]
On a $f'(x) = -A\dfrac{\pi}{3}\sin \dfrac{\pi}{3}x + B\dfrac{\pi}{3}\cos \dfrac{\pi}{3}x$. Donc $f'(0) = B\dfrac{\pi}{3}$.

$\left\{\begin{array}{l c l}
f(0) &=& 1\\
f'(0) &=& \dfrac{\pi}{3}
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
A &=& 1\\
B\dfrac{\pi}{3} &=& \dfrac{\pi}{3}
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
A &=& 1\\
B &=& 1
\end{array}\right.$

La solution particulière vérifiant les deux conditions initiales est donc :

\[f(x) = \cos \dfrac{\pi}{3}x +  \sin \dfrac{\pi}{3}x.\]

		\item %Montrer que, pour tout nombre réel $x,~ f(x)$ peut s'écrire sous la forme
%\[f(x) = \sqrt{2} \cos \left(\dfrac{\pi}{3}x - \dfrac{\pi}{4}\right).\]

On peut écrire en factorisant $\sqrt{2}$ :

$f(x) = \sqrt{2}\left[\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos \left(\dfrac{\pi}{3}x +  \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin \dfrac{\pi}{3}x\right) \right] = $

$\sqrt{2}\left[\cos \frac{\pi}{4}\cos \left(\dfrac{\pi}{3}x +  \sin \frac{\pi}{4}\sin \dfrac{\pi}{3}x\right) \right] = $

$\sqrt{2}\cos \left(\dfrac{\pi}{3}x - \dfrac{\pi}{4} \right)$. (d'après la formule $\cos a\cos b + \sin a \sin b = \cos (a - b)$)
		\item %Résoudre dans l'intervalle [0 ; 3] l'équation $f(x) = 1$.
$f(x) = 1 \iff \sqrt{2}\cos \left(\dfrac{\pi}{3}x - \dfrac{\pi}{4} \right) = 1 \iff \cos \left(\dfrac{\pi}{3}x - \dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \iff \cos \left(\dfrac{\pi}{3}x - \dfrac{\pi}{4} \right)  = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \iff \cos \left(\dfrac{\pi}{3}x - \dfrac{\pi}{4} \right)  = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

On a donc deux possibilités :

$\left\{\begin{array}{l c l}
\dfrac{\pi}{3}x - \dfrac{\pi}{4}&=&\dfrac{\pi}{4}\quad \text{ou}\\
\dfrac{\pi}{3}x - \dfrac{\pi}{4}&=&- \dfrac{\pi}{4}
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
\dfrac{\pi}{3}x &=&\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi,\, k \in \Z \quad \text{ou}\\
\dfrac{\pi}{3}x &=&0 + 2k'\pi,\,k \in \Z
\end{array}\right. \iff$
 
$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&\dfrac{3}{2} + 6k \quad \text{ou}\\
x &=& 0 + 6k'
\end{array}\right.$

Seuls $0$ et  $\dfrac{3}{2}$ appartiennent à l'intervalle [0~;~3], donc 

\[S = \left\{0,\, \dfrac{3}{2}\right\}\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item  %Résoudre dans l'ensemble $\R$ des nombres réels l'équation $2X^2 - 5X + 2 = 0$.
Le discriminant est égal à $\Delta= 25 - 4 \times 2 \times 2 = 9 = 3^2 > 0$.

L'équation a donc deux solutions réelles :

\[S = \left\{\dfrac{5 + 3}{4} = 2, \quad \dfrac{5 - 3}{4} = \dfrac{1}{2}\right\}.\]
 
\item %En déduire les solutions, sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, de l'équation 

$2(\ln x)^2 - 5\ln x + 2 =  0$.

%On pourra poser $X =  \ln x$.

$\left\{\begin{array}{l}
2(\ln x)^2 - 5\ln x + 2 =  0\\
X =  \ln x
\end{array}\right. \Rightarrow 2X^2 - 5X + 2 = 0$ équation résolue à la question 1.

On a donc :

$X_{1} = \ln x_{1} = 2 \iff x_{1} = \text{e}^2$ ou 

$X_{2} = \ln x_{2} = \dfrac{1}{2} \iff x_{2} = \text{e}^{\frac{1}{2}}.$

\[S' = \left\{\text{e}^2,\, \text{e}^{\frac{1}{2}}\right\}.\]

Remarque : $\text{e}^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\text{e}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

%\[ f(x) = 2(\ln x)^2 - 5\ln x + 2.\]

%Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni du repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $1$~cm.

\begin{enumerate}
\item  Limites aux bornes
	\begin{enumerate}
		\item  %Étudier la limite de $f$ en $0$. Quelle conséquence graphique peut-on en tirer ?
$\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{x \to 0} 2(\ln x)^2 = + \infty\\
\displaystyle\lim_{x \to 0} - 5 \ln x = + \infty
\end{array}\right. \Rightarrow\, \text{par somme de limites}\, \displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty$.

Graphiquement ce résultat montre que l'axe des ordonnées d'équation $x = 0$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}$ au voisinage de zéro.
		\item %Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ (on pourra factoriser par $\ln x$).
D'après l'indication on peut écrire :

$f(x) = \ln x\left[2\ln x - 5 + \dfrac{2}{\ln x}\right]$.

$\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{x \to +\infty} 2\ln x = + \infty\\
\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2}{\ln x} = + \infty
\end{array}\right. \Rightarrow\, \text{par somme de limites}\, \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = + \infty$.

Et $\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln x = + \infty\\
\displaystyle\lim_{x \to +\infty} 2\ln x - 5 + \dfrac{2}{\ln x} = + \infty
\end{array}\right. \Rightarrow\, \text{par produit de limites}\, \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = + \infty$.
	\end{enumerate}
\item Variations
	\begin{enumerate}
		\item  %On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		
%Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle  $]0~;~+ \infty[$,

%$f'(x) = \dfrac{4 \ln x - 5}{x}$.
En dérivant terme à terme :

$f'(x) = 2 \times 2 \times \ln x\times \dfrac{1}{x} - \dfrac{5}{x} = \dfrac{4\ln x - 5}{x}$.
		\item %Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
Comme $x > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui du numérateur $4\ln x - 5$.

$4\ln x - 5 > 0 \iff \ln x > \dfrac{5}{4} \iff x > \text{e}^{\frac{5}{4}}$.

Donc la fonction $f$ est croissante sur $\left]\frac{5}{4}~;~+ \infty \right[$.

De m\^eme  $4\ln x - 5 < 0 \iff \ln x < \dfrac{5}{4} \iff x < \text{e}^{\frac{5}{4}}$.

Donc la fonction $f$ est décroissante sur $\left]0~;~\frac{5}{4}\right[$.
		\item %En déduire le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. On pourra remarquer que la fonction $f$ s'annule en $\sqrt{\text{e}}$ et en $\text{e}^2$.
Sur $\left]0~;~\frac{5}{4}\right[$ la fonction $f$ décroit de plus l'infini à $f\left(\text{e}^{\frac{5}{4}}\right) = -1,125$ puis croit de $-1,125$ à plus l'infini. On a vu à la question 2. que $f$ s'annule en $x = \sqrt{e}$ et en $x = \text{e}^2$.

On a donc le tableau de signes suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,2)
\psframe(7,2)
\psline(0,1)(7,1)\psline(1,0)(1,2)\psline(3,0)(3,1)\psline(5,0)(5,1)
\rput(0.5,1.5){$x$} \rput(2.1,1.5){$0$} \rput(3,1.5){$\sqrt{\text{e}}$} \rput(5,1.5){$\text{e}^2$} \rput(6.6,1.5){$+\infty$}
\rput(0.5,0.5){$f(x)$} \rput(2,0.5){$+$} \rput(3,0.5){$0$} \rput(4,0.5){$-$} \rput(5,0.5){$0$} \rput(6,0.5){$+$} 
\end{pspicture}

\end{center}
	\end{enumerate}
\item %Donner une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $\sqrt{\text{e}}$.
$M(x~;~y) \in \text{T} \iff y- f\left(\sqrt{\text{e}}\right) = \left(x - \sqrt{\text{e}}\right)f'\left(\sqrt{\text{e}} \right)$.

Or $f\left(\sqrt{\text{e}}\right) = 0$ et $f'\left(\sqrt{\text{e}}\right) = \dfrac{4\ln \left(\sqrt{\text{e}}\right) - 5}{\sqrt{\text{e}}} = \dfrac{-3}{\sqrt{\text{e}}}$.

Donc $M(x~;~y) \in \text{T} \iff y  = \dfrac{-3}{\sqrt{\text{e}}}\left(x - \sqrt{\text{e}}\right) \iff y = \dfrac{-3x}{\sqrt{\text{e}}} + 3$.
\item %Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente T dans le repère orthonormal \Oij.
Voir à la fin.
\item Calcul d'une aire
	\begin{enumerate}
		\item  %Hachurer le domaine $\mathcal{A}$ du plan situé en dessous de l'axe (O$x$) et compris entre la courbe $\mathcal{C}$ et l'axe (O$x$).
Voir à la fin.
\item %Vérifier que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

%$F(x) = x\left[2(\ln x)^2 - 9 \ln x + 11\right]$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
On a $F'(x) = \left[2(\ln x)^2 - 9 \ln x + 11\right] + x\left(\dfrac{4\ln x}{x} - \dfrac{9}{x} \right) = \left[2(\ln x)^2 - 9 \ln x + 11\right] + 4\ln x - 9 = 2(\ln x)^2 - 5\ln x + 2 = f(x)$.

Donc $F$ est une primitive de $f$.
		\item %Calculer en cm$^2$ l'aire du domaine $\mathcal{A}$. En donner l'arrondi à $10^{-2}$.
On a vu que sur $\left[\sqrt{\text{e}}~;~\text{e}^2\right],\, f(x) \leqslant 0$, donc $\mathcal{A}$ est l'opposée de l'intégrale $\displaystyle\int_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}^2} f(x)\:\text{d}x$.

$\mathcal{A} = - \displaystyle\int_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}^2} f(x)\:\text{d}x = - \left[F(x) \right]_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}^2} = - F\left(\text{e}^2 \right) + F\left(\sqrt{\text{e}} \right) =$

$\sqrt{\text{e}}\left[2\left(\ln \sqrt{\text{e}}\right)^2 - 9 \ln \sqrt{\text{e}} + 11\right] - \text{e}^2\left[2\left(\ln \text{e}^2\right)^2 - 9 \ln \text{e}^2 + 11\right] = 7\sqrt{\text{e}} - \text{e}^2$~(u. a.)

Une unité d'aire est égale à $1 \times 1 = 1$~cm$^2$, on a 

$\mathcal{A} = 7\sqrt{\text{e}} - \text{e}^2 \approx 4,15$~cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-15)(10,15)
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-15)(\n,15)}
\multido{\n=-14+2}{15}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(10,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=2](0,0)(-1,-15)(10,15)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2]{->}(0,0)(1,1)
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psline(1.64872,0)(7.389,0)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.35pt,linecolor=blue]{7.389}{1.64872}{x ln dup mul 2 mul 2 add x ln 5 mul  sub}
}
\psplot{0}{9.8}{3 1.81959 x mul sub}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.21}{10}{x ln dup mul 2 mul 2 add x ln 5 mul  sub}
\uput[ur](9,-13){$\Delta$}\uput[u](9.5,0.8){\blue $\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document} 