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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rhead{\small Génie des matériaux}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{18 juin 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole 18 juin 2008~\decofourright\\[5pt]Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E }}
%    
%\vspace{0.5cm}

%Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.

% Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
    
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 2~cm.

\medskip

%On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\begin{enumerate}
\item %Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation $z^2 - 2z + 4 = 0$.
$\Delta = 4 - 4 \times 4 = - 12 = \left(2\text{i}\sqrt{3} \right)$. L'équation a donc deux solutions complexes conjuguées :

\[z_{1} = \dfrac{2 + 2\text{i}\sqrt{3}}{2} = 1 + \text{i}\sqrt{3}\quad \text{et}\quad z_{1} = \dfrac{2 - 2\text{i}\sqrt{3}}{2} = 1 - \text{i}\sqrt{3}.\]
\item 	%On considère les points A, B et C d'affixes respectives 
%\[z_{\text{A}} =  1 - \text{i}\sqrt{3},~~ z_{\text{B}} = 2~~ \text{et}~~ z_{\text{C}} = \overline{z_{\text{A}}}.\] 
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer le module et un argument de $z_{\text{A}}$, de $z_{\text{B}}$ et de $z_{\text{C}}$.
$\left|z_{\text{A}} \right|^2 = 1 + 3 = 4 \Rightarrow \left|z_{\text{A}} \right| = 2$.

On peut écrire $z_{\text{A}} = 2\left(\dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2\left(\cos -\frac{\pi}{3} + \text{i}\sin  -\frac{\pi}{3}\right)$. Un argument de $z_{\text{A}}$ est donc $- \dfrac{\pi}{3}$.

$z_{\text{B}} = 2 = 2\text{e}^{\text{i}0}$. Le module de $z_{\text{B}}$ est donc égale \`a 2 et un argument est $0$.

$z_{\text{C}} = \overline{z_{\text{A}}}$, donc son module est égale \`a 2 et un de ses arguments est égal \`a $\dfrac{\pi}{3}$.
		\item  %Placer les points A, B et C dans le repère \Ouv{} (on laissera apparents les traits de construction).
		\item  %Montrer que A, B et C sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
On a vu que $\left|z_{\text{A}} \right| = \left|z_{\text{C}} \right| =  2 = \text{OA} = \text{OC}$ et que $\left|z_{\text{B}} \right| = \text{OB} = 2$, ce qui montre que les points A, B et C appartiennent au cercle de centre O et de rayon 2.
	\end{enumerate}

\item %Soit $z_{\text{D}}$ le nombre complexe : $z_{\text{D}} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}.$
	\begin{enumerate}
		\item  %Placer le point D d'affixe $z_{\text{D}}$ sur le graphique précédent.
$z_{\text{D}}$ a un module égal \`a 2, donc D appartient lui aussi au cercle précédent. Un de ses arguments est égal \`a $\dfrac{2\pi}{3}$. D'o\`u la construction ci-dessous.
		\item  %Calculer $z_{\text{D}} - z_{\text{A}}$ et $z_{\text{C}} - z_{\text{B}}$ sous forme algébrique. En déduire que ABCD est un trapèze.
$z_{\text{D}} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}} = 2 \left(\cos \frac{2\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{2\pi}{3} \right) = 2\left(- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$.

Donc $z_{\text{D}} - z_{\text{A}} = - 1 + \text{i}\sqrt{3} - \left(1 - \text{i}\sqrt{3}\right) = - 1 + \text{i}\sqrt{3} - 1 + \text{i}\sqrt{3} = -2 + 2\text{i}\sqrt{3}$.

De même $z_{\text{C}} - z_{\text{B}} = 1 + \text{i}\sqrt{3} - 2 = -1 + \text{i}\sqrt{3}$.

On a donc  $z_{\text{D}} - z_{\text{A}} = 2\left( z_{\text{C}} - z_{\text{B}}\right) \iff \vect{\text{AD}} = 2\vect{\text{BC}}$. Ces deux vecteurs sont colinéaires, donc les droites (AD) et (BC) sont parallèles et le quadrilatère ABCD est un trapèze.
		\item %Calculer les distances AB et CD. Que peut-on en conclure pour le trapèze ABCD ?
AB $ = \left|z_{\text{B}} - z_{\text{A}} \right| = \left|2 - \left(1 - \text{i}\sqrt{3}\right) \right| = \left|1 + \text{i}\sqrt{3}\right| = \sqrt{1 + 3} = 2$.

De même CD $ = \left|z_{\text{D}} - z_{\text{C}} \right| = \left|-1 + \text{i}\sqrt{3} - \left(1 + \text{i}\sqrt{3} \right) \right| = \left|2 \right| = 2$.

On a donc AB = CD : le trapèze ABCD est isocèle.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=1.3cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,2.25)
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=2](0,0)(-3,-3)(3,2.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\psdots(1,-1.732)(2,0)(1,1.732)(-1,1.732)
\uput[dr](1,-1.732){A} \uput[ur](2,0){B} \uput[ur](1,1.732){C} \uput[ul](-1,1.732){D}\uput[dl](0,0){O}
\pscircle(0,0){2}\psline(1,-2)(1,2)\psline(-1,-2)(-1,2)
\pspolygon(1,-1.732)(2,0)(1,1.732)(-1,1.732)  
\end{pspicture}
\end{center}	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

%Onze chansons différentes sont enregistrées sur un CD. La durée de chacune d'elles étant inscrite sur la pochette du CD, on a le tableau suivant :

\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{1.75cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Numéro de la chanson & 	1& 	2&	3&	4&5&	6&	7&	8&	9&	10& 	 11\\ \hline
%Durée en secondes&	200& 	185 &	150& 	200& 	185& 	215& 	230 &	215& 	200& 	230& 	300\\ \hline
%\end{tabularx}

%\medskip

%Un lecteur de CD sélectionne \emph{au hasard} une des onze chansons et une seule ; toutes les chansons ont la même probabilité d'être sélectionnées.

%\emph{ Les résultats seront donnés sous forme de fractions.}

\begin{enumerate}
\item  %Quelle est la probabilité que la chanson \no 7 soit sélectionnée ?
Puisqu'il y a équiprobabilité, la probabilité d'écouter la chanson \no 7 est égale \`a $\dfrac{1}{11}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer la probabilité de l'évènement A : \og la chanson sélectionnée a une durée de 200 secondes \fg.
Il y a trois chansons de 200 secondes ; $p(\text{A}= \dfrac{3}{11}$. 
		\item  %Déterminer la probabilité de l'évènement B : \og la chanson sélectionnée a une durée supérieure à 210 secondes \fg.
Il y a 4 chansons de plus de 210 secondes ; $p(\text{B} = \dfrac{4}{11}$.
		\item 	%Soit $\overline{\text{B}}$ l'évènement contraire de B. Décrire B par une phrase, puis déterminer sa probabilité.
$\overline{\text{B}}$ signifie : \og la chanson a une durée inférieur ou égale \`a 210 secondes \fg.

Il y a 6 chansons d'au plus 210 secondes, donc $p\left(\overline{\text{B}} \right) = \dfrac{6}{11}$.
	\end{enumerate}
\item	%On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque chanson sélectionnée associe sa durée exprimée en secondes
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer les différentes valeurs prises par $X$.
$X$ peut valoir 150, 185, 200, 215, 230, 300.
		\item  ~%Établir sous forme d'un tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&150&185&200&215&230&300\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$p\left(X = x_{i}\right)$&$\dfrac{1}{11}$&$\dfrac{2}{11}$&$\dfrac{3}{11}$&$\dfrac{2}{11}$&$\dfrac{2}{11}$&$\dfrac{1}{11}$ \\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
		\item  %Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. Interpréter ce résultat.
On a E$(X) = 150 \times \dfrac{1}{11} + 185 \times \dfrac{2}{11} + 200\times \dfrac{3}{11} + 215 \times \dfrac{2}{11} + 230\times \dfrac{2}{11} + 300 \times \dfrac{1}{11} = \dfrac{\nombre{2310}}{11} = 210$.

Cela signifie que sur un grand nombre d'écoutes $n$ , le temps total d'écoute sera environ de $210n$~secondes. 
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points} 

\medskip

\textbf{Partie A - Exploitation d'un graphique}

%On considère la fonction $g$ définie et dérivable sur $\R$, dont la représentation graphique $\mathcal{C}_{g}$ est donnée sur la figure en annexe. On précise que la courbe $\mathcal{C}_{g}$ coupe l'axe des abscisses au seul point d'abscisse $0$ et admet en ce point comme tangente la droite $d$ tracée sur la figure en annexe.

%Soit $g'$ la fonction dérivée de $g$ sur $\R$.

\begin{enumerate}
\item %En prenant appui sur la représentation graphique donnée en annexe :
	\begin{enumerate}
		\item  %Indiquer à quel entier est égal $g(0)$.
On lit $g(0) = 0$.
		\item  %Expliquer pourquoi $g'(0) =  2$.
$g'(0)$ nombre dérivé en $0$ est le coefficient directeur de la tangente \`a $\mathcal{C}_{g}$ au point d'abscisse $0$. Cette tangente contient le point (1~;~2). Ce coefficient directeur est bien égal \`a $2$.
		\item  %Préciser sur quel intervalle la fonction $g$ semble être positive.
$g$ semble être positive sur $\R_{+}$.
 	\end{enumerate}
\item	%On admet maintenant que $g(x) =  ax + b + \text{e}^x$ où $a$ et $b$ sont des réels que l'on va déterminer.
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer $b$ en utilisant la question \textbf{1. a.}.
O$(0~;~) \in \mathcal{C}_{g} \iff 0 = b + \text{e}^0 \iff 0 = b + 1 \iff b  = -1$.		
		\item  %Calculer $g'(x)$ en fonction de $a$ puis déterminer $a$ en utilisant la question \textbf{1. b.}.
Comme $g(x) = ax - 1 + \text{e}^x$, $g'(x) = a + \text{e}^x$.
		\item  %En déduire que pour tout réel $x$,on a : $g(x) = x- 1 + \text{e}^x$.
On a vu que $g'(0) = 2 \iff a + 1 = 2 \iff a = 1$.

Conclusion $g(x) x - 1 + \text{e}^x$.
\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Partie B - Étude d'une fonction}

%On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ d'expression : \[f(x) = x - 4 - x\text{e}^{-x}.\]
%Soit $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij.

\begin{enumerate}
\item  %Vérifier que, pour tout réel $x$ non nul, on a $f(x) =  x\left(1  - \dfrac{4}{x} -  \text{e}^{-x}\right)$. En déduire $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$.
$f(x) = x\times 1  - 4x \times \dfrac{1}{x} - x \times \text{e}^{-x} = x\left(1 - \dfrac{4}{x} - 4\text{e}^{-x} \right)$.

On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \dfrac{4}{x} = 0$,

$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{-x} = + \infty$, donc par produit de limites,

$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{4}{x} = 0$,

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = 0$, donc par produit de limites,

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
		\item 	%Démontrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = x - 4$ est une asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}_{1}$.
Soit la fonction $d$ définie par $d(x) = f(x) - (x - 4) = x - 4 - x\text{e}^{-x} - x + 4 = - x\text{e}^{-x}$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\text{e}^{-x} = 0$, on peut dire que la droite $\Delta$ d'équation $y = x - 4$ est une asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}_{1}$ au voisinage de plus l'infini.
		\item 	%Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{1}$- par rapport à la droite $\Delta$.
		On a vu que $d(x) =  - x\text{e}^{-x}$ qui est du signe de $- x$, car quel que soit le réel $x,~\text{e}^{-x} > $. 
		
Donc $x < 0 \Rightarrow d(x) > 0$ : la courbe est au dessus de la droite ;

$x > 0 \Rightarrow d(x) < 0$ : la courbe est au dessous de la droite.
	\end{enumerate}
\item %On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur $\R$.
	\begin{enumerate}
		\item %Pour tout réel $x$, calculer $f'(x)$, puis vérifier que : $f'(x) = g(x)\text{e}^{-x}$, où $g$ est la fonction obtenue dans la partie A (question 2. c.).
		$f'(x) = 1 - \text{e}^{-x} + x\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}\left(\text{e}^{x} - 1 + x\right) = g(x)\text{e}^{-x}$.
		\item 	%En utilisant la question 1. c. de la partie A, déterminer le signe de $f'(x)$.
Comme $g(x) \geqslant 0$, et $\text{e}^{-x} > 0$, on peut en déduire que $f'(x) \geqslant 0$.
		\item 	~%Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$.
		\medskip
		
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(6,3)
\psframe(6,3)\psline(0,2)(6,2)\psline(6,2.5)(0,2.5)
\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$}\uput[u](2.4,2.5){$-\infty$}\uput[u](4,2.5){$0$}\uput[u](5.6,2.5){$+\infty$}
\psline{->}(2.6,0.3)(5.3,1.7)
\rput(1,2.25){$f'(x)$} \rput(4,2.25){$+$}\rput(4,1.15){$-4$}
\rput(1,1){$f(x)$}\uput[u](2.3,0){$-\infty$} \uput[d](5.6,2){$+\infty$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

	\end{enumerate}
\item  %En prenant pour unité graphique 1~cm sur chaque axe, tracer sur une feuille de papier millimétré la courbe $\mathcal{C}_{1}$ et l'asymptote $\Delta$ dans le plan muni du repère \Oij.
Voir en bas.
\end{enumerate}
 
 \medskip

\textbf{Partie C - Calcul d'une aire}

\begin{enumerate}
\item  %Soit $h$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ d'expression :
%\[ h(x) = - x\text{e}^{-x}\]
	\begin{enumerate}
		\item %Soit $H$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ d'expression :
%		\[ H(x) = (x + 1)\text{e}^{-x}.\]
%Montrer que $H$ est une primitive sur $\R$ de la fonction $h$.
On a $H'(x) = \text{e}^{-x} - (x + 1)\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}(1 - x - 1) = - x\text{e}^{-x} = h(x)$.
		\item 	%En déduire une primitive sur $\R$ de la fonction $f$ définie dans la partie B.
On en déduit qu'une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par :

$F(x) = \dfrac{x^2}{2} - 4x + H(x) = \dfrac{x^2}{4} - 4x + (x + 1)\text{e}^{-x}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Hachurer sur le graphique le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x =2$.
Voir plus bas.
		\item 	%Calculer l'aire $\mathcal{A}$ de la partie hachurée. Donner la valeur exacte de $\mathcal{A}$ en cm$^2$ puis sa valeur arrondie au centième.
		On a $f(2) = 2 - 4 - 2\text{e}^{-2} < 0$ et comme $h(0) = - 4 < 0$, la fonction $f$ est négative sur l'intervalle [0~;~2].

Donc en unité d'aire :

$\mathcal{A} = \displaystyle\int_{0}^2 - f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^2 - f(x)\:\text{d}x = \left[-\dfrac{x^2}{2} + 4x - (x + 1)\text{e}^{-x} \right]_{0}^2 = -\dfrac{4}{2} + 8 - 3\text{e}^{-2} + 1 = 7 - 3\text{e}^{-2}$

L'unité d'aire valant 1 cm$^2$, on a :

\[\mathcal{A} = 7 - 3\text{e}^{-2} \approx 6,593 \approx 6,59~\text{cm}^2.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.333cm}
\begin{pspicture}(-2,-5)(7,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,gridwidth=1pt,griddots=10](0,0)(-2,-5)(7,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-5)(7,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0}{2}{x 4 sub x 2.71828 x exp div sub}
\psline(2,0)(0,0)}
\psplot{-1}{6}{x 4 sub}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{-1.797}{7}{x 4 sub x 2.71828 x exp div sub}
\uput[r](-1,-5){$\Delta$} \uput[r](5,1){\blue $\mathcal{C}_{f}$}\uput[dr](0,0){O}\uput[d](7,0){$x$}\uput[l](0,4.8){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}