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% Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STI Génie mécanique, génie des matériaux}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé  du baccalauréat STI Métropole juin 2010~\decofourright\\[5pt] Génie mécanique, génie des matériaux}}
\end{center}
%\emph{Le candidat est invité à faire figurer sur sa copie toute trace de recherche, même incomplète ou non
%fructueuse, qu'il aura développée.\\
%Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements
%entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.}


\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

%\medskip

%Le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij. On considère l'équation différentielle (E) suivante : 

%\[4y'' = -y\]

% où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$ définie et deux fois dérivable sur $\R$ et où $y''$ désigne sa dérivée seconde.
  
\begin{enumerate}
\item %Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\R$ par :

%\[f(x) =  2 \cos \left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{3}\right).\]
 
%Calculer $f'(x)$ et $f''(x)$, puis vérifier que la fonction $f$ est une solution de l'équation différentielle (E).
$f(x) =  2 \cos \left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{3}\right) \Rightarrow$

$f'(x) = - \dfrac{1}{2} \times 2 \sin\left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{3}\right)   = -\sin\left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{3}\right) \Rightarrow$

$f''(x) = \dfrac{1}{2}\cos\left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{3}\right)$.

On a $4f''(x) = 4\times \dfrac{1}{2}\cos\left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{3}\right) = 2\cos\left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{3}\right)$ et 

$- f(x) = 2 \cos \left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{3}\right)$.

On a bien $4f''(x) = - f(x)$, donc $f$ est une solution de l'équation différentielle. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle (E).
On sait que la forme générale des solutions de l'équation différentielle (E) est : 

$f(x) = A\sin \frac{x}{2} + B\cos  \frac{x}{2}$, avec $A \in \R, B \in \R$.
		\item %Déterminer la solution particulière $g$ de l'équation différentielle (E) dont la courbe représentative passe par les points A(0~;~1) et B$\left(\pi~;~ -\sqrt{3}\right)$.
La fonction $g$ est de la forme : $g(x) = A\sin \frac{x}{2} + B\cos  \frac{x}{2}$.

Cette fonction vérifie les conditions :

$\left\{\begin{array}{l c l}
g(0)&=&1\\
g(\pi)&=&-\sqrt{3}
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
B&=&1\\
A&=&-\sqrt{3}
\end{array}\right.$

On a donc $g(x) = - \sqrt{3}\sin \frac{x}{2} + \cos  \frac{x}{2}$.
		\item %Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on a : $g(x) = f(x)$.
En factorisant $2$, on peut écrire :

$g(x) = 2\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin \frac{x}{2} + \dfrac{1}{2}\cos  \frac{x}{2} \right) = 2\left(-\sin \frac{\pi}{3}\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{\pi}{3}\cos  \frac{x}{2}\right) = 2\cos \left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{3}\right)$ (en application de l'identité : $ \cos a \cos b - \sin a \sin b = \cos (a + b) $).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

%\medskip 

%Le plan est muni d'un repère orthonormal \Ouv.
% 
%On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$ ; 

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Résoudre dans l'ensemble $\C$ des complexes l'équation : 

%\[(z - 2)\left(z^2 - 2z + 4\right) = 0.\]
$(z - 2)\left(z^2 - 2z + 4\right) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l}
z - 2&=&0\\
z^2 - 2z + 4&=&0
\end{array}\right.$

Pour l'équation du second degré : $\Delta = 4 - 16 = - 12 = \left(2\text{i}\sqrt{3} \right)^2$.L'équation a donc deux solutions complexes conjuguées :

\[\dfrac{2 + 2\text{i}\sqrt{3}}{2} = 1 + \text{i}\sqrt{3}~\text{et}~ 1 - \text{i}\sqrt{3}.\]

Finalement : $S = \left\{1 - \text{i}\sqrt{3}~;~2~;~1 + \text{i}\sqrt{3}  \right\}$.
\item %On considère les points A, B, C, D, E d'affixes respectives :

%\[ z_{\text{A}} = 2 ~~;~~ z_{\text{B}} = 1 + \text{i}\sqrt{3}~~ ;~~ z_{\text{C}} = \overline{z_{\text{B}}}~~ ;~~ z_{\text{D}} = 2\text{e}^{2\text{i}\frac{\pi}{3}}~~ ;~~ z_{\text{E}} = 2\text{i}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}.\] 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$.
$z_{\text{A}}$ est un réel de module 2 et dont un argument est $0$.

$z_{\text{B}} = 1 + \text{i}\sqrt{3} \Rightarrow \left|z_{\text{B}} \right|^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2 \Rightarrow \left|z_{\text{B}} \right| = 2.$

Donc $z_{\text{B}} = 2\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2 \left(\cos \frac{\pi}{3} + \text\^{\i} \sin \frac{\pi}{3}\right)$.

Un argument de $z_{\text{B}}$ est donc $\dfrac{\pi}{3}.$		 
		\item %Donner le module et un argument de $z_{\text{C}}$.
$z_{\text{C}}$ étant le conjugué de $z_{\text{B}}$ son module est aussi égal à 2 et un de ses arguments est $- \dfrac{\pi}{3}$. 
		\item %Donner sans calcul le module et un argument de $z_{\text{D}}$.
Cette écriture montre que le module de $z_{\text{D}}$ est égal à $2$ et que l'un de ses arguments est $\dfrac{2\pi}{3}$. 
		\item %Déterminer la forme algébrique de $z_{\text{D}}$ et $z_{\text{E}}$.
z_{\text{D}} = 2\text{e}^{2\text{i}\frac{\pi}{3}} = 2\left(\cos \frac{2\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{2\pi}{3} \right) = 2\left(- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$.

z_{\text{E}} = 2\text{i}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}} = 2\text{i}\left(\cos \frac{-\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{-\pi}{3} \right) = 2\text{i}\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{-\sqrt{3}}{2} \right) = \sqrt{3} + \text{i}$.
	\end{enumerate}


\item
	\begin{enumerate}
		\item %Placer les points A, B, C, D, E dans le repère indiqué sur la feuille de papier millimétré fournie.
		 
%On prendra comme unité graphique 2~cm sur chacun des axes.
\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-3)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psdots(2,0)(1,1.732)(1,-1.732)(-1,1.732)(1.732,1)
\psline[linestyle=dashed](1,-3)(1,3)
\psline(-3,1)(3,1)
\pscircle(0,0){2}
\uput[ur](2,0){A} \uput[ur](1,1.732){B} \uput[dr](1,-1.732){C} \uput[ul](-1,1.732){D} \uput[dl](1.732,1){E}\uput[dl](0,0){O}

\end{pspicture}
\end{center} 
\medskip
 
\emph{Dans les questions suivantes, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
		\item %Montrer que les points A, B, C, D, E sont situés sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
On a $z_{\text{E}} = - \sqrt{3} +\text{i} \Rightarrow \left|z_{\text{E}} \right|^2 = 3 + 1 = 4 = 2^2 \Rightarrow  \left|z_{\text{E}} \right| = 2$.

Donc les affixes des points A, B, C, D et E ont un module égal à $2$ : ces cinq points appartiennent donc au cercle de centre O et de rayon $2$. 
		\item %Tracer le cercle dans le repère.
Voir la figure 
		\item %Quelle est la nature du triangle DBC ? 
B et C ont la même partie réelle, donc la droite (BC) est parallèle à l'axe des ordonnées ;

B et D ont la même partie imaginaire, donc la droite (BD) est parallèle à l'axe des abscisses.

Conclusion : les droites (BC) et (BD) sont perpendiculaires : le triangle DBC est rectangle en B.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

%\medskip

%Soit la fonction $f$, définie et dérivable sur $\R$, d'expression 

%\[f(x) = 6 - x - \text{e}^{-x}.\]

% Soit $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij.
 
\medskip
  
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Étudier la limite de $f$ en $+\infty$.
On a : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} - x = - \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$. 
		\item %Montrer que $f(x)$ peut se mettre sous la forme $f(x) = \text{e}^{-x}\left(6\text{e}^{x} -  x\text{e}^{x} - 1\right)$. On admet que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^{x} = 0$. En déduire la limite de $f$ en $-\infty$.
$f(x) = 6 - x - \text{e}^{-x} = 6\text{e}^{-x}\text{e}^{x} - x\text{e}^{-x}\text{e}^{x} - \text{e}^{-x}  = \text{e}^{-x}\left(6\text{e}^{x} - x\text{e}^{x} - 1\right)$.

Avec $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^{x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\text{e}^{-x} = + \infty$, on obtient par somme (la parenthèse a pour limite $-1$),  puis produit de limites :

$$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la droite $\Delta$ d'équation $y =  -x + 6$ est une asymptote à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ en $+ \infty$.
		Soit $d$ la fonction définie sur $\R$ par 
		
$d(x) = f(x) - (- x + 6) = 6 - x - \text{e}^{-x} + x - 6 = - \text{e}^{-x}$
		
Comme  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} d(x) = 0$, la droite $\Delta$ d'équation $y = 6 - x$ est asymptote à $\mathcal{C}_{f}$ au voisinage de plus l'infini.
		\item %Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la droite $\Delta$.
$d(x) = - \text{e}^{-x} < 0$, car $\text{e}^{-x} > 0$ pour tout réel $x$. Ceci signifie que $f(x) < - x + 6$, c'est-à-dire que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ est en dessous de son asymptote $\Delta$.
 	\end{enumerate} 
\item %On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur R. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)$ peut se mettre sous la forme 
$f$ somme de fonctions dérivables sur $\R$ est dérivable sur $\R$ et :

$f'(x) = - 1  + \text{e}^{-x} = - 1 + \dfrac{1}{\text{e}^{x}} = - \dfrac{\text{e}^{x}}{\text{e}^{x}} + \dfrac{1}{\text{e}^{x}} = \dfrac{1 - \text{e}^{x}}{\text{e}^{x}}$.		
%$f'(x) = \dfrac{1 - \text{e}^x}{\text{e}^x}$. 
		\item %Résoudre dans $\R$ l'inéquation $1 - \text{e}^x \geqslant 0$.
$1 - \text{e}^x \geqslant 0 \iff 1 \geqslant \text{e}^x \iff \ln 1 \geqslant x $ (par croissance de la fonction $\ln$) $ \iff 0 \geqslant x \iff x \leqslant 0$.		 
		\item %En déduire le signe de $f'(x)$ sur $\R$ et dresser le tableau de variations de $f$.
D'après les deux questions précédentes comme $\text{e}^x
 > 0$ pour tout réel, le signe de $f'(x)$ est celui de $1 - \text{e}^x$, donc si $x \leqslant 0,~f'(x) > 0$ ;
 
On obtiendrait de même que si $x > 0,~f'(x) > 0$.

La fonction $f$ est donc croissante sur $]-\infty~ ;~0[$ et décroissante sur ]0~;~+ \infty[$. D'où le tableau :

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3) \psline(0,2)(7,2) \psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.5){$x$} \uput[u](1.4,2.5){$-\infty$} \uput[u](4,2.5){$0$} \uput[u](6.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$} \rput(0.5,1){$f(x)$}
\uput[u](2.5,2){$+$} \uput[u](2.5,5.5){$-$}
\psline{->}(1.6,0.5)(3.5,1.6) \psline{->}(4.5,1.6)(6.5,0.5)
\uput[u](1.4,0){$-\infty$} \uput[u](6.5,0){$-\infty$} \uput[d](4,02){$5$}
\end{pspicture}
\end{center}	
\end{enumerate} 
\item %Soit $\Delta'$ la parallèle à $\Delta$ passant par l'origine.
$\Delta'$ a même coefficient directeur que $\Delta$ : son équation est donc $y = - x$. 
%Calculer les coordonnées du point d'intersection N de $\Delta'$ et de $\mathcal{C}_{f}$.
Les points communs à  $\Delta'$ et à $\mathcal{C}_{f}$ ont une abscisse qui vérifie :

$f(x) = - x \iff 6 - x - \text{e}^{-x} = - x \iff 6 = \text{e}^{-x} \iff \ln 6 = - x \iff x  = - \ln 6$.

Le point commun à $\Delta'$ et à $\mathcal{C}_{f}$ est N$(- \ln 6~ ;~\ln 6)$.
\item %Déterminer une équation de la droite $\mathcal{T}$ tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $- \ln (6)$.
Une équation de $\mathcal{T}$ est : 

$M(x~;~y) \in \mathcal{T} \iff y - f(- \ln 6) = f'(- \ln 6) (x - (- \ln 6))$.

On vient de voir que $f(- \ln 6) = \ln 6$ ; 

$f'(- \ln 6) = - 1 + \text{e}^{\ln 6} = - 1 + 6 = 5$.

Donc $M(x~ ;~y) \in \mathcal{T} \iff y - \ln 6 = 5(x - (- \ln 6)) \iff y = 5x + 6\ln 6$.
 
\item %En utilisant une feuille de papier millimétré, tracer dans le repère \Oij{} la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et les droites $\Delta$, $\Delta'$ et $\mathcal{T}$. On prendra comme unité graphique 1~cm sur chacun des axes.
Voir la figure plus bas.  
\item %Soit la fonction $F$, définie et dérivable sur $\R$, d'expression 

%\[F(x) = 6x - \dfrac{x^2}{2}+ \text{e}^{-x}.\] 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
		$F$ est dérivable sur $\R$ et $F'(x) = 6 - x -  \text{e}^{-x} = f(x)$.
		
$F$ est donc une primitive de $f$ sur $\R$.
		\item %Hachurer sur le graphique le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses, la droite d'équation $x = - \ln (6)$ et l'axe des ordonnées.
Voir la figure
		\item %Calculer l'aire $\mathcal{A}$ en cm$^2$ de la partie hachurée.
		D'après le tableau de variations comme $f(-\ln 6) = \ln 6 > 0$ et que la fonction est croissante sur $]- \infty~;~0[$, il en résulte que sur l'intervalle $[-\ln 6~;~0[$ la fonction $f$ est positive. Par conséquent l'aire $\mathcal{A}$ du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses, la droite d'équation $x = - \ln (6)$ et l'axe des ordonnées est égale (en unité d'aire) à l'intégrale :
		
\[\int_{- \ln 6}^0 f(x)\:\text{d}x = \left[F(x) \right]_{- \ln 6}^0 = F(0) - F(- \ln 6) = 1 - \left(-6\ln 6 - \dfrac{(-\ln 6)^2}{2} + \text{e}^{\ln 6}\right) =\]

\[ 1+ 6\ln 6 + \dfrac{(-\ln 6)^2}{2} - 6 =  6\ln 6 + \dfrac{(\ln 6)^2}{2} - 5.\]

$\mathcal{A} \approx 7,4$~cm$^2$.		 
%On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie de $\mathcal{A}$ au dixième de cm$^2$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-6,-6)(6,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-6,-6)(6,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}\psline(-1.79176,0)(-1.79176,6)
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=10000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-1.79176}{0}{6 x sub 1 2.71828 x exp div sub}
\psline(0,0)(-1.79176,0)}
\psplot{0}{6}{6 x sub}
\psplot{-3.35}{-0.94}{5  x mul 6 6 ln mul add}
\psplot[plotpoints=10000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2.69}{6}{6 x sub 1 2.71828 x exp div sub}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}