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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI  Génie des matériaux, mécanique }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft ~Corrigé du baccalauréat STI Métropole septembre 2006~\decofourright\\[5pt]Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E }}
    
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation suivante :
%\[  z^2 + 2 z\sqrt{3} + 4 = 0\]
%On note $z_{1}$ la solution dont la partie imaginaire est positive, $z_{2}$ la solution dont la partie imaginaire est négative.
$\Delta = \left( 2\sqrt{3}\right)^2 - 4 \times 4 = 12 - 16 = -4 = (2\text{i})^2$. L'équation a donc deux solutions complexes conjuguées :

\[z_{1} = \dfrac{-2\sqrt{3} + 2\text{i}}{2} = - \sqrt{3} + \text{i}\quad \text{et}\quad z_{2} = - \sqrt{3} - \text{i}.\]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le module et un argument de $z_{1}$ puis de $z_{2}$.
$\left|z_{1} \right| = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
On peut alors écrire $z_{1} = 2\left(- \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2} \right) =$

$ 2\left(\cos \dfrac{5\pi}{6} + \text{i} \sin  \dfrac{5\pi}{6}\right)$.
Un argument de $z_{1}$ est donc $\dfrac{5\pi}{6}$.

Il suit pour $z_{2}$ conjugué de $z_{1}$, $\left|z_{2}\right| = 2$ et arg$\left(z_{2}\right) = - \dfrac{5\pi}{6}$.
		\item %En déduire le module et un argument de $z_{1}^2$ puis de $z_{2}^2$.
Le module du carré est égal au carré du module, donc $\left|z_{1}^2\right| = 4$ et arg$\left(z_{1}^2 \right) = 2 \text{arg}\left(z_{1}\right) = 2 \times \dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{3}$ ou $-\dfrac{\pi}{3}$.

De même on obtient $\left|z_{2}^2\right| = 4$ et arg$\left(z_{2}^2\right) = - \dfrac{5\pi}{3} $ ou $\dfrac{\pi}{3}$.
		\item %Donner les formes algébriques des nombres complexes $z_{1}^2$ et $z_{2}^2$.
On a vu que  $z_{1} = 2\left(- \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2} \right) = - \sqrt{3} + \text{i}$ et $z_{2} = 2\left(- \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \text{i}\dfrac{1}{2} \right) = - \sqrt{3} - \text{i}$.
	\end{enumerate}
\item %Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : $2$~cm).
	\begin{enumerate}
		\item %Placer les points A, B, C, D d'affixes respectives $z_{\text{A}} = - \sqrt{3} + \text{i},\\z_{\text{B}} = - \sqrt{3} - \text{i},~z_{\text{C}} = 2 - 2\text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{D}} =  2 + 2\text{i}\sqrt{3}$.
		Voir à la fin de l'exercice.
		\item %Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.
A et B ont la même abscisse : la droite (AB) est donc parallèle à l'axe des ordonnées ;
		
C et D  ont la même abscisse : la droite (CD) est donc parallèle à l'axe des ordonnées ;

Donc (AB) et (CD) sont parallèles ; le quadrilatère (ABCD) est donc un trapèze.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-2)(3,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-2)(3,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\psdots(-1.732,1)(-1.732,-1)(2,-2)(2,3.464)
\uput[ul](-1.732,1){A}  \uput[dl](-1.732,-1){B} \uput[dr](2,-2){C}\uput[ur](2,3.464){D}
\pspolygon(-1.732,1)(-1.732,-1)(2,-2)(2,3.464)
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

%Une entreprise produit des rondelles métalliques. Ces rondelles peuvent présenter deux défauts :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] un défaut de diamètre,
%\item[$\bullet~$] un défaut d'épaisseur.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

%Le pourcentage des pièces présentant un défaut de diamètre est de 6\,\%. Celui des pièces présentant un défaut d'épaisseur est de 8\,\%. Le pourcentage des pièces présentant les deux défauts est de 5\,\%.
\begin{enumerate}
\item %Recopier et compléter le tableau suivant en indiquant dans chaque case le pourcentage correspondant :

%\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Avec le défaut de diamètre&	Sans le défaut de diamètre&	Total\\ \hline
Avec le défaut d'épaisseur&5\,\%	&3\,\%	&8\,\%  \\ \hline
 Sans le défaut d'épaisseur&1\,\%	&91\,\%	&92\,\%  \\ \hline
Total&	6\,\%	&94\,\%&	100\,\% \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
\item %Une pièce est choisie au hasard dans la production. Toutes les pièces ont la même probabilité d'être choisies. Montrer que la probabilité $p_{1}$ de présenter un défaut d'épaisseur et pas de défaut de diamètre est égale à 3\,\%.
Dans le tableau première ligne, deuxième colonne de nombres, on constate qu'il y a 8 - 5 = 3 pièces sur 100 qui présentent un défaut d'épaisseur et pas de défaut de diamètre. Donc $p_{1} = \dfrac{3}{100} = 0,03$.
\item  %Une pièce est choisie au hasard parmi les pièces présentant un défaut de diamètre. Quelle est la probabilité $p_{2}$ qu'elle présente un défaut d'épaisseur ?
Sur 6 pièces présentant un défaut de diamètre, 5 présentent le défaut d'épaisseur. La probabilité $p_{2} = \dfrac{5}{6}$.
\item %Soit $X$ la variable aléatoire qui à toute pièce de cette production prise au hasard associe le nombre de défauts observés sur celle-ci.

	\begin{enumerate}
		\item  %Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ ?
Il peut y avoir 0, 1 ou 2 défauts.
		\item  ~%Donner sous la forme d'un tableau la loi de la variable aléatoire $X$.
		
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&0&1&2  \\ \hline
$p\left(X = x_{i}\right)$&0,91&0,04&0,05  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
		
		\item  %Calculer E($X$), l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ (on détaillera les calculs effectués).
E$(X) = 0 \times 0,91 + 1 \times 0,04 + 2 \times 0,05 = 0,14$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie I :}  étude de la fonction $f$

\medskip
	
%Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par : 
%\[f(x) = \dfrac{\text{e}^x + \text{e}^{-x}}{2}.\]
%On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le repère orthononné \Oij{} d'unité graphique $5$~cm.
\begin{enumerate}
\item %Étudier la parité de la fonction $f$ sur $\R$.
Quel que soit le réel $x$, $f(x) = \dfrac{\text{e}^x + \text{e}^{-x}}{2}$, donc $f(-x) = \dfrac{\text{e}^{-x} + \text{e}^{x}}{2} = f(x)$ : la fonction est paire.

%En déduire une propriété géométrique de la courbe $\mathcal{C}$.
Donc $\mathcal{C}$ a pour axe de symétrie l'axe des ordonnées.
\item 	%Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$, puis en $- \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{x} = + \infty$ et que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{x} = 0$.

Donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty$.
\item 	%On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$. Déterminer $f'(x)$.
$f$ est une somme de fonctions dérivables sur $\R$. Sur cet intervalle $f'(x) = \dfrac{\text{e}^{x} - \text{e}^{-x}}{2}$.
\item 	%Étudier le signe de $\left(\text{e}^x + \text{e}^{-x}\right)$ sur $\R$.
$\text{e}^{x} - \text{e}^{-x} > 0 \iff \text{e}^{x} > \text{e}^{-x} \Rightarrow \quad \text{par croissance de la fonction ln}\quad x > - x \iff 2x > 0 \iff$

$ x > 0$. Donc si $x > 0, f'(x) > 0$.

On trouve de même que si $x < 0, f'(x) < 0$.
%En déduire le signe de $f(x)$.
\item 	%Construire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$.
On en déduit que pour $x > 0,~f$ est croissante, d'o\`u le tableau de variations :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,2.5)
\psframe(8,2.5)\psline(0,2)(8,2)\psline(2,0)(2,2.5)
\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.4,2){$-\infty$} \uput[u](5,2){$0$} \uput[u](7.6,2){$+\infty$} \rput(1,1){$f(x)$}
\uput[d](2.4,2){$+ \infty$}\uput[d](7.6,2){$+ \infty$}
\uput[u](5,0){$1$}
\psline{->}(2.7,1.7)(4.5,0.3) \psline{->}(5.5,0.3)(7.3,1.7)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip
\item 	%Sur une feuille de papier millimétré, et en utilisant le repère indiqué, construire la portion de la courbe $\mathcal{C}$ dont les abscisses appartiennent à l'intervalle $[-2~;~2]$.

%Placer les points A et B de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisses respectives $-1$ et $1$.

%On rappelle que l'unité graphique est 5~cm.
Voir la figure à la fin de l'exercice.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II :} étude de la longueur d'un arc de la courbe

\medskip

%On appelle $\ell$ la longueur de l'arc $\widearc{\text{AB}}$ de la courbe $\mathcal{C}$.

\begin{enumerate}
\item %Déterminer les coordonnées du point E d'abscisse $0$ de la courbe $\mathcal{C}$.
On a $f(0) = \dfrac{1 + 1}{2} = 1$. E(0~;~1).
\item  %Calculer, en centimètre, les valeurs exactes des longueurs AE et EB.
A$\left(1~;~\frac{\text{e} + \text{e}^{-1}}{2}\right)$ et B$\left(-1~;~\frac{\text{e} + \text{e}^{-1}}{2}\right)$.

Donc AE$^2 = 1^2 + \left[ 1 - \frac{\text{e} + \text{e}^{-1}}{2}\right]^2 = 1 + \left[ 1 - \frac{\text{e} + \text{e}^{-1}}{2}\right]^2$.

AE = $\sqrt{1 + \left[ 1 - \frac{\text{e} + \text{e}^{-1}}{2}\right]^2}$.

Par symétrie : AE = BE.

%En déduire qu'une valeur arrondie à $10^{-2}$ de (AE + EB) est égale à  11,38 cm.
Donc AE + BE $ = 2\left( \sqrt{1 + \left[ 1 - \frac{\text{e} + \text{e}^{-1}}{2}\right]^2}\right)$ et comme l'unité de longueur est égale à 5~cm :

AE + EB $ \approx 11,379 \approx 11,38$~cm
\item   %On admet que la longueur $\ell$ de l'arc $\widearc{\text{AB}}$ est donnée en centimètre par la formule suivante :
%\[\ell = 5 \times \int_{-1}^{1} \sqrt{1 + [f'(x)]^{2}}\:\text{d}x.\]
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que $1+ [f'(x)]^2 = \left(\dfrac{\text{e}^x + \text{e}^{-x}}{2}  \right)^{2}$.
$1+ [f'(x)]^2 = 1 + \left[ \dfrac{\text{e}^x + \text{e}^{-1}}{2}\right]^2 = 1 + \dfrac{\text{e}^x}{4} + \dfrac{\text{e}^{-x}}{4} - \dfrac{1}{2} =  \dfrac{\text{e}^x}{4} + \dfrac{\text{e}^{-x}}{4} + \dfrac{2}{4} = \left(\dfrac{\text{e}^x + \text{e}^{-x}}{2}  \right)^{2} $.
		\item	%Calculer $\displaystyle\int_{-1}^{1} \sqrt{1 + [f'(x)]^{2}}\:\text{d}x$.
$\displaystyle\int_{-1}^{1} \sqrt{1 + [f'(x)]^{2}}\:\text{d}x = \displaystyle\int_{-1}^{1} \sqrt{\left(\dfrac{\text{e}^x + \text{e}^{-x}}{2}  \right)^{2}}\:\text{d}x = \displaystyle\int_{-1}^{1} \dfrac{\text{e}^x + \text{e}^{-x}}{2}\:\text{d}x = \left[\dfrac{\text{e}^x - \text{e}^{-x}}{2} \right]_{-1}{1}  = \dfrac{\text{e}^1 - \text{e}^{-1}}{2} - \left(\dfrac{\text{e}^{-1} - \text{e}^{1}}{2} \right) =  \text{e} -  \text{e}^{-1}$.
		\item	%En déduire la valeur exacte de la longueur de cet arc. Quelle est l'erreur commise en prenant (AE $+$ EB) comme valeur approchée de $\ell$ ?
		Donc $\ell = 5\left(\text{e} -  \text{e}^{-1} \right)$.
		
On a $\ell \approx 11,75$.

L'erreur commise en prenant comme longueur AE + EB est donc à peu près : $11,75 - 11,38 = 0,37$~(cm).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-1.2,0.3)(1.2,2)
\psaxes[linewidth=1pt,Oy=0.5,Dy=5](0,0.5)(-1.2,0)(1.2,2)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.25pt,gridcolor=lightgray,subgriddiv=4](-1,0.5)(1,2.5)
\uput[d](0.5,0.5){$\vect{\imath}$} %\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-1.2}{1.2}{2.71828 x exp 2.71828 x neg exp add 2 div} 
\psdots(-1,1.5431)(1,1.5431)
\uput[dr](1,1.5431){A} \uput[dl](-1,1.5431){B}\uput[dr](0,1){1}\uput[ul](0,1){E}
\psline(1,1.5431)(0,1)(-1,1.5431)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}