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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
%Tapuscrit : Denis Verg\`es
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI  Génie mécanique,\\des matériaux}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Métropole septembre 2010~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, des matériaux}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

%Le plan est muni d'un repère orthonormal \Ouv.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
			\item %Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation: 

%\[z^2 + z + 1 = 0\]
 
%On notera $z_{1}$ et $z_{2}$ les solutions de cette équation,  $z_{1}$ étant celle dont la partie imaginaire est négative.
On a $\Delta = 1 - 4 = - 3 = \left(\text{i}\sqrt{3} \right)^2$ : l'équation a donc deux solutions complexes conjuguées :

$z_1 = \dfrac{- 1 - \text{i}\sqrt{3}}{2}$ et $z_2 = \dfrac{- 1 + \text{i}\sqrt{3}}{2}$
			\item %Montrer que $z_{1}^2 = z_{2}$.
$z_{1}^2 = \left(\dfrac{- 1 - \text{i}\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \dfrac{1 - 3 + 2\text{i}\sqrt{3}}{4} = \dfrac{- 1  + \text{i}\sqrt{3}}{2}  = z_{2}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %On considère dans la suite de l'exercice les points A, B et C d'affixes respectives 
		
%		\[z_{1} = \dfrac{-1 - \text{i}\sqrt{3}}{2}, \quad z_{2} =  \dfrac{-1 + \text{i}\sqrt{3}}{2} \quad \text{et}~~z_{3} = 1.\]
		 
%Écrire chacun de ces trois nombres complexes sous forme trigonométrique et en déduire que $z_{1}^3 = z_{3}$.
$\bullet~~$$\left|z_1 \right|^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1$, donc $\left|z_1 \right| = 1$ ; d'où $z_1 = \cos \frac{-2\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{-2\pi}{3} = \text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}$ ;

$\bullet~~$$\left|z_2 \right|^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1$, donc $\left|z_2 \right| = 1$ ; d'où $z_2 = \cos \frac{2\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{2\pi}{3} = \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$ ; 

$\bullet~~$$\left|z_3 \right| = 1$ ; d'où $z_3 = \text{e}^{\text{i}0}$.
		\item %Calculer $z_{1}^{\np{2010}}$.
$z_{1}^{\np{2010}} = \left(\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}} \right)^{\np{2010}} = \text{e}^{-\text{i}\frac{\np{4020}\pi}{3}} = \text{e}^{- \np{1340}\pi} = \text{e}^{0\pi} = 1$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Placer les points A, B et C dans le plan. On prendra 4~cm comme unité graphique sur chacun des axes.
Voir à la fin
		\item %Montrer que ces points sont sur un cercle, dont on déterminera le centre et le rayon.
Les trois complexes ont pour module 1 ; les trois points A, B et C appartiennent bien au cercle de centre O de rayon 1.
	\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=4cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt]
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\psdots(1,0)(1;-120)(1;120)
\uput[ur](1,0){C}\uput[dl](1;-120){A} \uput[ul](1;120){B}\uput[dl](0,0){O}
\pscircle(0,0){1}
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\end{pspicture}
\end{center}	
\medskip
	 
\textbf{Dans les questions suivantes, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
\item Montrer que le triangle ABC est équilatéral. 
\item Placer le point D tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme puis calculer les coordonnées du point D. 
\item Expliquer, sans faire de calculs, pourquoi les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires. 
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère l'équation différentielle 

\[\left(E_{0} : \right)\quad  	y'' + 9y = 0\]

où $y$ est une fonction deux fois dérivable  sur $\R$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $\left(E_{0}\right)$. 
\item Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation différentielle $\left(E_{0}\right)$ vérifiant les conditions $f(0) = \sqrt{3}$ et $f'(0) = 3$. 
\item À l'aide de la formule $\cos (a + b) = \cos(a) \cos(b) - \sin(a) \sin(b)$, montrer que $f(x)$ peut s'écrire: 

\[f(x) = 2\cos \left(3x - \dfrac{\pi}{6}\right).\]
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip 

On considère maintenant l'équation différentielle 

\[\left(E_{1}\right) :\quad y'' + 9y = \text{e}^{- x}.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $g$ définie par $g(x) = \dfrac{1}{10}\text{e}^{- x}$ est une solution de $\left(E_{1}\right)$· 
\item  Montrer que la fonction $f + g$ est solution de $\left(E_{1}\right)$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : 

\[g(x) = x^2 + 2 - 2\ln (x)\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction dérivée $g'$ de la fonction $g$ et montrer que cette dérivée peut s'écrire : 

\[g'(x) = \dfrac{2 \left(x^2 - 1\right)}{x} \]

\item Étudier le signe de $g'(x)$ et établir le tableau de variations de la fonction $g$ (les limites de la fonction $g$ en $0$ et en $+ \infty$ ne sont pas demandées). 
\item En déduire le signe de $g(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère maintenant la fonction $f$ définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$, d'expression: 

\[f(x) = \dfrac{2\ln (x)}{x} + x - 1\] 

Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentant la fonction $f$ dans le repère donné sur l'annexe jointe au sujet.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$ et en déduire que la courbe $\mathcal{C}$ représentant la fonction $f$ admet une asymptote 
dont on déterminera une équation. 
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.  
		\item Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ admet la droite $\Delta$ d'équation $y = x - 1$ comme asymptote. 
		\item Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\Delta$. 
		\item Tracer la droite $\Delta$ sur le graphique donné dans l'annexe, à rendre avec la copie.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la fonction dérivée $f'$ de $f$ et montrer que $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
		\item Déduire de la partie A le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$. 
		\item Représenter $\mathcal{T}$ sur le graphique joint en annexe, à rendre avec la copie.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée de la fonction $H$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $H(x) = \left[\ln (x)\right]^2$. 
		\item En déduire une primitive de la fonction $f$.
 	\end{enumerate} 
\item Déduire de ce calcul la valeur exacte de l'intégrale suivante : $\displaystyle\int_{1}^4 f(x)\:\text{d}x$. 
\item Cette intégrale correspond à l'aire calculée en unités d'aire d'une surface. Hachurer cette surface sur le graphique de l'annexe, à rendre avec la copie. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-4.5)(13,11)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt,gridcolor=orange](0,-5)(13,11) 
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(-1,-5)(13,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(1,1) 
\uput[d](13,0){$x$}\uput[l](0,11){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.408}{11.7}{x ln 2 mul x div x add 1 sub}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}