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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI  Génie mécanique, \\génie des matériaux}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2012}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Métropole septembre 2012~\decofourright\\[4pt]Génie mécanique, des matériaux}}
    
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\
%Les deux situations proposées sont indépendantes.\\ 
%Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ 
%Une seule réponse par question est acceptée et aucune justification n'est demandée.\\ 
%Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de point.\\ 
%Indiquer sur la copie la référence de la question et la réponse choisie correspondante.}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Parmi les fonctions dont l'expression est donnée ci-dessous, déterminer celle qui est solution de l'équation différentielle 

%\[4y'' + y = 0.\]

%\medskip
 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
%\textbf{a.}\quad $f(x) = \text{e}^{- \frac{1}{4}x}$&\textbf{c.}\quad $f(x) = \cos \left(\dfrac{x}{2}\right) + \sin \left(\dfrac{x}{2}\right)$\\ 
%\textbf{b.}\quad $f(x) = \text{e}^{4x}$&\textbf{d.}\quad  $f(x) = \cos (2x) + \sin (2x)$
%\end{tabularx}
L'équation caractéristique $4r^2 + 1 = 0$ a pour solutions $\dfrac{1}{2}\text{i}$ et $-\dfrac{1}{2}\text{i}$.
La réponse est donc b.
\item %Soient deux nombres complexes $z_{A}$ et $z_{B}$ tels que $z_{A} = \text{e}^{\frac{5\text{i}\pi}{6}}$ et $z_{B} =  \text{e}^{\frac{- 2\text{i}\pi}{3}}$.
 
%Un argument du nombre complexe $\dfrac{z_{A}}{z_{B}}$ est égal à : 

%\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX} 
%\textbf{a.}\quad $\dfrac{\text{i}\pi}{6}$&\textbf{b.}\quad $\dfrac{\pi}{6}$&\textbf{c.}\quad $\dfrac{- \text{i}\pi}{2}$&\textbf{d.}\quad$- \dfrac{\pi}{2}$
%\end{tabularx} 
$\dfrac{z_{A}}{z_{B}} = \text{e}^{\text{i}\left( \frac{5\pi}{6}  \frac{2\pi}{3}\right)} = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{9\pi}{6}\right)} = \text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{2}} = \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{2}}$. Réponse d.
\item %Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : $f(x) = \ln(x) - x$.
 
%La limite de $f$ en $+ \infty$ vaut : 
$f(x) = x \left(\dfrac{\ln x}{x} - 1 \right)$. Or 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\ln x}{x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\left(\dfrac{\ln x}{x} - 1 \right) = - 1$, donc par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$. Réponse a.
%\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX} 
%\textbf{a.}\quad $ - \infty$&\textbf{b.}\quad $+ \infty$&\textbf{c.}\quad $0$&\textbf{d.}\quad $- 1$
%\end{tabularx} 
 
\item %$u$ est une suite géométrique de raison $- 5$ et de premier terme $u_{0} = 2$.
 
%Laquelle de ces affirmations est exacte ? 

%\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX} 
%\textbf{a.}\quad $u_{3} = - 13$&\textbf{b.}\quad $u_{3} = - 10$ &\textbf{c.}\quad $u_{3} = = 250$&\textbf{d.}\quad $u_{3} = - 250$
%\end{tabularx}
On sait que pour $n \in \N$, \: $u_n = 2 \times (- 5)^n$, donc $u_3 = 2 \times (- 5)^3 = 2 \times (- 125) = - 250$. Réponse d.
\item %La somme des cent premiers entiers strictement positifs vaut: 

%\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX} 
%\textbf{a.}\quad \np{5000}&\textbf{b.}\quad \np{10000}&\textbf{c.}\quad 
%\np{5050}&\textbf{d.}\quad 
%\np{9990}
%\end{tabularx}
On sait que la somme des $n$ premiers naturels est $\dfrac{n(n+1)}{2}$ donc avec $n = 100$, la somme est égale à $\dfrac{100 \times 101}{2} = \np{5050}$. Réponse c.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

%Une société souhaite mettre sur le marché un nouveau jeu à gratter, dont le principe est le suivant.
%
%\medskip
% 
%Chaque ticket est composé de deux cases :
% 
%la première case représente soit un soleil, soit une lune ;
%
%la seconde case représente soit un c{\oe}ur, soit un pique.
% 
%La société compte commercialiser \np{10000}~tickets répondant aux contraintes suivantes :
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] 10\,\% de ces tickets comportent un soleil ; 
%\item[$\bullet~~$] 1\,\% des tickets présentant un soleil comportent un c{\oe}ur ; 
%\item[$\bullet~~$] 0,5\,\% des tickets présentant une lune comportent un c{\oe}ur.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Représenter les différents tickets possibles.
Les tickets comportent soit soleil-cœur, soleil-pique, soit lune-cœur, lune-pique, donc 4 types de tickets.
		\item ~%Justifier que le nombre de tickets comportant un soleil et un pique est égal à $990$.
\begin{center}
\pstree[treemode=R,treenodesep=3pt,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$S$~}\taput{0,1}}
	{\TR{$C$}\taput{0,01}
	\TR{$P$}\tbput{0,99}
	}
\pstree{\TR{$L$~}\tbput{0,9}}
	{\TR{$C$}\taput{0,005}
	\TR{$P$}\tbput{0,995}
	}
}
\end{center}

\medskip

D'après l'arbre de probabilités : $p(S \cap P) = p(S) \times p_S(L) = 0,1 \times 0,99 = 0,099$ ; donc sur \np{10000}~tickets, il y a $\np{10000}\times 0,099 = 990$ tickets soleil-pique. 
	\end{enumerate} 
\item %Compléter le tableau fourni en annexe, à rendre avec la copie.
Voir à la fin.
\item %Un joueur reçoit \np{1000}~euros lorsqu'il obtient un soleil et un c{\oe}ur, $50$~euros lorsqu'il obtient une lune et un cœur, 10~euros lorsqu'il obtient un soleil et un pique, 0~euro sinon.
 
%On admet que chaque ticket a la même probabilité d'être choisi par le joueur.
 
%On appelle $X$ la variable aléatoire qui prend comme valeurs les gains précédents. 
	\begin{enumerate}
		\item ~%Déterminer la loi de probabilité de $X$. 
		On a le tableau suivant :
		
		\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
style&S-C&S-P&L-C&L-P\\ \hline
$p(X = x_i)$&0,001&0,099&\np{0,0045}&\np{0,8955}\\ \hline
$X$&\np{1000}&10&50&0\\ \hline
\end{tabularx}
	
		\end{center}
		\item %Calculer l'espérance mathématique E($X$) de la variable aléatoire $X$.
		 
%Que représente E($X$) pour le joueur ?
E($X) = \np{1000} \times 0,001 + 10 \times 0,099} + 50 \times \np{0,0045} + 0 \times \np{0,8955} = 1 + 0,99 + 0,225 = 2,215$.

Ce nombre sur un grand nombre de parties représente le gain moyen par partie : à peu près 2,22~\euro.
	\end{enumerate} 
\item %La société qui commercialise ce jeu vend chaque ticket 3~euros.
 
%Quel est le bénéfice réalisé par la société pour la vente des \np{10000}~tickets, en admettant qu'ils ont tous été vendus ? 
La société va gagner pour la vente des \np{10000}~tickets :

$\np{10000} \times (3 - 2,215) = \np{7850}$~\euro de bénéfice...
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

%Le dessin ci-dessous schématise la vue latérale d'un pont suspendu entre deux pylônes modélisés par les segments [AB] et [A$'$B$'$]. Les câbles verticaux, comme celui modélisé par le segment [HH$'$], sont régulièrement espacés les uns des autres. La longueur AA$'$ est de 220 mètres. 
%
%\begin{center}
%\psset{xunit=0.05cm,yunit=0.1cm}
%\begin{pspicture}(-120,0)(120,40)
%\psline(-122,0)(122,0)
%\psplot{-110}{110}{2.71828 0.06 x mul exp 1 add 2.71828 0.03 x mul exp div}
%\psline(-110,0)(-110,27.15)\psline(-99,0)(-99,19.54)
%\psline(-88,0)(-88,14.09)\psline(-77,0)(-77,10.17)
%\psline(-66,0)(-66,7.38)\psline(-55,0)(-55,5.4)
%\psline(-44,0)(-44,4.01)\psline(-33,0)(-33,3.06)
%\psline(-22,0)(-22,2.45)\psline(-11,0)(-11,2.11)
%\psline(0,0)(0,2)\psline(11,0)(11,2.1)
%\psline(22,0)(22,2.45)\psline(33,0)(33,3.06)
%\psline(44,0)(44,4.01)\psline(55,0)(55,5.4)
%\psline(66,0)(66,7.38)\psline(77,0)(77,10.17)
%\psline(88,0)(88,14.09)\psline(99,0)(99,19.54)
%\psline(110,0)(110,27.15)
%\uput[d](77,0){H}\uput[u](77,10.17){H$'$}
%\uput[d](110,0){A}\uput[u](110,27.15){B}
%\uput[d](-110,0){A$'$}\uput[u](-110,27.15){B$'$}
%\uput[d](0,0){O}\uput[u](0,2){K}
%\psline[linestyle=dashed](0,-5)(0,40)\uput[l](0,40){$y$}
%\uput[d](125,0){$x$}
%\psline(-121,0)(-110,27.15) \psline(121,0)(110,27.15)
%\uput[d](-121,0){P$'$} \uput[d](121,0){P}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\medskip
%
%Dans le dessin ci-dessus, le point O et les demi-droites [O$x$) et [O$y$) permettent de définir un repère orthonormal \Oij{} dans lequel le point A aura pour coordonnées (110~;~0), l'unité étant le mètre.
% 
%On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle 
%$[-110~;~110]$ d'expression :
% 
%\[f(x) = \dfrac{\text{e}^{0,06x} + 1}{\text{e}^{0,03x}}\]
%
%On admet que l'arc $\wideparen{\text{B}'\text{KB}}$ est la courbe représentative, dans le repère donné, de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-110~;~110]$.
%
%\medskip
 
\textbf{Partie A - Une propriété de la courbe représentative}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[-110~;~110]$ : 

%\[f(x) = \text{e}^{0,03x} + \text{e}^{- 0,03x}.\]
On a $f(x) = \dfrac{\text{e}^{0,06x}}{\text{e}^{0,03x}}  + \dfrac{1}{\text{e}^{0,03x}} = \text{e}^{0,03x} + \text{e}^{-0,03x}$.
\item %On remarque que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[-110~;~110]$, 

%$f(-x) = f(x)$.
 
%Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de la fonction $f$ ?
$f(-x) = f(x)$ signifie que la courbe représentative de $f$ est symétrique autour de l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B - Étude de la fonction} \: \boldmath $f$ \unboldmath 

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $[-110~;~110]$.
 
%Montrer que : $f'(x) = \dfrac{0,03\left(\text{e}^{0,06x} - 1\right)}{\text{e}^{0,03x}}$. 
f(x) = \text{e}^{0,03x} + \text{e}^{- 0,03x}$, donc :

$f'(x) = 0,03\text{e}^{0,03x} - 0,03\text{e}^{- 0,03x} = 0,03\left(\text{e}^{0,03x} - \text{e}^{- 0,03x} \right) = 0,03\left(\dfrac{\text{e}^{0,06x}}{\text{e}^{ 0,03x}} - \text{e}^{- 0,03x} \right) = \dfrac{0,03\left(\text{e}^{0,06x} - 1\right)}{\text{e}^{0,03x}}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Résoudre dans $\R$ l'inéquation : 	$\text{e}^{0,06x} - 1 > 0$. 
$\text{e}^{0,06x} - 1 > 0$ ou $\text{e}^{0,06x}  > 1$ ou en prenant le logarithme népérien par croissance de celui-ci $0,06x > 0$ soit enfin $x > 0$.
		\item %En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[-110~;~110]$, puis dresser le tableau de variations de $f$.
		Comme $0,03 > 0$ et $\text{e}^{0,03x} > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de $f'(x)$ est celui de $\text{e}^{0,06x}$, donc $f'(x) > 0$ pour $x > 0$ et de même $f'(x) < 0$ pour $x < 0$.
		
La fonction est donc décroissante sue $[ 110~;~0]$ et croissante sur $[0~;~110]$.
		
On a $f(-110) = f(110) \approx \np{27,1495} et $f(0) = 1$.
	\end{enumerate} 
\item À l'aide du tableau de variation, donner en mètres : 
	\begin{enumerate}
		\item %la longueur du câble vertical le plus court ; 
Le câble OK mesure 1~m.
		\item %la hauteur du pylône représenté par le segment [AB] dont on donnera une valeur approchée à $0,1$près.
		On a vu que AB $ = f(110) \approx 27,1$~m.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C - Étude de la résistance au vent}

\medskip
 
%On s'intéresse maintenant à la résistance au vent de la structure verticale du pont suspendu.
% 
%Un bureau d'étude affirme que l'aire de la surface exposée à l'action du vent est égale au dixième de l'aire de la surface plane, pleine et fermée, délimitée par les segments [B$'$A$'$], [A$'$A], [AB] et l'arc BKB$'$.
% 
%Cette surface est représentée par la partie grisée sur la figure ci-dessous : 
%
%\begin{center}
%\def\pshlabel#1{\footnotesize $#1$}
%\def\psvlabel#1{\footnotesize $#1$}
%\psset{xunit=0.05cm,yunit=0.1cm}
%\begin{pspicture}(-120,-10)(120,30)
%\psaxes[Dx=10,Dy=10](0,0)(-110,0)(110,29)
%\psline(-110,0)(110,0)
%\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
%\psplot{-110}{110}{2.71828 0.06 x mul exp 1 add 2.71828 0.03 x mul exp div}
%\psline(110,0)(-110,0)}
%\psplot{-110}{110}{2.71828 0.06 x mul exp 1 add 2.71828 0.03 x mul exp div}
%\psline(-110,0)(-110,27.15)\psline(-100,0)(-100,20.14)
%\psline(-90,0)(-90,14.95)\psline(-80,0)(-80,11.1)
%\psline(-70,0)(-70,8.29)\psline(-60,0)(-60,6.21)
%\psline(-50,0)(-50,4.7)\psline(-40,0)(-40,3.6)
%\psline(-30,0)(-30,2.9)\psline(-20,0)(-20,2.4)
%\psline(-10,0)(-10,2.1)
%\psline(0,0)(0,2)\psline(10,0)(10,2.1)
%\psline(20,0)(20,2.4)\psline(30,0)(30,2.9)
%\psline(40,0)(40,3.6)\psline(50,0)(50,4.7)
%\psline(60,0)(60,6.21)\psline(70,0)(70,8.29)
%\psline(80,0)(80,11.1)\psline(90,0)(90,14.95)
%\psline(100,0)(100,20.14)
%\psline(110,0)(110,27.15)
%\uput[d](0,0){O}
%\psline[linestyle=dashed](0,-5)(0,30)\uput[l](0,30){$y$}
%\uput[d](125,0){$x$}
%%\psline(-121,0)(-110,27.15) \psline(121,0)(110,27.15)
%%\uput[d](-121,0){P$'$} \uput[d](121,0){P}
%\end{pspicture}
%\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item %Soit la fonction $F$, définie et dérivable pour tout $x$ de l'intervalle $[-110~;~110]$, d'expression: 
 
%\[F(x) = \dfrac{100}{3}\left(\text{e}^{0,03x} - \text{e}^{-0,03x}\right).\] 
De $F(x) = \dfrac{100}{3}\left(\text{e}^{0,03x} - \text{e}^{-0,03x}\right)$, on déduit que :

$F'(x) = \dfrac{100}{3}\left(0,03\text{e}^{0,03x} - \left(-\text{e}^{-0,03x} \right)  \right) = \text{e}^{0,03x} + \text{e}^{-0,03x} = f(x)$.

Cette égalité montre que $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle $[-110~;~110]$. 
%Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-110~;~110]$. 
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%Déterminer l'aire, exprimée en m$^2$, de la surface exposée à l'action du vent. 
L'aire (en unité d'aire de la surface grisée est :

$\displaystyle\int_{-110}^{110} f(x) \:\text{d}x = [F(x)]_{-110}^{110}  = F(110) - F(- 110) = \dfrac{100}{3}\left(\text{e}^{0,03\times 110} - \text{e}^{-0,03\times 110}\right) - \dfrac{100}{3}\left(\text{e}^{0,03\times (- 110)} - \text{e}^{-0,03\times (- 110)}\right) = \dfrac{100}{3}\left(\text{e}^{3,3} - \text{e}^{-3,3} \right) - \dfrac{100}{3}\left(\text{e}^{-3,3} - \text{e}^{3,3} \right) = \dfrac{200}{3}\left(\text{e}^{3,3} - \text{e}^{-3,3}\right)$.

Donc l'aire, exprimée en m$^2$, de la surface exposée à l'action du vent est égale en prenant le dixième de l'intégrale précédente à :

$\dfrac{20}{3}\left(\text{e}^{3,3} - \text{e}^{-3,3}\right) \approx 180,50$ soit au m$^2$ près 181~m$^2$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe (exercice 2) à rendre avec la copie }

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}Nombre de tickets :\end{flushleft}

\bigskip

\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
				&avec un soleil	& avec une lune	& Total\\ \hline 
avec un c{\oe}ur&10				&\np{8955}		&\np{8965} \\ \hline 
avec un pique	&990			&45				&\np{1035}\\ \hline 
Total			&\np{1000}	&\np{9000}	&\np{10000}\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\end{center}
\end{document}