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%Tapuscrit corrigé : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STLBiotechnologies}  
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{19 juin 2013}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Biotechnologies~\decofourright\\[4pt]19 juin 2013 Antilles-Guyane}}
\end{center}
    
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} 
{\footnotesize
\medskip
 
Suite à un gros orage, la plage municipale de la commune d'Aistéhel subit une pollution momentanée du fait du débordement de la station d'épuration.

\medskip
 
La concentration en bactéries E. coli (Escherichia coli) est retenue comme indicateur de contamination d'origine fécale.

\medskip
 
Rappel (simplifié) des normes de qualité des eaux de baignade :

\medskip 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Qualité de l'eau &bonne &moyenne &mauvaise \\ \hline
Concentration en E. coli en ufc/100~mL(*)&0 \`a 100& 
100 à \np{2000}& supérieure à \np{2000}\\ \hline 
\multicolumn{4}{l}{(*) \emph{ufc : unit\'es formant colonies}}\\
\end{tabularx}

\medskip 
 
Des analyses sont faites toutes les six heures afin de suivre l'évolution de la concentration en E. coli.
 
Les mesures des deux premiers jours sont rassemblées dans le tableau ci-dessous.

\medskip 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.2cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Durée écoulée en heures $\left(t_{i}\right)$&0 &6 &12 &18 &24 &30 &36 &42 &48\\ \hline 
Concentration en E. coli $\left(y_{i}\right)$ (ufc/100~mL)&\np{38000} &\np{26500} 
&\np{21400} &\np{14800} &\np{11100} &\np{8300} &\np{5900} &\np{4500} &\np{3300}\\ \hline 
\end{tabularx}

 \medskip 

 Ces mesures sont représentées graphiquement ci-dessous. 

 \begin{center}
 \psset{xunit=0.2cm,yunit=0.0002cm}
 \begin{pspicture}(-8,-5000)(50,40000)
 \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=6,Dy=5000](0,0)(50,40000)
 \multido{\n=0+5000}{9}{\psline(0,\n)(48,\n)}
 \psdots[dotstyle=square*,dotscale=1.7](0,38000)(6,26500)(12,21400)(18,14800)(24,11100)(30,8300)(36,5900)(42,4500)(48,3300)
 \uput[d](21,-2500){heures}\rput{90}(-8,20000){ufc/100~mL}
 \end{pspicture}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante}

}
\textbf{PARTIE A :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Un ajustement affine ne paraît pas approprié puisque les points ne sont pas alignés ou ne donnent pas une allure de droite. 
\item On propose de réaliser un ajustement exponentiel. 
Pour cela, on pose $z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$ où $y_{i}$ désigne la $i$-ème mesure de la concentration en E. coli. 
	\begin{enumerate}
		\item Complétons le tableau suivant :
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.92cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_{i}$(en heures)&0 &6 &12 &18 &24 &30 &36 &42 &48\\ \hline 
$z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$ &\np{10.545}&\np{10.185}&\np{9.971}&\np{9.602}&\np{9.315}&\np{9.024}&\np{8.683}&\np{8.412}&\np{8.102}\\ \hline
\end{tabularx}
{\scriptsize \emph{les résultats sont arrondis à $10^{-3}$ près}}. 
		\item À l'aide de la calculatrice,  un ajustement affine de $z$ en $t$ selon la méthode des moindres carrés est\[z=-\np{0.051}t+\np{10.532}.\]		 
%On donnera la réponse sous la forme $z = at + b$, en arrondissant les coefficients $a$ et $b$ à $10^{-3}$ près. 
		\item On considère désormais comme ajustement affine de $z$ en $t$ , la droite d'équation $z = - \np{0.05} t + \np{10.53}$.
 
Nous savons que $z=\ln y$ par conséquent $y=\e^{z}$. En remplaçant $z$ par sa valeur, nous obtenons 
\[y(t)=\e^{-\np{0.05}t+\np{10.53}}=\e^{-\np{0.05}t}\e^{\np{10.53}}=\np{37421.47}\e^{-\np{0.05}t}\]
 Un ajustement exponentiel de la concentration en E. coli est $y(t) = \np{37421.47}\e^{-\np{0.05}t}$. %($C$ et $k$ étant deux constantes à déterminer à $10^{-2}$ près). 
		\item Pour cette question, on prendra $y(t) = \np{37400}\text{e}^{- 0,05t}$. 
		\begin{enumerate}
			\item[$\bullet~~$]En supposant que le modèle reste valide au-delà des deux premiers jours, la concentration  attendue trois jours après le début des mesures est $y(72)$.
			\[y(72) = \np{37400}\text{e}^{- 0,05\times 72}\approx \np{1021.91} \ \text{à } \, 10^{-2} \ \text{près}.\] 
			\item[$\bullet~~$] la concentration correspondra à une eau de baignade de bonne qualité lorsque $y(t)\leqslant 100$. Résolvons cette inéquation.
			$z=\ln 100=2\ln 10$ déterminons alors $t$ pour que  $- \np{0.05} t + \np{10.53} \leqslant 2\ln 10$. 

$t\geqslant \dfrac{2\ln 10-\np{10.53}}{-\np{0.05}}$ d'où $t \approx \np{118.49}$.
	
\smallskip
					
{\emph {\footnotesize Autre méthode	: $\np{37400}\text{e}^{- 0,05t}\leqslant 100 \,;\quad \dfrac{374}{\e^{\np{0.05}t}}\leqslant 1\,;\quad \e^{\np{0.05}t}\geqslant 374 \,;\quad \np{0.05}t\geqslant \ln 374\,;\quad t\geqslant \dfrac{\ln374}{\np{0.05}}\,;\\ t\approx\np{118.49}.$	}}	
	
			Au bout de 119 heures après le début des mesures, l'eau de baignade sera de bonne qualité.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B :}

\medskip
 
On appelle $\left(c_{n}\right)$ la concentration en E. coli au temps $n$ (où $n$ est le temps en heures).
 
Un technicien du laboratoire où sont réalisées les analyses propose de modéliser l'évolution de la concentration en E. coli par la suite géométrique $\left(c_{n}\right)$ pour laquelle :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $c_{0} = \np{38000}$ 
\item[$\bullet~~$] la raison est $q = 0,947$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
Selon ce modèle nous avons $u_n=\np{38000}\times (\np{0.947})^n$. 

Au bout de 30 heures l'estimation est de $\np{38000}\times (\np{0.947})^{30}\approx \np{7417.93}$. 

Au bout de 48 heures l'estimation est de $\np{38000}\times (\np{0.947})^{48}\approx \np{2783.44}$.
 
Au bout de 72 heures l'estimation est de $\np{38000}\times (\np{0.947})^{72}\approx \np{753.32}$. 

Ce second modèle semble peu approprié car nous sommes bien éloignés des données relevées.

%\medskip
 %\emph{Pour cette question, le candidat est invité à faire figurer sur sa copie toute trace de recherche, même incomplète ou infructueuse.} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} 

\medskip

\textbf{PARTIE A : Résolution d'une équation différentielle}

\medskip
 
Les fonctions intervenant dans cette partie sont définies sur $\R$.
 
On considère l'équation différentielle $(E) :\quad  y'+ 0,5y = 12.$
 
\begin{enumerate}
\item Déterminons  une fonction constante solution de l'équation différentielle $(E)$. 
Soit $p$ une fonction constante. $ p(t)=k$ donc  $p'(t)=0$

Puisqu'elle est solution de l'équation différentielle $(E)$ nous avons $0+\np{0.5}k=12$ par conséquent $k=24$ et par suite   $p(t)=24$.
 \item Déterminons l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
 
Les solutions de l'équation $(E)$ s'écrivent  comme la somme des solutions de l'équation  différentielle sans second membre  et de la solution particulière  $p$.

Les solutions  de l'équation différentielle $y'+\np{0.5}y=0$ sont les fonctions  définies  par  

$y(t)=C\e^{-\np{0.5}t}$ où $C$ est une constante.

L'ensemble des solutions de  $(E)$ est l'ensemble des fonctions  $y$ définies par 

$y(t)=C\e^{-\np{0.05}t}+24$ où $C$ est une constante.
 
\item Déterminons la fonction $c$ solution de l'équation différentielle $(E)$ telle que $c(0) = 0$. 

Elle vérifie  $c(0)=C\e^{-\np{0.5}\times 0}+24=0$ donc  $C=-24$.

La fonction $c$ solution de l'équation différentielle $(E)$ telle que $c(0) = 0$ est définie par

  $c(t)=-24\e^{-\np{0.5}t}+24$ ou par  $c(t)=24(1-\e^{-\np{0.5}t})$.
\end{enumerate}



\medskip
 
\textbf{PARTIE B : Etude d'une fonction}

\medskip
 
Soit la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $f(t) = 24\left(1 - \text{e}^{-0,5t}\right)$.
 
On appelle $f'$ la dérivée de la fonction $f$.

\begin{enumerate}
\item Calculons $f'(t)$  

$f'(t)=24\left(0-(-\np{0.5}\e^{-\np{0.5}t})\right)=12\e^{-\np{0.5}t}$ ;

 étudions son signe sur $[0~;~+ \infty[$.

 Pour tout $x\in \R, \quad \e^{x}>0$ par conséquent  pour  tout $t\in[0~;~+\infty[,\quad f'(t)>0$.

\item \'Etudions le sens de variation de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est  strictement croissante sur $I$. 

$f'(t)>0$ sur $[0~;~+\infty[$ par conséquent $f$ est strictement croissante  sur cet intervalle.
 
\item Déterminons la limite en $+ \infty$ de $f$ ; 

$\displaystyle \lim_{t\to +\infty}24\left(1 - \text{e}^{-0,5t}\right)=24$ car $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\e^{-x}=0$.

 Sa courbe représentative admet la droite d'équation $y=24$ comme asymptote. 
\item  La courbe représentative de cette fonction est tracée ci-dessous %sur une feuille de papier millimétré à remettre avec la copie.
 
%Unités graphiques : 1~cm en abscisse ; 0,5~cm en ordonnée 
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1.55)(13,25.2)

\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.3pt](0,0)(13,25)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(12.8,25.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red](-0.5,24)(12.5,24)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{11.5}{1 2.71828 x 0.5 mul neg exp sub 24 mul }
\end{pspicture*}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} 

\medskip
{\footnotesize
La courbe $(C)$ tracée à l'annexe 2 est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.
 
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
 
On constate sur la représentation graphique que :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] La tangente $(T)$ à la courbe $(C)$ au point A(0~;~3) passe par le point I(1~;~5).
\item[$\bullet~~$] La droite $(D)$ d'équation $y = 1$ est asymptote horizontale à la courbe $(C)$ au voisinage de $+ \infty$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item En utilisant les données précédentes et le graphique : 
	\begin{enumerate}
		\item  $f(0)=3$  car les coordonnées de A sont  (0~;~3) ; $f'(0)=2$. C'est le coefficient directeur  de la droite  (AI). 
		\item $\displaystyle \lim_{x \to + \infty}f(x)=1$ car la droite $(D)$ d'équation $y = 1$ est asymptote  à la courbe $(C)$ au voisinage de $+ \infty$.
	\end{enumerate} 
\item On note (S) l'aire de la partie du plan située entre la courbe $(C)$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$. 
 L'aire (S)du domaine définie précédemment, en unités d'aire est comprise entre 3 et 4. 
\item On admet que la fonction $f$ est définie, pour tout nombre réel $x$ par :$f(x) = (4x + 2)\text{e}^{- x} + 1.$
 
	\begin{enumerate}
		\item $f'(x)=4\e^{-x}+(4x+2)(-1\e^{-x})+0=e^{-x}\left(4-(4x+2)\right)$ par conséquent nous obtenons bien : pour tout nombre réel $x$:\quad  $f'(x) = (2 - 4x)\text{e}^{- x}$. 
		\item Étudions le signe de $f'$.  Pour tout $x\in \R, \quad \e^{x}>0$ par conséquent le signe  de  $f'(x)$ est celui de  $2-4x$.
		
		Sur $\R,\ 2-4x>0 \iff x<\dfrac{1}{2}$. Il en résulte 
		
		Pour tout $x\in \left]-\infty~;~\dfrac{1}{2}\right[,\ f'(x)>0$ et  pour tout $x\in \left]\dfrac{1}{2}~;~+\infty\right[,\ f'(x)<0$.
		
Déterminons  le sens de variation de $f$.

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est  strictement croissante sur $I$. 

$f'(x) > 0$ sur $\left]-\infty~;~\dfrac{1}{2}\right[$ par conséquent $f$ est strictement croissante  sur cet intervalle.
 
Si pour tout $x\in I,\:f'(x)< 0$ alors $f$ est  strictement décroissante sur $I$. 

$f'(x)<0$ sur $\left]\dfrac{1}{2}~;~+\infty\right[$ par conséquent $f$ est strictement décroissante  sur cet intervalle.
 	\end{enumerate} 

 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$-\infty$} \uput[u](4.5,2.35) {{\small $\frac{1}{2}$}}    \uput[u](7.73,2.45){$+\infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(x)$}\uput[u](2.76,2){$+$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$-$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){de $f$}
 \uput[d](1.37,0.45){$-\infty$}\uput[d](7.62,0.45){$1$}
\psline{->}(1.7,0.55)(4,1.55)\psline{->}(5,1.5)(7.3,0.55)
\uput[u](4.5,1.5){\scriptsize$4\e^{-\np{0.5}}+1$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item Soit $F$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par : $ F(x) = (- 4x - 6)\text{e}^{- x} + x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrons que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$. Pour ce faire, montrons  que  pour tout $x,\  F'(x)=f(x)$. 
		
		$F'(x)=-4\e^{-x}+(-4x-6)(-\e^{-x})+1=\e^{-x}\left(-4+4x+6\right)+1=(4x+2)\e^{-x}+1=f(x)$.

 Par conséquent $F$ est une primitive  de $f$ sur $\R$.
		\item Déterminons la valeur exacte, puis la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ de l'aire (S), en unités d'aire.
 
		Pour  $x\in[0~;~1],\ f(x)>0$. L'aire du domaine plan défini précédemment est en unités d'aire $\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x$.
		
		$\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x=\Bigg[F(x)\Bigg]_0^1=F(1)-F(0)=(- 4 - 6)\text{e}^{- 1} + 1-(- 6) =7-10\e^{-1}\approx\np{3.32}$
		
L'aire (S) vaut approximativement 3,32 unités d'aire.		
		\item Ce résultat est cohérent avec l'encadrement obtenu à la question 2 car il  est bien compris  entre 3 et 4.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} 
{\footnotesize
\medskip

Une agence de voyages propose, dans un de ses circuits très fréquenté, une excursion sous forme d'option supplémentaire.

\medskip
 
\emph{Le responsable de l'agence fait l'hypothèse que la proportion de clients prenant l'option est $0,25$}.

\medskip
 
On choisit au hasard un échantillon de $60$~clients. Tous les clients ont la même chance d'être choisis.
 
On considère que le nombre de clients de l'agence est suffisamment grand pour assimiler le choix de cet échantillon à un tirage successif avec remise de $60$~clients.

\medskip
 
\textbf{Les trois parties A, B, C peuvent être traitées de façon indépendante}

\medskip

\textbf{PARTIE A : loi binomiale}

\medskip
 
On appelle $X$ la variable qui, à tout échantillon de $60$~clients, associe le nombre des clients qui ont pris l'option supplémentaire.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La loi de probabilité de $X$ est une loi binomiale car il s'agit d'une répétition de $n$ séries indépendantes  et identiques caractérisées par  deux issues de probabilité  $p$ et $q$ telles que $p+q=1$. 

Le nombre $n$ de prélèvements est 60 et la probabilité que le client choisisse l'option supplémentaire est \np{0.25}.

 Nous avons donc une loi binomiale de paramètres (60;\ \np{0.25}) par conséquent $p(X = k) = \binom{60}{k}(\np{0.25})^k(\np{0.75})^{60-k}$.
%\item À l'annexe 3, ont été reportées dans un tableau les valeurs approchées des probabilités $P(X = k)$, pour $6 \leqslant k \leqslant 25$ (sauf la valeur pour $k = 10$).
 
Les valeurs des probabilités $P(X = k)$ pour $k \geqslant 26$ et $0 \leqslant k \leqslant 5$ sont inférieures à $10^{-3}$ et elles seront considérées comme nulles.
 
On a également tracé l'histogramme de la variable aléatoire $X$. 
	\begin{enumerate}
		\item L'aire correspondant à la probabilité $P(X \leqslant 21)$ a été hachurée sur l'histogramme de l'annexe 3 à rendre avec la copie . 
		\item %En utilisant le tableau de valeurs de l'annexe 3, ou par toute autre méthode,
Déterminons une valeur approchée de $P(X \leqslant 21)$, %en détaillant la démarche utilisée (arrondir le résultat à $10^{-2}$).
		
		$P(X \leqslant 21)=1-P(X > 21)=1-(\np{0.0144}+\np{0.0079}+\np{0.0041}+\np{0.002})=1-\np{0.0284}=\np{0.9716}$.
		
		$P(X \leqslant 21)\approx \np {0.97}$
		
	{\emph{\footnotesize Nous aurions pu utiliser la calculatrice pour déterminer directement $P(X \leqslant 21) \approx \np{0.9702}$}}	
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B : approximation par une loi normale}

\medskip
 
On suppose que les conditions permettant d'approximer une loi binomiale par une loi normale sont remplies.
 
On appelle $Y$ une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart type $\sigma$ et approximant la loi binomiale $\mathcal{B}(60~;~0,25)$ (de paramètres $n = 60$ et $p = 0,25$).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminons les paramètres $\mu $ et $\sigma$.
% (valeurs arrondies à $10^{-3}$ près). Justifier votre réponse. 
X suit la loi binomiale $\mathcal{B}(60 ; \np{0.25})$. Les conditions d'approximation par la loi normale sont vérifiées et $\mu=np= 60\times \np{0.25}= 15,\ \sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{60\times \np{0.25} \times \np{0.75}} = \sqrt{\np{11.25}}\approx \np{3.35}$.

Y suit la loi normale $\mathcal{N}(15,\np{3.35})$.
\item On considère désormais que $\mu = 15$ et $\sigma = 3,35 $. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons, sans utiliser la calculatrice, $P(15 \leqslant Y \leqslant 18,35)$ (valeur arrondie à $10^{-3}$ près).
		
 Nous savons que si X suit une loi normale  de paramètre  $(\mu~;~\sigma)$  alors $P(\mu-\sigma\leqslant X\leqslant \mu+\sigma)=\np{0.6826}$. 

Or $P(15 \leqslant Y \leqslant 18,35)=P(\mu \leqslant Y \leqslant \mu+\sigma)$ par conséquent, par symétrie par rapport à l'axe $Y=15$,

\mbox{	$P(15 \leqslant Y \leqslant 18,35)=\dfrac{1}{2}\times \np{0.6826}=\np{0.3913}$}.
		\item  Montrons que $P(15 \leqslant Y \leqslant 25,05)$ a pour valeur approchée \np{0,4985}. 
		
		 Nous savons que si X suit une loi normale  de paramètre  $(\mu~;~\sigma)$  alors $P(\mu-3\sigma\leqslant X\leqslant \mu+3\sigma)=\np{0.997}$. 
		 
Or $P(15 \leqslant Y \leqslant \np{25.05})=P(\mu \leqslant Y \leqslant \mu+3\sigma$ par conséquent,	$P(15 \leqslant Y \leqslant \np{25.05})=\dfrac{1}{2}\times \np{0.997}=\np{0.4985}$.
		\item Sachant que $P(21 \leqslant Y \leqslant 25,05)$ a pour valeur approchée \np{0,03529},  

$P(Y \leqslant 21)=1-P(21 \leqslant Y \leqslant 25,05)=1-\np{0.3529}=\np{0.9647}$. 
		\item Le résultat précédent est cohérent avec le résultat de la question A 2.b) car ils sont égaux à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE C : prise de décision}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique à $95$\,\% de la fréquence des clients ayant pris l'option dans un échantillon de $60$~clients. On note $J$ cet intervalle. 

Si $n \geqslant 30$, $np \geqslant 5$, $n(1-p) \geqslant 5$ nous  pouvons approximer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  \np{0.95}  par l'intervalle :

\[\left[ p-\np{1.96}\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}~;~p+\np{1.96}\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right]\]
 
Nous avons  $n=60,\quad np=60\times \np{0.25}=15,\quad 60\times (1-\np{0.25})=\np{11.25}$. Les conditions étant remplies, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 
 \np{0.95}  est \[\left[\np{0.25}-\np{1.96}\sqrt{\dfrac{\np{0.25}\times \np{0.75}}{60}}~;~\np{0.25}+\np{1.96}\sqrt{\dfrac{\np{0.25}\times \np{0.75}}{60}}\right] \approx [\np{0.14}~;~\np{0.36}].\]
Les bornes de l'intervalle sont arrondies à $10^{-2}$ près. 

\item Pour vérifier l'hypothèse que la proportion de clients prenant l'option est $0,25$, au niveau de confiance $95$\,\%, l'adjoint du responsable de l'agence choisit au hasard un échantillon de $60$~clients. Il observe alors qu'un tiers des clients a pris cette option.
 
En utilisant l'intervalle $J$ précédent, l'adjoint du responsable de l'agence décide de rejeter l'hypothèse, au niveau de confiance $95$\,\%. %Êtes-vous d'accord ? Justifier votre réponse. 

La proportion de clients prenant l'option dans l'échantillon appartient  à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\%, donc  il ne doit pas rejeter l'hypothèse.

\end{enumerate} 

% \newpage
% 
% \textbf{ANNEXE 1 : À RECOPIER SUR VOTRE FEULLE ET À COMPLÉTER\\ (EXERCICE 1) \\Cette annexe n'est pas à rendre}

% \vspace{1cm} 


%  
\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 2 \\(EXERCICE 3)\\ 
Cette annexe n'est pas à rendre}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-3.5,-3.2)(7.5,6.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,griddots=10]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3.5,-3.2)(7.5,6.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psdots(0,3)(1,5)
\psplot{-3.2}{1.8}{2 x mul 3 add}
\uput[dr](1.2,5.55){$(T)$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](-2.5,1){$(D)$}\uput[u](5.5,1.1){\blue $(C)$}
\psline(-3.5,1)(7.5,1)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{7.5}{x 4 mul 2 add 2.71828 x exp div 1 add}
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=cyan,linewidth=0.5pt,linecolor=cyan]{\psline(0,0)(0,3)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x 4 mul 2 add 2.71828 x exp div 1 add}
\psline(1,3.20728)(1,0)
}
\uput[u](0.5,1.5){{\Large\color{red}$\mathcal{S}$}}
\end{pspicture*} 
\end{center} 
 
\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 3 À RENDRE AVEC LA COPIE\\
(EXERCICE 4)}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Histogramme de la loi binomiale \boldmath $\mathcal{B}(60~;~0,25)$ \unboldmath (
de param\`etres \boldmath $n = 60$ et $p =0,25$ \unboldmath)}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.4cm,yunit=90cm}
\begin{pspicture}(-2,-0.005)(32,0,13)

\multido{\n=0+1}{32}{\psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dotted](\n,0)(\n,0.12)}
\multido{\n=0.005+0.005}{24}{\psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dotted](0,\n)(31,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.02,comma=true]{->}(0,0)(32,0,12)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.02,comma=true](0,0)(32,0,12)
\psframe[fillstyle=vlines](3.5,0)(4.5,0.000192)
\psframe[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue](4.5,0)(5.5,0.000717)
\psframe[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue](5.5,0)(6.5,0.00219)
\psframe[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue](6.5,0)(7.5,0.005632)
\psframe[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue](7.5,0)(8.5,0.012437)
\psframe[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue](8.5,0)(9.5,0.023953)
\psframe[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue](9.5,0)(10.5,0.040719)
\psframe[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue](10.5,0)(11.5,0.061696)
\psframe[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue](11.5,0)(12.5,0.083975)
\psframe[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue](12.5,0)(13.5,0.103354)
\psframe[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue](13.5,0)(14.5,0.115658)
\psframe[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue](14.5,0)(15.5,0.118228)
\psframe[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue](15.5,0)(16.5,0.110838)
\psframe[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue](16.5,0)(17.5,0.0895626)
\psframe[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue](17.5,0)(18.5,0.076146)
\psframe[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue](18.5,0)(19.5,0.056108)
\psframe[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue](19.5,0)(20.5,0.03834)
\psframe[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue](20.5,0)(21,0.024343)
\psframe(20.5,0)(21.5,0.024343)
\psframe(21.5,0)(22.5,0.014385)
\psframe(22.5,0)(23.5,0.007922)
\psframe(23.5,0)(24.5,0.004071)
\psframe(24.5,0)(25.5,0.001954)
\uput[u](32.5,0){$k$}\uput[r](0,0.122){$P(X = k)$}
\pscurve(4,0)(5,0.000717)(6,0.00219)(7,0.005632)(8,0.012437)(9,0.023953)(10,0.040719)(11,0.061696)(12,0.083975)(13,0.103354)(14,0.115658)(15,0.118228)(16,0.110838)(17,0.0895626)(18,0.076146)(19,0.056108)(20,0.03834)(21,0.024343)(22,0.014385)(23,0.007922)(24,0.004071)(25,0.001954)(26,0)
\end{pspicture}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Table des valeurs de la loi binomiale \boldmath $\mathcal{B}(60~;~0,25)$ \unboldmath pour \boldmath $6 \leqslant k \leqslant 25$\unboldmath}

\textbf{(sauf la valeur pour \boldmath $k = 10$ \unboldmath})

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$k$&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\ \hline
$P(X = k)$&\np{0,0022}&\np{0,0056}&\np{0,0124}&\np{0,0240}&\ldots&\np{0,0617}&\np{0,0840}&\np{0,1034}&\np{0,1157}&\np{0,1182}\\ \hline \hline
$k$&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline
$P(X = k)$&\np{0,1108}&\np{0,0956}&\np{0,0761}&\np{0,0561}&\np{0,0383}&\np{0,0243}&\np{0,0144}&\np{0,0079}&\np{0,0041}&\np{0,0020}\\ \hline
\end{tabularx}


\end{center} 
 \end{document}