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%tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{17 juin 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Métropole 17 juin 2011~\decofourright\\[4pt] Chimie de laboratoire et de procédés industriels}}
    
%\vspace{0,4cm}
%
%Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip


%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra pour unité graphique 2~cm.

%\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip

%Pour  tout nombre complexe $z$, on note $P(z)$ le nombre complexe défini par : 

%\[P(z) = z^3 - 8z^2 + 24z - 24.\]

\begin{enumerate}
\item %Calculer 

$P(2) = 2^3 - 8 \times 2^2 + 24 \times 2 - 24 = 8 + 48 - 32 - 24 = 0$. 
\item %Déterminer des nombres réels $a$ et $b$ tels que pour tout nombre complexe $z$, on ait 

%\[P(z) = (z - 2)\left(z^2 +az + b\right).\]

$(z - 2)\left(z^2 +az + b\right) = z^3 - a^2 + bz - 2z^2 + 2az - 2b$ . En identifiant les termes de même degré, on obtient le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
a + 2&=&8\\
2a + b&=&24\\
 - 2b&=&- 24
 \end{array}\right.\Rightarrow  \left\{\begin{array}{l c l}
a &=&6\\
b&=&12
\end{array}\right.$.

On a donc $P(z) = z^3 - 8z^2 + 24z - 24 = (z - 2)\left(z^2 + 6z + 12\right)$.
\item  %Résoudre dans  l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation 

%\[z^2  -6z + 12 = 0.\]

On a  : $\Delta = 6^2 - 4 \times 12 = - 12 = \left(2\text{i}\sqrt{3} \right)^2$. Il y a donc deux racines complexes conjuguées :

\[\dfrac{6 - 2\text{i}\sqrt{3}}{2} = 3 - \text{i}\sqrt{3}\quad \text{et} \quad  3 + \text{i}\sqrt{3} \]
\item  %En déduire les solutions dans $\C$ de l'équation : 
%\[P(z) = 0.\]
$P(z) = 0 \iff z^2  -6z + 12 = 0 \iff  (z - 2)\left(z^2 + 6z + 12\right) = 0 \iff  \left\{\begin{array}{l c l}
z - 2&=&0\\
z^2 + 6z + 12&=&0\\
\end{array}\right.$

Donc d'après la question précédente les solutions sont donc 

\[\left\{2\quad ; \quad 3 - \text{i}\sqrt{3} \quad ; \quad 3 + \text{i}\sqrt{3}   \right\}\] 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

%On note A, B,  C les points du plan complexe d'affixes respectives 
%
%\[z_{\text{A}} = 2\quad  ; \quad z_{\text{B}} = 3 + \text{i}\sqrt{3}\quad  \text{et} \quad  z_{\text{C}} =  3 - \text{i}\sqrt{3} 

\begin{enumerate}
\item ~%Placer ces trois points dans le repère \Ouv.~

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-2.5)(6.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-2.5)(6.5,2.5)
\psdots(2,0)(3,1.732)(3,-1.732)
\uput[dl](0,0){O} \uput[u](3,1.732){B} \uput[d](3,-1.732){C} \uput[ur](2,0){A} 
\pscircle(2,0){2}
\pspolygon(0,0)(3,1.732)(3,-1.732)
\end{pspicture}
\end{center} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le module et un argument de $z_{\text{B}}$.
$\left|z_{\text{B}}\right|^2 = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12 \Rightarrow \left|z_{\text{B}}\right| = 2\sqrt{3}$.

Avec arg$z_{\text{B}} = \alpha$, on a $\cos \alpha = \dfrac{3}{2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin \alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \dfrac{1}{2}$, d'o\`u $\alpha = \dfrac{\pi}{6}$.

Un argument de $z_{\text{B}}$ est donc $\dfrac{\pi}{6}$.
		\item %En déduite le module et un argument de $z_{\text{C}}$.
On a $z_{\text{C}} = \overline{z_{\text{B}}}$, on en déduit que :

$\left|z_{\text{C}}\right| = 2\sqrt{3}$ et un argument de $z_{\text{C}}$ est $- \dfrac{\pi}{6}$.
	\end{enumerate} 
\item %Démontrer que le triangle OBC est équilatéral. 
On vient de démontrer que OB = OC $ = 2\sqrt{3}$, donc le triangle OBC est isocèle en O.

D'autre part $\left(\vect{\text{OC}},~\vect{\text{OB}}  \right) = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{3}$. L'angle au sommet mesurant  $\dfrac{\pi}{3}$, il en de même pour les deux autres. Conclusion le triangle OBC est équilatéral.
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%Les points A, B, C appartiennent à un même cercle. Donner son centre et son rayon.
\emph{Méthode $1$} : On a OA = 2.

D'autre part AB$^2 = \left|z_{\text{B}} - z_{\text{A}} \right|^2 =  \left|1 + \text{i}\sqrt{3} \right|^2 = 1 + 3 = 4 \Rightarrow \text{AB} = 2$.

De même  AC$^2 = \left|z_{\text{B}} - z_{\text{A}} \right|^2 =  \left|1 - \text{i}\sqrt{3} \right|^2 = 1 + 3 = 4 \Rightarrow \text{AC} = 2$.

Conclusion AO = AB = AC = 2 : ceci montre que les points O, B et C appartiennent au cercle de centre A et de rayon 2.

\emph{Méthode $2$} : dans le triangle équilatéral OBC, la droite (OA) est médiatrice, hauteur et médiane : elle contient donc le centre de gravité du triangle situé à une distance égale aux 2/3 de cette médiane à partir du sommet O, médiane dont la mesure est 3 : le centre de gravité est donc le point A qui est aussi l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit au triangle OBC le rayon étant égal à $\dfrac{2}{3} \times 3 = 2$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

%Une entreprise produit et commercialise des articles destinés à l'industrie chimique.
%
%Ces articles sont susceptibles de présenter au plus trois défauts.
% 
%On note $X$ la variable aléatoire qui à tout article prélevé au hasard dans l'ensemble des articles produits, associe le nombre de défauts. 
%
%\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%La loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau suivant :



\begin{enumerate}
\item ~%Compléter ce tableau en déterminant la valeur de $P(X = 1)$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$k$			& 0 	&1 		&2 		&3\\ \hline% 
$P(X = k)$	& 0,917 & 0,062		&0,016	&0,005\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer l'espérance mathématique de $X$.
E$(X) = 0 \times 0,917 + 1 \times 0,062 + 2 \times 0,016 + 3 \times 0,005 = 0,109$.
		\item %Calcule l'écart type de $X$.
Calcul de la variance $V(X) = \displaystyle\sum_{k = 0}^3 k^2 \times P(X = k) - \text{E}(X)^2 = $

$0^2 \times 0,917 + 1^2 \times 0,062 + 2^2 \times 0,016 + 3^2 \times 0,005 - 0,109^2 = \np{0,159119}$, d'o\`u

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\np{0,159119}} \approx 0,399$ à 10$^{-3}$ près.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip 

%Le prix de vente d'un article est fixé à 350~\euro, son prix de fabrication est de 100~\euro.
% 
%Si l'article est défectueux, l'entreprise le répare avant sa mise sur le marché. Pour chaque défaut, le coût de réparation s'élève à 40~\euro.
%
%Le bénéfice réalisé par l'entreprise sur la vente  d'un article est alors égal au prix de vente de l'article diminué du prix de fabrication et de montant d'éventuelles réparations.
%
%\medskip
% 
%On note $Y$ la variable aléatoire qui à tout  article prélevé au hasard dans l'ensemble des articles produits, associe le bénéfice (en \euro) 
%réalisé par l'entreprise lors de la vente de cet article. 

\begin{enumerate}
\item %Indiquer les quatre valeurs prises par la variable aléatoire $Y$.
On a $y_{k} = 350 - 100 - 40k$ ce qui permet de trouver les quatre valeurs prises par la variable aléatoire $Y$  : 250,\quad 210,\quad 170, \quad 130.   
\item %Dresser le tableau donnant la loi de  probabilité de $Y$.

D'o\`u le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$y_{k}$						& 250 	&210 		&170 		&130\\ \hline% 
$P\left(Y = y_{k}\right)$	& 0,917 & 0,016		&0,060	&0,005\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center} 
\item %Déterminer l'espérance mathématique de $Y$.
On a E$(Y) = 250 \times 0,917 + 210\times 0,062  + 170 \times 0,016 + 130 \times 0,005 = 245,64$. 
\item %Donner une estimation du bénéfice que l'entreprise peut espérer faire sur la vente de \np{10000}~articles.
Une estimation du bénéfice que l'entreprise peut espérer faire sur la vente d'un article étant de 265,64~\euro, on peut espérer pour une vente de \np{10000} articles un bénéfice de \np{2456400}~\euro. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip
 
%On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\R$ par :
%
%\[f(x) = 1 + x  - \text{e}^{2x}.\]

\textbf{Partie A}

\medskip

%
%\parbox{0.45\linewidth}{Le graphique ci-contre est la courbe représentative de cette fonction telle que l'affiche une calculatrice. 
%
%\begin{enumerate}
%\item Au vu de ce graphique, dresser un tableau de variations possible de $f$ sur $\R$. 
%\item Conjecturer le signe de $f$ sur $\R$.
%\end{enumerate}}\hfill
%\parbox{0.52\linewidth}{\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.15cm}\begin{pspicture}(-11,-10)(11,10)
%\psframe(-11,-10)(11,10)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,labels=none](0,0)(-11,-10)(11,10)
%\psplot[plotpoints=50,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-11}{1.248}{1 x add 2.71828 x 2 mul exp sub}
%\end{pspicture}}
\begin{enumerate}
\item ~%Au vu de ce graphique, dresser un tableau de variations possible de $f$ sur $\R$.
Un tableau de variations possible de $f$ sur $\R$.

\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(7,2.5)
\psframe(7,2.5) \psline(0,2)(7,2) \psline(1,0)(1,2.5)
\uput[u](0.5,2){$x$} \uput[u](1.5,2){$- \infty$} \uput[u](4,2){$0$} \uput[u](6.5,2){$+ \infty$}
\rput(0.5,1){$f(x)$} \uput[u](1.5,0){$- \infty$}\uput[d](4,2){$0$}\uput[u](6.5,0){$- \infty$}
\psline{->}(1.9,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.2,0.5)
\end{pspicture}
\end{center} 
\item %Conjecturer le signe de $f$ sur $\R$.
Ce tableau semble suggérer que $f$ est négative sur $\R$.
\end{enumerate}
\bigskip
 
\textbf{Partie B} 

\medskip

%\emph{Les variations et le signe de $f$ sur $\R$ sont-ils réellement ce qu'ils semblent être ? C'est à cette question que se propose de répondre la partie B.}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %On admet que $f$ est dérivable sur $\R$ et on désigne par $f'$ la fonction dérivée  
%de $f$. Déterminer l'expression de $f'(x)$.
$f(x) = 1 + x  - \text{e}^{2x}$ entra\^{\i}ne $f'(x) = 1 - 2\text{e}^{2x}$ 
\item %Résoudre dans $\R$ l'inéquation : $1 - 2\text{e}^{2x} \geqslant  0$.
$1 - 2\text{e}^{2x} \geqslant  0 \iff 1 \geqslant 2\text{e}^{2x} \iff \dfrac{1}{2} \geqslant \text{e}^{2x}$ et par croissance de la fonction logarithme népérien les deux membres étant positifs 
$\ln \dfrac{1}{2} \geqslant 2x \iff x \leqslant \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{1}{2} \iff  x \leqslant - \dfrac{\ln 2}{2}$.

On en déduit que $f'(x) \geqslant 0 \iff x \leqslant - \dfrac{\ln 2}{2}$, donc la fonction $f$ est croissante sur $\left]- \infty~;~- \dfrac{\ln 2}{2}\right[$.


Un calcul analogue montre que $f$ est décroissante sur $\left]\dfrac{\ln 2}{2}~;~+ \infty\right[$.
%En déduire le signe de $f'$ sur $\R$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
		On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}1 + x = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{2x} = 0$, d'o\`u par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$
		\item %Vérifier que pour tout réel $x,\, f(x) = 1 + \text{e}^{x}\left(\dfrac{x}{\text{e}^{x}} - \text{e}^{x}\right)$. En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$.
$1 + \text{e}^{x}\left(\dfrac{x}{\text{e}^{x}} - \text{e}^{x}\right) = 1 + x - \text{e}^{x} \times \text{e}^{x} = 1  + x - \text{e}^{2x} = f(x)$.

Or on sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^{x}}{x} = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x}{\text{e}^{x}} = 0$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{x} = + \infty,{}\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{x}{\text{e}^{x}} - \text{e}^{x} = - \infty$ et par produit de limites 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{x}\left(\dfrac{x}{\text{e}^{x}} - \text{e}^{x}\right) = - \infty$ et finalement par somme de limites 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Dresser alors le tableau des variations de $f$ sur $\R$. Déterminer  la valeur exacte de son extremum. 
On en déduit le tableau de variations suivant :
		
\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(7,2.75)
\psframe(7,2.75) \psline(0,2)(7,2) \psline(1,0)(1,2.75)
\uput[u](0.5,2){$x$} \uput[u](1.5,2){$- \infty$} \uput[u](4,1.9){$-\frac{\ln 2}{2}$} \uput[u](6.5,2){$+ \infty$}
\rput(0.5,1){$f(x)$} \uput[u](1.5,0){$- \infty$}\uput[d](4,2){$\frac{1 - \ln 2}{2}$}\uput[u](6.5,0){$- \infty$}
\psline{->}(1.7,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.2,0.5)
\end{pspicture}
\end{center} 		
		\item %Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet dans l'intervalle $[-0,8~;~0,7]$  une unique solution $\alpha$.
La fonction $f$ est croissante, continue sur l'intervalle $\left]- \infty~;~- \frac{\ln 2}{2}\right[$. Or $\dfrac{1 - \ln 2}{2} \approx 0,15$, donc  $\dfrac{1 - \ln 2}{2} > - 0,7$, donc la fonction $f$ est continue croissante sur l'intervalle $]-0,8~;~-0,7[$.

Comme $f(-0,8) \approx -\np{0,0019} < 0$ et $f(-0,7) \approx 0,534 > 0$ le théorème des valeurs intermédiaires montre qu'il existe une valeur unique $\alpha \in ]-0,8~;~-0,7[$ telle que $f(\alpha) = 0$.
		\item %Préciser la valeur exacte de $f(0)$ et une valeur approchée à $10^{-1}$ près de $f\left(- \dfrac{\ln 2}{2}\right)$.
On a $f(0) = 1 + 0 - \text{e}^{2\times 0} = 1 - 1 = 0$.

$f\left(- \frac{\ln 2}{2} \right) = 1 - \frac{\ln 2}{2} - \text{e}^{- \ln 2} = 1 - \frac{\ln 2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{\ln 2}{2} = \frac{1 - \ln 2}{2} \approx 0,154 \approx 0,2$ à $10^{-1}$ près.
  
		\item %Déduire des questions précédentes le signe de $f(x)$.
Finalement le tableau de variations est le suivant :

\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(9,2.75)
\psframe(9,2.75) \psline(0,2)(9,2) \psline(1,0)(1,2.75)
\uput[u](0.5,2){$x$} \uput[u](1.5,2){$- \infty$} \uput[u](3,2){$\alpha$}\uput[u](5,1.9){$-\frac{\ln 2}{2}$} \uput[u](7,2){0}\uput[u](8.5,2){$+ \infty$}
\rput(0.5,1){$f(x)$} \uput[u](1.5,0){$- \infty$}\rput(3,1){0}\uput[d](5,2){$\frac{1 - \ln 2}{2}$}\rput(7,1){$0$}\uput[u](8.5,0){$- \infty$}
\psline{->}(1.6,0.5)(4.5,1.5)\psline{->}(5.5,1.5)(8.2,0.5)
\end{pspicture}
\end{center} 

On a donc $f(x) > 0$ sur $]\alpha~;~0[$ et $f(x) < 0$ sur $]- \infty~;~\alpha[{}\cup ]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item %Que peut-on dire de la conjecture envisagée à la fin de la partie A ?
La conjecture énoncée à la partie A est fausse, car l'écran de la calculatrice ne permet pas de voir que la fonction est positive sur l'intervalle $[\alpha~;~0[$. 
\item %Le plan est rapporté au repère orthonormal \Oij. On prendra pour unité graphique 4~cm. On note $C$ la courbe représentative de $f$ dans ce repère.
 
%Construire la portion de $C$ correspondant à des abscisses $x$ comprises entre $-1,5$ et $0,5$.
Voir le graphique à la fin. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

%On note $P$ la partie du plan limitée par les droites d'équation $x = -\dfrac{1}{2}$ et $x = 0$ d'une part, l'axe des abscisses  et la courbe $C$ d'autre part.
 
\begin{enumerate}
\item %Hachurer $P$ sur le graphique réalisé à la question B. 6. 
Voir ci-dessous.
\item %Démontrer que la fonction $F$ définie par $F(x) =  x + \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x}$ est une  primitive de $f$ sur $\R$. 
Sur $\R$, on a $F'(x) = 1 + 2 \times \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2} \times 2 \times \text{e}^{2x} = 1 + x - \text{e}^{2x} = f(x)$.

$F$ est donc une primitive de $f$ sur $\R$.
\item %Démontrer que l'aire de $P$ est égale à $\dfrac{4 - \text{e}}{8\text{e}}$ unités d'aire.
Sur l'intervalle $[-0,5~;~0]$ la fonction $f$ est positive, donc l'aire de la surface hachurée est égale en unité d'aire à l'intégrale :

$\displaystyle\int_{-0,5}^0 f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_{-0,5}^0 = F(0) - F(-0,5) =$

$0 + \dfrac{1}{2}0^2 - \dfrac{1}{2}\text{e}^{2 \times 0} - \left(-\frac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{2}\text{e}^{2\times \left(- \frac{1}{2}\right)} \right)  = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{2}\text{e}^{-1} = \dfrac{1}{2\text{e}} - \dfrac{1}{8} = \dfrac{4 - \text{e}}{8\text{e}}$ (unité d'aire).

\emph{Rem.} On a $\dfrac{4 - \text{e}}{8\text{e}} \approx 0,059$ ce qui correspond à à peu près un carreau sur la figure.
\end{enumerate} 

\medskip
\psset{unit=4cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(1,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-1.5,-1.5)(1,1)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5,comma=true](0,0)(-1.5,-1.5)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](1,0){$x$}\uput[r](0,1){$y$}\uput[dr](0,0){O}\uput[d](-0.75,0){$\alpha$}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.5}{0.5}{1 x add 2.71828 x 2 mul exp sub}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.5}{0}{1 x add 2.71828 x 2 mul exp sub}
\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(-0.5,0)(-0.5,0.132)
}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}