\documentclass[10pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage{xspace}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,amstext,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage[euler]{textgreek}
\usepackage{textcomp,enumitem,mathcomp}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{lscape}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{graphicx}
%Tapuscrit Jean-Claude Souque
%Corrigé François Hache
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pst-tree,pst-plot,pst-text,pst-eucl,pst-bar,pst-func,pst-math,pstricks-add}
%\usepackage[squaren, Gray, cdot]{SIunits}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3cm, right=3cm, top=1.9cm, bottom=2.7cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\makeatletter
\def\hlinewd#1{%
\noalign{\ifnum0=`}\fi\hrule \@height #1 %
\futurelet\reserved@a\@xhline}
\makeatother

\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat STL biotechnologies},
pdftitle = {Antilles-Guyane - 18 juin 2019 },
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}

\usepackage[np]{numprint}
%\renewcommand\arraystretch{1.4}
\newcommand{\e}{\,\text{e\,}}%%%               le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d}%%%              le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}%%%           le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}%\frenchbsetup{StandardLists=true}
\usepackage[frenchb]{babel}
\DecimalMathComma

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL spécialité Biotechnologies}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{18 juin 2019}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL spécialité biotechnologies  ~\decofourright\\[5pt]
Antilles-Guyane - 18 juin 2019}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

%\emph{La feuille Annexe, page \pageref{annexe}, est à numéroter et à rendre avec la copie même non complétée.}
%
%\emph{Une feuille de papier millimétré, fournie avec le sujet, est à rendre avec la copie même
%non complétée.}
%
%\emph{Les exercices du sujet sont indépendants et peuvent être traités séparément dans l'ordre choisi
%par le candidat.}
%
%\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill (5 points)}  

\vspace{0.35cm}

Une entreprise fabrique des dés cubiques non pipés pour des jeux de société.

\begin{enumerate}
\item La masse $X$ d’un dé, en grammes, suit la loi normale d'espérance $\mu=8$ et
d'écart type $\sigma=0,05$. On prélève un dé au hasard dans la production.
\begin{enumerate}
\item La probabilité que ce dé ait une masse comprise entre 7,9 grammes et 8,1 grammes est
$P(7,9 \leqslant X \leqslant 8,1) = P(\mu - 2\sigma \leqslant X \leqslant \mu + 2\sigma) \approx 0,95$ d'après le cours. 

%On arrondira à $10^{-2}$ près.
\item La probabilité que ce dé ait une masse supérieure à 7,95 grammes est
$P(X\geqslant 7,95) \approx 0,84$.
%On arrondira à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

Maintenant, on colle une étiquette rouge sur l'une des faces d'un dé prélevé et des
étiquettes blanches sur les cinq autres.
\begin{enumerate}[resume]
\item On lance 10 fois ce dé et on note $Y$ le nombre de faces rouges obtenues.

Pour un lancer, la face rouge a une probabilité de $p=\dfrac{1}{6}$ d'arriver.
\begin{enumerate}
\item % Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $Y$ ? Vous justifierez ce choix tout en précisant ses paramètres.
Chaque épreuve n'a que deux issues: la face est rouge, avec une probabilité de $p=\dfrac{1}{6}$, ou la face n'est pas rouge avec une probabilité de $1-p=\dfrac{5}{6}$.

On répète cette épreuve 10 fois donc la variable aléatoire $Y$ qui donne le nombre de faces rouges obtenues suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\dfrac{1}{6}$. 


\item La probabilité d'obtenir exactement trois faces rouges est:

$P(Y=3) = \ds\binom{10}{3} \left (\dfrac{1}{6}\right )^{3} \left ( 1-\dfrac{1}{6}\right )^{10-3}
\approx 0,155$ 

%On arrondira à $10^{-3}$ près.
\item La probabilité d'obtenir au moins une face rouge s'obtient en calculant la probabilité de l'évènement contraire: obtenir 0 face rouge.

La probabilité cherchée est donc
$1-P(Y=0) = 1- \ds\binom{10}{0} \left (\dfrac{1}{6}\right )^{0} \left ( 1-\dfrac{1}{6}\right )^{10}
= 1-\left (\dfrac{5}{6}\right )^{10} \approx 0,838$.

% On arrondira à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}
\item Une personne lance 120 fois ce dé et obtient 29 fois la face rouge. Elle affirme que ce dé est pipé. %Son affirmation est-elle justifiée au seuil de 5\,\% ?

On teste donc cette hypothèse sur un échantillon de taille $n=120$, sachant que la probabilité d'obtention de la face rouge est $p=\dfrac{1}{6}$.

$n=120 \geqslant 30$, $np=20\geqslant 5$ et $n(1-p) = 100$, donc on peut utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $5\,\%$.

$I
=\left [ p-1,96 \ds\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}~; \, p+1,96 \ds\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right ]
=\left [ \dfrac{1}{6}-1,96 \ds\sqrt{\dfrac{\frac{1}{6}\times \frac{5}{6}}{120}}~; \,  \dfrac{1}{6}+1,96 \ds\sqrt{\dfrac{\frac{1}{6}\times \frac{5}{6}}{120}}\right ]\\
\phantom
\approx \left [ \np{0,0999}~; \, \np{0,2333} \strut\right ]$


La fréquence dans l'échantillon est $f=\dfrac{29}{120}\approx 0,242$; cette valeur n'appartient pas à l'intervalle $I$ donc on peut soupçonner que le dé est pipé.
 

\end{enumerate}


\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip


Lors d’une expérience de chimie, on mesure le pH de différentes solutions obtenues en
mélangeant une solution d'acide acétique et une solution d'acétate de sodium.
On note $V_A$ et $V_S$ les volumes respectifs, en mL, de solution d’acide acétique et de solution
d’acétate de sodium mélangés pour préparer chaque solution.

Le tableau suivant donne le pH de chaque solution obtenue en fonction du rapport des
volumes $\dfrac{V_A}{V_S}$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.15cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Numéro de la solution	& \No 1			& \No 2	& \No 3	& \No4	& \No 5 &\No 6\\\hline
Rapport des volumes $k_i=\frac{V_A}{V_S}\rule[-8pt]{0pt}{21pt}$&0,1& 0,25	& 1		& 2		& 5		& 10\\\hline
pH du mélange $y_i$ 	&3,7			& 4,1	& 4,7 	&5		& 5,4	& 5,7\\\hline
\end{tabularx}
\begin{enumerate}
 \item Un ajustement affine n'étant pas judicieux, on pose $x_i=\ln (k_i)$.
 \medskip
 
 \begin{tabular}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}m{1.3cm}|}}
 \hline
$x_i=\ln (k_i)$	&$- 2,30$&		&		&	&	&\cellcolor{lightgray}\\\hline
$y_i$			&3,7	& 4,1	& 4,7	& 5 &5,4& 5,7\\\hline
\end{tabular}

\begin{enumerate}
\item% Expliquer, à l'aide d'au moins une propriété de la fonction $\ln$, comment obtenir sans calculatrice la valeur de la case grisée.
Dans la case grisée, il faut mettre $\ln(10)$ et on sait que $\ln(0,1)=-2,30$.

La propriété de la fonction ln que l'on va utiliser est:\\
pour $a$ et $b$ strictement positifs, $\ln\left (\dfrac{a}{b}\right ) = \ln(a)-\ln(b)$.

$\ln(0,1)=-2,30 \iff \ln\left (\dfrac{1}{10}\right )=-2,30
\iff \ln(1) - \ln(10) = - 2,30 \iff -\ln(10) = -2,30\\
\phantom{\ln(0,1)=-2,30}
 \iff \ln(10) = 2,30$

\item On complète le tableau sur l'\textbf{annexe, page \pageref{annexe}}. %On arrondira à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
\item On représente sur une feuille de papier millimétré le nuage de points de coordonnées
$\left(x_i~;~y_i\right)$ dans un repère orthonormé d'unité 2 cm.

\begin{center}
\psset{unit=2cm,arrowsize=3pt 2}
\def\xmin {-3}   \def\xmax {3}
\def\ymin {-1}   \def\ymax {6}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psset{yMaxValue=\ymax,yMinValue=\ymin}
\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=10,gridlabels=0,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-6,-2)(6,12)
\psaxes[ticksize=-2pt 2pt](0,0)(-2.99,-0.99)(2.99,5.99)
\uput{10pt}[dl](0,0){$0$}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](-2.3,3.7)(-1.39,4.1)(0,4.7)(0.69,5)(1.61,5.4)(2.3,5.7)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{0.43 x mul 4.7 add}
\uput[u](-2.75,3.5){\blue $\mathcal{D}$}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3](-0.69,0)(-0.69,4.4)
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,ArrowInside=->](-0.69,4.4)(0,4.4)
\uput[d](-0.69,0){\red \small $\ln(0,5)$} \uput[r](0,4.4){\red $4,4$} 
\psline[linestyle=dashed](\xmin,5.3)(\xmax,5.3) \uput[u](-1.75,5.3){$y=5,3$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item
\begin{enumerate}
\item Une équation de la droite $\mathcal D$ d'ajustement affine de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés dont les coefficients sont arrondis à $10^{-4}$ près est 
$y=\np{0,4343} x + \np{4,7008}$.

\smallskip

%On considérera pour la suite que la droite $D$ a pour équation :$y= 0,43 x+ 4,70$.
%\smallskip

\item On trace la droite $\mathcal D$ d'équation $y= 0,43 x+ 4,70$ dans le repère précédent.
 \end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item On veut déterminer graphiquement une estimation du pH lorsque le rapport des volumes $\dfrac{V_A}{V_S}$ est égal à 0,5. Si $\dfrac{V_A}{V_S}=0,5$, alors $x_i=\ln(0,5) = -\ln(2) = -0,69$.

Voir graphique ci-dessus. On peut estimer le pH à environ $4,4$.

\item Lorsque le volume d'acétate de sodium est 5 fois plus important que le volume d'acide acétique, on a $k=\dfrac{V_A}{V_S}=\dfrac{1}{5}=0,2$; donc $x=\ln(k)=\ln(0,2)$.

Le pH est alors estimé à: $0,43\times \ln(0,2) + 4,7 \approx 4,01$.

%On arrondira à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
\item  Le rapport des volumes pour lequel le pH du mélange est de 5,3 est le nombre $k$ tel que\\
$0,43\times\ln(k) + 4,7=5,3$
soit
$\ln(k) = \dfrac{0,6}{0,43}$
ou encore
$k=\e^{\frac{0,6}{0,43}}$,
ce qui donne environ 4.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  5 points}

\medskip

Un marchand de cycles désirant commercialiser des Vélos à Assistance Électrique (VAE)
étudie une enquête donnant le nombre des ventes de ce produit dans une région entre
2014 et 2017.

 Le résultat de cette enquête est donné dans le tableau ci-dessous :


\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{3.85cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\centering Année& 2014 &2015& 2016 &2017\\\hline
Nombre de VAE vendus
en milliers d'unités &58,6 &77,5& 102& 135\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item  Le pourcentage d'augmentation des ventes de VAE entre 2014 et 2015 est, en pourcentage,

$\dfrac{77,5-58,6}{58,6}\times 100 \approx 32,3$.

\item Suite à son étude le commerçant estime que si l'évolution observée entre 2014 et 2015 reste la même sur les dix années à venir, on peut envisager une augmentation des ventes de 32\,\% par an entre 2017 et 2025.

%Suivant ce modèle quel serait le nombre de VAE vendus dans cette région en 2019 ?

Augmenter de $32\,\%$, c'est multiplier par $1+\dfrac{32}{100}=1,32$.

En 2017 il s'est vendu 135 milliers de VAE.

En 2018 on peut estimer le nombre de VAE vendus à $135\times 1,32$ soit $178$ milliers.

En 2019 on peut estimer le nombre de VAE vendus à $178\times 1,32$ soit $235$ milliers.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le commerçant a finalement décidé de proposer à la vente un modèle de VAE à partir du 1\up{er} janvier 2018. En 2018, il a vendu 100 VAE et il estime que le nombre de ventes suivra la même évolution qu’à l'échelon régional, c'est-à-dire une progression de 32\,\% par an.

\begin{enumerate}
\item % Quel sera le nombre de VAE vendus en 2025 par le commerçant si son estimation se réalise ?
Il y a 7 années entre 2018 et 2025 donc, selon ce modèle, le nombre de VAE que vendra le commerçant est de
$100 \times 1,32^{7}$ soit environ $698$.

\item Le bénéfice réalisé par le commerçant pour chaque VAE vendu est de 150 euros en 2018, et augmentera ensuite de 2,5\,\% chaque année.
\begin{enumerate}
\item  Le bénéfice réalisé par le commerçant en 2018 sur la vente de ses VAE est
$100\times 150 = \np{15000}$ euros.

\item% Montrer que le bénéfice attendu sur la vente des VAE en 2019 sera de \np{20 295}~euros.
En 2019 le nombre de ventes attendu est de $100\times 1,32=132$.

Le bénéfice par vélo est de $150\times 1,025 = 153,75$.

Le bénéfice total est donc de $132\times 153,75 = \np{20295}$ euros.

\item On modélise par une suite $v$ les bénéfices attendus sur la vente des VAE par ce commerçant. On appelle $v_n$ le bénéfice sur la vente des VAE lors de l'année 2018 +$n$. On admet que la suite $v$ est une suite géométrique. %Déterminer sa raison.

Chaque année, le nombre de vélos vendus augmente de $32\,\%$ ce qui correspond à un coefficient multiplicateur de $1,32$.
Chaque année le bénéfice par vélo augmente de $2,5\,\%$, ce qui correspond à un coefficient multiplicateur de $1,025$.

Le bénéfice total correspond donc à un coefficient multiplicateur de $1,32\times 1,025 = 1,353$. Ce qui veut dire que la suite $v$ est géométrique de raison $1,353$.
\end{enumerate}

\item On complète sur l'\textbf{annexe page \pageref{annexe}}, l'algorithme qui permettra au commerçant de connaître l'année où la somme cumulée des bénéfices attendus sur la vente des VAE depuis janvier 2018 dépassera \np{300 000}~euros.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  5 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La solubilité $s$ exprimée en pourcentage massique (\% m$\cdot$ m$^{-1}$) du dioxyde de soufre
dans l'eau en fonction de la température $t$ en \textdegree~C est une solution de l'équation
différentielle $(E) :\quad  y'(t)+ 0,04y(t)= 0$.
\begin{enumerate}
\item % Résoudre l'équation différentielle $(E)$.
L'équation différentielle $y'+ay=0$ a pour solutions les fonctions définies par $y(t)=k\e^{-at}$ où $k$ est un réel quelconque, donc l'équation différentielle $y'(t)+ 0,04y(t)= 0$ a pour solutions les fonctions définies par $y(t)=k\e^{-0,04t}$ où $k$ est un réel quelconque.

\item La solubilité à la température 0\textdegree~C est de \np[\%m \cdot m^-1]{23} , donc $y(0) = 23$ ce qui veut dire $k\e^{0}=23$ ou encore $k=23$.
Donc $s(t)=23\e^{-0,04t}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère que la fonction solubilité $s$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$  par:
$s(t)= 23 \e^{-0,04t}$.

On désigne par $\mathcal C_s$, sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
\begin{enumerate}
\item  On admet que $\displaystyle \lim_{t\to+\infty} \e^{-0,04t}=0$. Donc la limite de $s$ en $+\infty$ est égale à 0, ce qui veut dire que la courbe $\mathcal C_s$ admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale en $+\infty$.

%Quelle interprétation graphique peut-on donner de cette limite ?
\item% Étudier les variations de $s$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
$s'(t)=23\times (-0,04)\e^{-0,04t} = -0,92\e^{-0,04t} <0$ sur $[0~;~+\infty[$ donc la fonction $s$ est strictement décroissante sur $[0~;~+\infty[$.

\item La solubilité $s$ du dioxyde de soufre en pourcentage massique sera inférieure à 2 quand $s(t) < 2$; on résout cette inéquation:

$s(t)<2 \iff 23\e^{-0,04t} < 2 \iff \e^{-0,04t} < \dfrac{2}{23}
\iff -0,04t < \ln\left ( \dfrac{2}{23}\right )
\iff t > - \dfrac{\ln\left (\frac{2}{23} \right )}{0,04}$

$- \dfrac{\ln\left (\frac{2}{23} \right )}{0,04} \approx 61,1$ donc c'est à partir de 62\textdegree~C que la solubilité $s$ du dioxyde de soufre en pourcentage massique sera inférieure à 2.

\item La valeur moyenne de la fonction $s$ entre $a$ et $b$ est donnée par :
$\displaystyle \dfrac{1}{b-a}\int_a^b s(t)\mathrm{d}t$.

%Calculer la valeur moyenne de la fonction $s$, solubilité du dioxyde de soufre, entre 10 \textdegree~C et 30 \textdegree~C. On arrondira à $10^{-1}$.

La fonction $s$ a pour primitive sur $[0~;~+\infty[$ la fonction $S$ définie par $S(t)=-\dfrac{23}{0,04}\e^{-0,04t} = -575\e^{-0,04t}$.

La valeur moyenne de la fonction $s$ entre 10 \textdegree~C et 30 \textdegree~C vaut donc:

$\dfrac{1}{30-10} \ds\int_{10}^{30} s(t) \d t
= \dfrac{1}{20} \left [ S(30)-S(10)\strut\right ]
= \dfrac{1}{20} \left [ -575\e^{-1,2} + 575 \e^{-0,4}\strut\right ]
= \dfrac{575\left (\e^{-0,4} - \e^{-1,2}\right )}{20}
\approx 10,6$.

\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe à numéroter et à remettre avec la copie \\ à la fin de
l'épreuve même non complétée}

\textbf{(placer à l'intérieur de la copie pour agrafage)}
\end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} question 1.b.}

\medskip

{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.85cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Rapport des
volumes $k_i=\frac{V_A}{V_S}\rule[-10pt]{0pt}{25pt}$	&0,1	& 0,25	& 1	& 2 &5	& 10\\\hline
\centering $x_i=\ln \left(k_i\right)$		&$-2,30$&\textcolor{blue}{$-1,39$} 	&\textcolor{blue}{0}	& \textcolor{blue}{$0,69$}	& \textcolor{blue}{$1,61$}	& \textcolor{blue}{$2,30$}\\
\hline
\centering $y_i$ &3,7 &4,1& 4,7& 5& 5,4& 5,7\\
\hline
\end{tabularx}
}

\vspace{5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 } Partie B question 3.}

\bigskip

{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabular}{|m{5cm}|}
\hline
%\begin{minipage}[]{3cm}
$A \longleftarrow 2018$\\
$B \longleftarrow \np{15 000}$\\
$S \longleftarrow \np{15 000}$\\
Tant que {\blue $S \leqslant \np{300000}$}\\
\hspace*{1cm} $A \longleftarrow \blue A+1$\\
\hspace*{1cm} $B\longleftarrow \blue B \times 1,353$\\
\hspace*{1cm} $S \longleftarrow \blue S+B$\\
Fin Tant que\\
%\end{minipage}\\
\hline
\end{tabular}}
\label{annexe}
\end{document}
