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%Tapuscrit Jean-Claude Souque
%Relecture : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat STL biotechnologies},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  Sciences et Technologies de laboratoire (STL)spécialité Biotechnologies}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{4 septembre 2020}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL spécialité biotechnologies~\decofourright\\[5pt] Antilles-Guyane 4 septembre 2020}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{L’usage de la calculatrice avec le mode examen activé est autorisé.}
 
\textbf{L’usage de la calculatrice sans mémoire, \og type collège\fg, est autorisé.}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}  

\medskip

%Dans un centre avicole, les \oe ufs sont pesés et classés suivant quatre catégories avant expédition :
%\begin{itemize}
%\item[\ding{111}] XL : pour les très gros \oe ufs d’un poids supérieur ou égal à \np[g]{73}  ;
%\item[\ding{111}] L : pour les gros \oe ufs d’un poids supérieur ou égal à \np[g]{63} et strictement inférieur à \np[g]{73} ;
%\item[\ding{111}] M : pour les \oe ufs moyens d’un poids supérieur ou égal à \np[g]{53} et strictement inférieur à \np[g]{63};
%\item[\ding{111}] S : pour les petits \oe ufs dont le poids est strictement inférieur à \np[g]{53}.
%\end{itemize}
%
%On note $G$ la variable aléatoire qui prend pour valeur la masse en grammes d’un \oe uf.
%
%On admet que $G$ suit une loi normale de moyenne $\mu = 60$ et d’écart type $\sigma$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Sachant que $P (52,8\leqslant G \leqslant 67,2) = 0,95$, déterminer la valeur de $\sigma$.
On sait que $P (52,8\leqslant G \leqslant 67,2) = 0,95$ signifie que 
$P (\mu - 2\sigma\leqslant G \leqslant \mu + 2\sigma) = 0,95$, \: $\mu$ et $\sigma$ étant respectivement la moyenne t l'écart type.

On a donc $60 - 2\sigma = 52,8$, soit $2\sigma = 60 - 52,8$ ou $2\sigma 7,2$ et $\sigma = 3,6$.
\end{enumerate}

Pour la suite de l’exercice, on arrondit : $\sigma = 4$. Les résultats seront donnés à $10^{-4}$ près.

\begin{enumerate}[resume]
\item On prélève un \oe uf au hasard dans ce centre.
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la probabilité que cet \oe uf soit un \og\oe uf moyen \fg.
La calculatrice donne $P(53 < G < 63) \approx \np{73331}$,soit \np{0,7331} à à $10^{-4}$ près.
\item %Déterminer la probabilité que cet \oe uf soit un \og très gros \oe uf \fg.
De même $P(G > 73) \approx \np{0,00057}$ soit \np{0,0006} à $10^{-4}$ près.
\end{enumerate}
\item %Ce centre avicole affirme que le nombre d’\oe ufs de catégorie L correspond à 37\,\% du nombre total d’\oe ufs.

%Sur un lot choisi au hasard de 35 douzaines d’\oe ufs non triés, on comptabilise 168 \oe ufs de catégorie L.

%Avec un risque d’erreur de 5\,\%, l’affirmation du centre avicole est-elle remise en cause ?
L'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% est :

$\left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right] = \left[0,37 - 1,96\sqrt{\dfrac{0,37 \times 0,63}{420}}~;~0,37 + 1,96\sqrt{\dfrac{0,37 \times 0,63}{420}} \right] \approx [0,346~;~394]$.

La fréquence de l'échantillon est $\dfrac{168}{420} =0,4$.

Comme $0,4 \notin [0,346~;~394]$, on peut remettre en cause l'affirmation du centre avicole.

\end{enumerate}

%\fbox{
%\begin{minipage}[]{\linewidth}
%
%Rappel :
%
%L’intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% d’une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est : \[\left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right].\]
% lorsque la proportion $p$ dans la population est connue.\end{minipage}}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}  

\medskip

%Une infection est traitée en injectant un médicament par voie intraveineuse.
%
%À l’instant $t=0$, on injecte à un patient hospitalisé une dose de 3 Unités Internationales (UI) du médicament qui se diffuse instantanément dans le sang. Le médicament est progressivement éliminé. La quantité de médicament diminue de 20\,\% par heure. Pour conserver une efficacité thérapeutique, on injecte toutes les heures une dose de 2 UI au patient, en évitant un surdosage médicamenteux.
%
%On modélise cette situation à l’aide d’une suite $u$. On note $u_n$ la quantité de médicament en UI présente dans le sang $n$ heures après la première injection. On a donc $u_0=3$.

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $u_1= 4,4$.
Au temps $t = 0$, on injecte 3 UI. Au temps $t = 1$, il reste $3 \times \left(1- \dfrac{20}{100}\right) = 3 \times 1 - 0,20) = 3 \times 0,8 = 2,4$ et à ce moment on injecte à nouveau 2 UI, donc $u_1 = 2,4 + 2 = 4$.
\item %On réalise une feuille de tableur comme ci-contre.

\begin{minipage}[]{0.7\linewidth}
Parmi les formules proposées, reporter sur votre copie celle entrée en B3, qui, recopiée vers le bas, donne les valeurs successives de $u_n$ :

\begin{itemize}
\item formule 1 : = 0,2*B2 + 2,
\item formule 2 : = 0,8 * B2 + 2,
\item formule 3 : = 2*A3 + 3.
\end{itemize}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[]{0.25\linewidth}
\begin{tabular}[]{|*{3}{c|}}
\hline
\rowcolor{gainsboro}&A&B\\%tabularnewline
\hline
\cellcolor{gainsboro}1&$n$&$u_n$\\\hline
\cellcolor{gainsboro}2&0&3\\\hline
\cellcolor{gainsboro}3&1&4,4\\\hline
\cellcolor{gainsboro}4&2&5,52\\\hline
\cellcolor{gainsboro}5&3&\\\hline
\cellcolor{gainsboro}6&4&\\\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
Comme on l'a vu à la première question, on multiplie la quantité précédente par 0,8 et on ajoute 2 : c'est donc la formule 2.
\item %La suite $u$ est-elle géométrique ? Justifier.
On a donc pour $n > 0$, \: $u_{n+1} = 0,8u_n + 2$ : la suite n'est pas géométrique, ce que confirme le tableur puisque $\dfrac{4,4}{3} \approx 1,467$ et $\dfrac{5,52}{4,4} \approx 1,255$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

%La quantité de médicament en UI présente dans le sang $n$ heures après la première injection est donc donnée par la relation $u_{n+1}=0,8\times u_n+2$ avec $u_0=3$.
%
%On considère la suite $v$ définie pour tout $n$ entier naturel par : $v_n=u_n-10$.
%
%On a alors : $v_0=-7$. On admet que la suite $v$ est une suite géométrique de raison 0,8.

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=-7\times 0,8^n+10$.
Si la suite $v$ est une suite géométrique de raison 0,8, on sait que pour $n \in \N$, \: $v_{n+1} = 0,8v_n$ et que $v_n = v_0 \times 0,8^n$.

Or $v_0 = u_0 - 10 = 3 - 10 = - 7$, donc $v_n = - 7 \times 0,8^n$, pour $n \geqslant 0$.

Or $v_n=u_n-10$ peut s'écrire $u_n = v_n + 10$, donc finalement :

pour $n \geqslant 0$, \: $u_n = 10 - 7\times 0,8^n$.
\item %Déterminer la limite de la suite $u$. Comment interpréter ce résultat ?
Comme $0 < 0,8 < $, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,8^n = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 7 \times 0,8^n = 0$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 10$.
\item %Un laboratoire préconise de ne pas dépasser une quantité de 8 UI de ce médicament dans le sang. Déterminer le nombre maximal d’injections que l’on peut effectuer.
Il faut trouver $n \N$, tel que $10 - 7\times 0,8^n \leqslant 8$, soit 

$2 \leqslant 7 \times 0,8^n$ d'où $\dfrac{2}{7} \leqslant 0,8^n$ ou par croissance du logarithme népérien $\ln \left( \dfrac{2}{7}\right) < n \ln 0,8$ et enfin 
$\dfrac{\ln \left( \dfrac{2}{7}\right)}{\ln 0,8} > n$ (car $\ln 0,8 < 0$).

Or $\dfrac{\ln \left( \dfrac{2}{7}\right)}{\ln 0,8} \approx 5,6$.

Il ne faut donc pas dépasser 6 injections ($u_5 \approx 7,71$).
\end{enumerate}

\vspace{0.7cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}  

\medskip

%\emph{Les parties peuvent être traitées de manière indépendante.}
%
%\smallskip
%
%On se propose d’étudier le refroidissement du café. On dispose d’une tasse de café à 100 \textcelsius{} que l’on place dans une salle où règne une température constante de 20 \textcelsius.
%
%\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

On réalise l’expérience en mesurant la température du café, notée $\theta$, contenu dans la tasse à différents instants $t$. Les résultats sont notés dans le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*{9}{c|}}\hline
Temps en minutes : $t$		&0	&1	&2	&5	&12	&15	&20	&35	&60\\\hline
Température en \textcelsius :
 $\theta$ 					&100&90	&85	&70	&50	&42	&35	&27	&20\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

Afin de réaliser un ajustement affine, on pose : $z=\ln \theta$. On obtient alors :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*{9}{c|}}\hline
Temps en minutes : $t$	&0		&1		&2		&5		&12		&15		&20		&35		&60\\\hline
$z = \ln \theta$		& 4,605	&4,500	&4,443	&4,248	&3,912	&3,738	&3,555	&3,296	&2,996\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %À l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d’ajustement de $z$ en $t$. On arrondira les coefficients à $10^{-4}$.
La calculatrice donne $a \approx \np{-0,02700}$ et $b \approx \np{3,37149}$ d'où en arrondissant les coefficients à $10^{-4}$ l'équation :

$z = - \np{0,0270}t + \np{3,3715}$.

\item On considérera que la droite d’ajustement a pour équation $z=- 0,027t+4,37$.

%En utilisant ce modèle, justifier que la température de la tasse de café au bout de 10 minutes est d’environ 60 \textcelsius.
Avec $t = 10$, on obtient $z = - 0,027\times 10  + 4,37 = 4,37 - 0,27 = 4,1 = \ln \theta$, d'où $\theta = \text{e}^{4,1} \approx 60,34$ soit à l'unité près  $60~(\degres C)$.

\item %Ce modèle est-il pertinent pour estimer la température du café au bout de 2 heures ?
Au bout de 2~h soit 120~minutes le modèle donne une température $\theta$, telle que $\ln \theta = 4,37 - 120 \times 0,027 = 1,13$, d'où$\theta = \text{e}^{1,13} \approx 3~\degres $C ce qui est idiot dans une pièce à 25~\degres C. Le modèle n'est alors pas pertinent.
\end{enumerate}

\medskip 

\textbf{PARTIE B}

\medskip

D’après la Loi de Newton, l’équation différentielle $(E)$ : $y'(t)+0,1y(t) = 2$ permet de modéliser la température du café (en \textcelsius) en fonction du temps $t$ (en minutes).

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Résoudre cette équation différentielle $(E)$.

\noindent $\bullet~~$Soit $C \in \R$ une solution de $(E)$ ; avec $C' = 0$, on a $0 + 0,1C = 2$, soit $C = 20$ ; 

$\bullet~~$On sait que les solutions de l'équation différentielle $y'(t) + 0,1y(t) = 0$ sont de la forme $t \longmapsto C\text{e}^{- 0,1t}$, avec $C \in \R$.

Donc les solutions de $(E)$ sont les fonctions :

$t \longmapsto 20 + C\text{e}^{-0,1t}$ avec $C \in \R$ quelconque.
\item %Déterminer la solution particulière $f$ définie sur $[0~,~+\infty[$ vérifiant la condition initiale $f(0)=100$.

Avec $f(t) = 20 + C\text{e}^{-0,1t}$, on a $f'(t) = - 0,1C\text{e}^{-0,1t}$ et la fonction $f$ solution de $(E)$ et $f(0) = 100$ si 

$f'(0) + 0,1f'0) = 2$ ou $- 0,1C + 0,1 \times 100 = 2$ ou $8 = 0,1C$ soit $C = 80$.

Conclusion : La solution particulière telle $f(0) = 100$ est définie par $f(t) 20 + 80\text{e}^{-0,1t}$.
\end{enumerate}

%Pour la suite de l’exercice, on prendra $f(t)=20 + 80 \e^{-0,1 t}$.

\begin{enumerate}[resume]
\item  %Déterminer la température du café contenu dans la tasse au bout de 10 minutes. On arrondira au degré près.
On a $f(10) = 20 + 80\text{e}^{1} \approx 20 + 29,43 \approx 49,43$ soit environ 49~\degres C.
\item %Résoudre l’inéquation $20 + 80 \e^{-0,1 t} < 35$. Interpréter ce résultat.
$20 + 80 \e^{-0,1 t} < 35$ ou en ajoutant $- 20$, \: $80 \e^{-0,1 t} < 15$ ou $\e^{-0,1 t} < \dfrac{15}{80}$ puis par croissance de la fonction logarithme népérien $- 0,1t < \ln \frac{15}{80}$ et en multipliant par $- 10$ : \:
$t > - \ln \frac{15}{80}$.

Or $- 10\ln \frac{15}{80} \approx 16,7$.

Donc $S \approx [16,7~;~+ \infty]$.

Cela signifie qu'à partir de 16 minutes et 42 secondes la température sera inférieure à 35~\degres C.
\item On admet que $\displaystyle \lim_{t\to +\infty} \e^{-0,1t}=0$. Déterminer la limite de $f$.
%Comment interpréter ce résultat pour l’expérience réalisée ?
\end{enumerate}

\vspace{0.7cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}  

\medskip


On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~1]$ par 

\[f(x)=5 \ln(x) - 10x + 10.\]

\begin{minipage}[]{0.65\linewidth}
\begin{enumerate}
\item  On a représenté ci-contre la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ dans un repère.
\begin{enumerate}
\item %Quelle conjecture peut-on faire quant aux variations de $f$ sur $]0~,~1]$ ?
On peut conjecturer que la fonction est croissante sur ]0~;~0,5[ et décroissante sur ]0,5~;~1[.
\item %Quelle(s) conjecture(s) peut-on faire concernant le maximum de $f$ sur $]0 ,1]$ ?

Le maximum de $f$ sur [0~;~1] semble être $f(0,5) = 1,5$.
\item %Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de $f$ en 0.
Il semble que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$
\end{enumerate}
\item Démontrer que pour tout $x$ appartenant à $]0~;~1]$, la dérivée de $f$ est définie par :

%\[f'(x)= \dfrac{5(1-2x)}{x}.\]
$f$ est une somme de fonctions dérivables sur ]0~;~1] et sur cet intervalle :

$f'(x) = 5 \times \dfrac{1}{x} - 10 = \dfrac{5}{x} - 10 = \dfrac{5}{x} - \dfrac{x}{x}10 = \dfrac{5(1 - 2x)}{x}$.
\item %Démontrer les conjectures émises à la question 1.

$\bullet~~$$f'(x) > 0 \iff \dfrac{5(1 - 2x)}{x} > 0 \iff 5(1 - 2x) > 0$ (puisque $x > 0$) $\iff 1 - 2x > 0 \iff 1 > 2x \iff x < \dfrac{1}{2}$ ;

$\bullet~~$On a de même $f'(x) < 0 \iff \dfrac{1}{2} < x \leqslant 1$ ;

$\bullet~~$$f'(x) = 0 \iff x = \dfrac{1}{2}$.

On a donc démontré que la fonction est croissante sur ]0~;~0,5[, décroissante sur ]0,5~;~1[ et que le maximum est $f(0,5) = 5\ln \frac{1}{2} - 10\times 0,5 + 10 = - 5\ln 2 - 5 + 10 = 5 - 5\ln 2 \approx 1,534$.

$\bullet~~$On a $\displaystyle\lim_{x \to 0} 5x = 0$, \:$\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty$, donc par produit et somme de limites : $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[]{0.3\linewidth}
\psset{xunit=2.25cm,yunit=2.25cm,labelFontSize=\scriptstyle,comma=true,showorigin=false }
\begin{pspicture}(-0.4,-1.8)(1.4,1.9)
\psaxes[linewidth=0.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.4,-1.65)(1.3,1.7)
 \def\Func{x ln 5 mul x 10 mul sub 10 add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.125}{1}{\Func}
\rput(1,1.2){\blue$\mathcal{C}_f$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\begin{enumerate}[\textbf{4 .}]
\item On considère l’algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}[]{|l|}
\hline
$x \longleftarrow 0,4$\\
$M \leftarrow f (0,4)$\\[0.3cm]
Pour $i$ allant de 1 à 12\\
\hspace{2em}$x \longleftarrow  x+0,05$\\
\hspace{2em}$y\longleftarrow  f(x)$\\
\hspace{2em}Si $y >M$\\
\hspace{4em}Alors $M \longleftarrow y$ \\ [0.2cm]
\hspace{2em}Fin Si\\
Fin Pour\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item  Recopier et compléter le tableau suivant avec les premières valeurs prises par $x$, $y$ et $M$ lors du déroulement de l’algorithme. On arrondira à $10^{-3}$.

\begin{tabular}[]{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}m{0.1\linewidth}|}}
\hline
$i$& \psCancel[linewidth=0.05pt]{\phantom{xxxxxxx}}&1&2&3&4\\\hline
$x$& 0,4&0,45&0,50&0,55&0,60\\\hline
$y$&\psCancel[linewidth=0.05pt]{\phantom{xxxxxxx}}&1,507&1,534&1,511&1,446\\\hline
$M$ &1,419&1,507&1,534&1,534&1,534\\\hline
\end{tabular}
\item %Quelle est la valeur de la variable $M$ à la fin de l’exécution de l’algorithme ? Que représente-t-elle pour la fonction $f$ ?
À la fin de l'exécution on a $M = 1,534$ qui est le maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0~;~1].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}