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% Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL biotechnologies }  
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{16 juin 2017}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL biotechnologies ~\decofourright\\[4pt]Antilles-Guyane 16 juin 2017}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}   

%\begin{center}
%\emph{Les deux questions sont indépendantes}
%\end{center}
%
%Dans cet exercice, on s'intéresse à l'indice de masse corporelle (poids en kg divisé par le carré de la taille en m), noté IMC, de personnes adultes, âgées de 18 à 74 ans.
%
%\smallskip
%
%Une personne est considérée \og maigre \fg{} si son IMC est inférieur à 18,5.
%
%Elle est considérée \og de poids normal \fg{} si son IMC est compris entre 18,5 et 25.
%
%Elle est considérée \og en surpoids \fg{} si son IMC est compris entre 25 et 30.
%
%Elle est considérée \og obèse\fg{} si son IMC est supérieur à 30.
%
%\bigskip
%
%\emph{Les probabilités seront arrondies à $10^{-3}$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %On note $X$ la variable aléatoire qui, à une personne adulte prise au hasard, associe son IMC.

%Dans cette question, on suppose que $X$ suit la loi normale d'espérance $24,9$ et d'écart type $5,3$. On prend une personne au hasard dans la population.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la probabilité que cette personne soit \og en surpoids \fg.
La calculatrice donne $P(25 \leqslant X \leqslant 30) \approx 0,325$.
		\item %Déterminer la probabilité que cette personne soit \og maigre \fg.
La calculatrice donne $P(X \leqslant 18,5) \approx 0,114$.
	\end{enumerate}
\item %On suppose qu'en France, la proportion d'adultes obèses est de 15\,\%.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence de personnes obèses dans un échantillon de taille $800$. Arrondir les bornes de l'intervalle à $10^{-3}$.
On sait que l'intervalle est :
		
$I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}} \right]$. Avec $p = 0,15$ et $n = 800$, on obtient :

$I \approx [0,137~;~0,163]$. 
		\item %Dans le cadre d'un plan de prévention planifié par une région française, une agence de santé indépendante a réalisé une enquête au cours de laquelle a été mesuré l'IMC de $800$ personnes adultes habitant cette région. Parmi celles-ci, $148$ ont un IMC supérieur à $30$.
		
%Peut-on considérer que la population de cette région comporte une proportion d'adultes obèses conforme à la moyenne nationale ou, au contraire, qu'il y a lieu d'envisager des actions de prévention contre l'obésité ? Justifier la réponse.
Pour cet échantillon de 800 personnes, on a trouvé 148 personnes obèses, soit une fréquence de $\dfrac{148}{800} = 0,185$.

Or $0,185 \notin  [0,137~;~0,163]$ : il y a donc lieu d'envisager des actions de prévention contre l'obésité.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}   

\begin{center}
\emph{QUESTIONNAIRE À CHOIX MULTIPLE}
\end{center}

%\emph{Pour chaque question, une seule des réponses proposées est exacte. Chaque bonne réponse rapporte un point, une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'enlève pas de point.}
%
%\medskip
%
%Donner sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre de la réponse choisie. Aucune
%justification n'est demandée et une seule réponse est attendue par question.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %On injecte à un patient une dose de $5$~mL d'une solution antibiotique, ce qui correspond à une dose de $5$~mg d'antibiotique. La quantité d'antibiotique présente dans le sang diminue chaque heure de 5,5\,\%.

%Au bout de combien d'heures révolues la quantité de médicament restant dans le sang sera-t-
%elle passée sous le seuil des 20\,\% de la quantité injectée au départ du traitement ?

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} 9 &\textbf{b.~~} 28 &\textbf{c.~~} 57 &\textbf{d.~~} 29
%\end{tabularx}
%\medskip
Diminuer chaque heure de 5,5\,\%, c'est multiplier par $1 - 0,055 = 0,945$.

Donc la dose est multipliée au bout de $n$ heures par $0,945^n$.

D'où $0,945^n < 0,2 \iff n \ln 0,945 < \ln 0,2 \iff n > \dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,945}$.

Or $\dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,945}\approx 28,45$. 

La quantité de médicament restant dans le sang sera passée sous le seuil des 20\,\% au bout de 29 heures.
\item %Dans un échantillon de $136$ personnes prélevé dans la population d'une ville, on observe que $57$ d'entre elles portent des lunettes. On appelle $p$ la proportion des personnes portant des lunettes dans la population.

%L'intervalle de confiance dont les bornes sont arrondies à $10^{-2}$, au niveau 95\,\%, pour la proportion $p$ est :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} [0,35~;~0,49] &\textbf{b.~~} [0,47~;~0,67] &\textbf{c.~~} [0,41~;~0,43]& \textbf{d.~~} [0,34~;~0,50]
%\end{tabularx}
%\medskip
L'intervalle de confiance dont les bornes sont arrondies à $10^{-2}$, au niveau 95\,\%, pour la proportion $p$ est : $\left[f - \dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]$.

Avec $f = \dfrac{57}{136}$ et $n = 136$, on obtient l'intervalle [0,333~;~0,505], soit au centième près [0,34~;~0,50].
\item %Une variable aléatoire $Y$ suit une loi exponentielle de paramètre $3,5$.

%La probabilité $P(0,4 \leqslant Y \leqslant  0,8)$, approchée à $0,001$ près, est égale à :
On a $P(0,4 \leqslant Y \leqslant  0,8) = \text{e}^{3,5 \times 0,8} - \text{e}^{3,5 \times 0,4} \approx 0,186$.
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} 0,186 &\textbf{b.~~} 0,650 &\textbf{c.~~} 0,734 &\textbf{d.~~} 0,286
%\end{tabularx}
%\medskip

\item %On rappelle que la fonction ALEA() d'un tableur renvoie un nombre aléatoire compris
%entre 0 et 1, et simule une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur l'intervalle [0~;~1].

%On souhaite simuler une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur l'intervalle [-1~;~1].

%Quelle formule faut-il écrire dans le tableur ?
$= 2 \times \text{ALEA}() - 1$
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} $= 2 \times \text{ALEA}() - 1$&
%\textbf{b.~~} $= (\text{ALEA}() + 1) \div 2$&
%\textbf{c.~~} $= 2 \times \text{ALEA}()$&
%\textbf{d.~~} $= \ln(\text{ALEA}() $
%\end{tabularx}
%\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}   

\medskip

%On administre à un patient un médicament par voie intraveineuse. Ainsi la concentration du produit actif est quasi immédiatement maximale après l'injection, puis elle diminue de 3\,\% par minute.
%
%\smallskip
%
%On notera $C_0$ la concentration à l'instant $t = 0$ minute et $C_n$ la concentration en mg. L$^{-1}$ au bout de $n$ minutes.
%
%On pose $C_0 = 1$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier que la suite $\left(C_n\right)$ est géométrique. Préciser sa raison.
Diminuer chaque minute la concentration de 3\,\%, revient à la multiplier par $1 - 0,03 = 0,97$.

On a donc $n$ désignant le nombre de minutes écoulées : $C_{n+1} = C_0 \times 0,97$. Cette relation montre que la suite $\left(C_n\right)$ est géométrique de raison 0,97 et de premier terme $C_0 = 1$.
\item %Exprimer $C_n$ en fonction de $n$.
On sait que quel que soit le naturel $n$, \: $C_n = C_0 \times q^n$, soit $C_n = 0,97^n$.
\item %En résolvant une inéquation, déterminer à partir de quelle valeur de $n$ la concentration du produit actif aura diminué de moitié.
Il faut trouver $n$ tel que :

$0,97^n = 0,5 \iff n \ln 0,97 = \ln 0,5 \iff n = \dfrac{\ln 0,5}{\ln 0,97} \approx 22,75$ ; la concentration aura été diminuée de moitié à la 23\up{e} minute.
\item %On considère le premier algorithme suivant :

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|}\hline
%\textbf{Variables :} 	&$K$ est un nombre réel\\
%\textbf{Initialisation:}&$K$ prend la valeur 1\\
%						&\\
%\textbf{Traitement:} 	&Répéter 5 fois\\
%						& \hspace{1cm}$K$ prend la valeur $0,97*K$\\
%\textbf{Sortie:} 		&Afficher $K$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la valeur $K$ affichée à l'issue de l'exécution de cet algorithme ? On arrondira à \np{0,0001}.
L'algorithme calcule successivement :
		
$0,97~;~0,97^2~;~0,97^3~;~0,97^4~;~0,97^5\approx 0,859$.
		\item %Quelle interprétation peut-on donner de cette valeur de $K$ en terme de concentration du médicament ?
Le résultat précédent montre qu'à la 5\up{e} minute la concentration du médicament est de 85,9\,\%.
	\end{enumerate}
\item %On considère maintenant l'algorithme suivant :
	
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l X|}\hline
%\textbf{Variables:}			&$i$ est un entier naturel, $K$ est un nombre réel\\
%\textbf{Initialisation:} 	&$K$ prend la valeur 1\\
%							&$i$ prend la valeur 0\\
%\textbf{Traitement:} 		&Tant que $K > 0,5$\\
%							&\hspace{1cm}$i$ prend la valeur $i + 1$\\
%							&\hspace{1cm}$K$ prend la valeur $0,97*K$\\
%\textbf{Sortie:} &			Afficher $i$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item %Expliquer pourquoi cet algorithme exécutera plus de 5 itérations de la boucle\og Tant que \fg.
Pour $K = 5$ la question précédente a montré que la concentration était de $85,9 > 50$~\,\%. Donc $K > 5$. 
		\item %Quel résultat l'exécution de cet algorithme permet-elle de retrouver ?
L'algorithme permet de retrouver la réponse de la question \textbf{3.}, soit $i = 23$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 8 points}   

\medskip

\textbf{PARTIE A - ÉTUDE STATISTIQUE}

\medskip

%Les immunoglobulines G, notées IgG, sont des anticorps qui interviennent dans l'élimination
%d'antigènes. On étudie la concentration d'IgG dans le sang d'un patient au fil des semaines lors du contact avec un antigène. 
%
%On a recueilli les informations consignées dans le tableau suivant, où $t_i$
%est le temps en semaines écoulées après ce contact et $y_i$ le taux d'immunoglobulines G en g. L$^{-1}$ :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Temps $t_i$ en semaines 		&1 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6\\ \hline
%Taux $y_i$ d'IgG en g.L$^{-1}$	&13,4 	&14,7 	&13,9 	&12,8 	&11,7 	&10,5\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%On pose $z = \ln \left(\dfrac{y}{t}\right)$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Recopier sur vote copie et compléter le tableau suivant, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$									&1 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6\\ \hline
$z_i = \ln \left(\dfrac{y_i}{t_i}\right)$&2,60 	&1,99	&1,53	&1,16	&0,85  & 0,56 \rule[-3.5mm]{0mm}{9mm} \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item %Donner, à l'aide de la calculatrice, l'équation de la droite de régression linéaire de $z$ en $t$, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à $10^{-2}$ près.
La calculatrice donne $z = - 0,399714t + 2,847$ soit en arrondissant les coefficients au centième :

$z = - 0,40t + 2,85$.
\item %Déterminer un ajustement de $y$ en fonction de $t$ de la forme $y = a t \text{e}^{b t}$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels. On arrondira les $a$ et $b$ au dixième.
Comme $z = \ln \left(\dfrac{y}{t}\right)$, l'équation précédente s'écrit :

$\ln \left(\dfrac{y}{t}\right) = - 0,40t + 2,85 \iff \dfrac{y}{t} = \text{e}^{- 0,40t + 2,85} \iff \dfrac{y}{t} = \text{e}^{2,85} \times \text{e}^{- 0,40t} \iff y = t \times \text{e}^{2,85} \times \text{e}^{- 0,40t}$.

Or $\text{e}^{2,85} \approx 17,288$, donc finalement en arrondissant les coefficients au dixième:

\[y =  17,3t\text{e}^{- 0,4t}.\]
\item %Estimer le taux d'IgG à la 8\up{e} semaine à l'aide de l'expression de la question 3. Arrondir à $10^{-1}$.
On a $y(8) = 17,3 \times 8 \text{e}^{- 0,4\times 8} \approx 5,6$ au dixième près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B - ÉTUDE D'UNE FONCTION}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(t) = 17,3 t \text{e}^{- 0,4 t}.\]

%On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %On donne : $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 0$. Interpréter graphiquement ce résultat.
Géométriquement ceci signifie que l'axe des abscisses est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ au voisinage de plus l'infini.
\item %On note $f'$ la dérivée de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.

%Montrer que pour tout $t$ de $[0~;~+ \infty[$,\: $f'(t) = (17,3 - 6,92 t)\text{e}^{- 0,4 t}$.
En dérivant $f(t)$ comme un produit on a pour tout réel positif :

$f'(t) = 17,3  \text{e}^{- 0,4 t} - 0,4 \times 17,3 t \text{e}^{- 0,4 t} = 17,3  \text{e}^{- 0,4 t} \left(1 - 0,4t \right) = (17,3 - 6,92t)\text{e}^{- 0,4 t}$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Étudier le signe de $f'(t)$ sur $[0~;~+ \infty[$.
		On sait que $\text{e}û > 0$, quel que soit le réel $u$ ; le signe de $f"(t)$ est donc celui de la différence $17,3 - 6,92t$.
		
$\bullet~~$$17,3 - 6,92t > 0 \iff 17,3 > 6,92t \iff \dfrac{17,3}{6,92} > t \iff t < 2,5$.

$f'(t) > 0$ sur [0~;~2,5] : sur cet intervalle la fonction $f$ est croissante.

$\bullet~~$$17,3 - 6,92t < 0 \iff 17,3 < 6,92t \iff \dfrac{17,3}{6,92} < t \iff t > 2,5$.

$f'(t) < 0$ sur $[2,5~;~+ \infty[$.

$\bullet~~$$17,3 - 6,92t = 0 \iff 17,3 = 6,92t \iff \dfrac{17,3}{6,92} = t \iff t = 2,5$.

$f'(2,5) = 0$.
		\item %Établir le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
La fonction est donc croissante sur [0~;~2,5] de $f(0) = 0$ à $f(2,5) = 17,3 \times 2,5 \text{e}^{- 0,4 \times 2,5} = 43,25\text{e}^{-1} \approx 15,91$.
		
La fonction est décroissante sur $[2,5~;~+ \infty[$ de $f(2,5)\approx 15,91$ à $0$.	

$f(2,5) \approx 15,91$	est le maximum de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
\item %Soit $F$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 
		
\[F(t) = (- 108,125 - 43,25 t)\text{e}^{- 0,4 t}.\]
		
%Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
Sur $[0~;~+ \infty[$, \, $F$ est dérivable et sur intervalle :

$F'(t) = - 43,25\text{e}^{- 0,4 t}  - 0,4(- 108,125 - 43,25 t)\text{e}^{- 0,4 t} = \text{e}^{- 0,4 t}(- 43,25 + 0,4 \times 108,125 + 0,4 \times 43,25t) = \text{e}^{- 0,4 t}(- 43,25 + 43,25 + 17,3t) =  17,3t\text{e}^{- 0,4 t} = f(t)$.

Cette égalité montre que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item  %La valeur moyenne de $f$ sur $[a~;~b]$ est donnée par la formule : $V_m = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(t)\:\text{d}t$.
	
%Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [1~;~5]. On donnera la valeur approchée
%arrondie à $10^{-1}$ près.
On a $V_{[1~;~5]} = \dfrac{1}{5 - 1}\displaystyle\int_1^5 f(t)\:\text{d}t = \dfrac{1}{4}[F(t)]_1^5 = \dfrac{1}{4}(F(5) - F(1)) =$

$ 0,25\left((- 108,125 - 43,25 \times 5)\text{e}^{- 0,4 \times 5} - (- 108,125 - 43,25 \times 1)\text{e}^{- 0,4 \times 1} \right) = $

$0,25\left(\left(- 108,125 - 216,25)\text{e}^{- 2} \right) - (- 108,125 - 43,25 )\text{e}^{- 0,4 }\right) = 0,25 \times (- 324,375)\text{e}^{- 2} + 0,25 \times 151,375\text{e}^{- 0,4}$

$ \approx 14,39$, soit 14,4 au dixième près.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE C - INTERPRÉTATION DES RÉSULTATS DE LA PARTIE B}

\medskip

%On note $\mathcal{C}_f$ la courbe de la fonction $f$ représentée dans le repère ci-dessous. ($f$ est la fonction définie dans la partie B)

\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-1)(20,20)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=6](0,0)(20,20)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(20,20)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(20,20)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{17.3 x mul 2.71828 0.4 x mul exp div}
\uput[u](14,1){\blue $\mathcal{C}_f$}
\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,13)(1.23,13)(1.23,0)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,ArrowInside=->](1.23,13)(4.44,13)(4.44,0)
\end{pspicture}
\end{center}

%\medskip
%
%On suppose que $f(t)$ représente le taux d'IgG en g.L$^{-1}$ en fonction du temps $t$ en semaines (écoulées après contact avec l'antigène), où la fonction $f$ est celle de la partie B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quel est le taux maximal d'IgG du patient ? Quand ce taux est-il atteint ?
On a vu dans la partie B que le maximum est à peu près 15,91 et que ce maximum est obtenu pour $t = 2,5$~(semaines).
\item %Le test sérologique d'IgG est positif lorsque le taux d'IgG dépasse 13~g.L$^{-1}$. 

%Déterminer, à l'aide du graphique, sur quelle période une analyse de sang donnerait ce test positif.
L'analyse de sang donne ce test positif sur l'intervalle [1,2~;~4,5] environ.
\item %Sachant que le taux d'immunoglobuline est inférieur à $12$~g.L$^{-1}$ en moyenne chez un adulte sain, suivant ce modèle, durant quelles périodes le sujet pourrait-il être diagnostiqué sain ?
De la même façon on voit que le taux est inférieur à 12 sur l'intervalle [0~;~1] et sur l'intervalle [$5~;~+ \infty]$.
\end{enumerate}
\end{document}