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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\newcommand{\e}{\,\text{e\,}}	%%%le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d}	%%%le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}	%%%le i des complexes
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL -- Corrigé}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie }}
\rfoot{\small{27 novembre 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Biotechnologies~\decofourright\\[10pt]Nouvelle-Calédonie -- 27 novembre 2020}}

%\medskip
%L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
%
%L'usage de la calculatrice sans mémoire,\og type collège \fg est autorisé.
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 4 points}

%\bigskip
%
%\emph{Pour chaque question, une seule des réponses proposées est exacte. Chaque bonne réponse rapporte un point; une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'enlève pas de point.
%Donner sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée et une seule réponse est attendue par question.}

\medskip

Dans les deux premières questions. on considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
$(x) = (x + 2)\e^{-2x}$

On note $f'$ sa fonction dérivée.
 
La courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal d'origine O est donnée ci- dessous. 

Soit les points A(0~;~2) et B$(1~;~ -1)$. La droite (AB) est tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point A.

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.4,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-3,-4)(3,11)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.1pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=20](0,0)(-3,-4)(3,11)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1.01,1.01)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(1.01,1.01)
\psplot[plotpoints=1000]{-3}{2}{2 x 3 mul sub}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{3}{x 2 add 2.71828 2 x mul exp div}
\uput[d](2.9,0){$x$}\uput[ur](0,2){A}
\uput[l](0,10.8){$y$}\uput[dl](1,-1){B}
\uput[l](-2.1,-2.5){\blue $(\mathcal{C})$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 1 :}

\smallskip

$f'(0) =$
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}2 &\fbox{\blue\textbf{b.~~} $-3$} &\textbf{c.~~} $- 1$&\textbf{d.~~}$- \dfrac{3}{2}$
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Question 2 :}

\smallskip

L'ensemble des solutions de l'équation $f' (x) = 0$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$S = \{2\}$&\textbf{b.~~}$S = \{3\}$&\textbf{c.~~}$S = \{- 2\}$& \fbox{\blue \textbf{d.~~}$S = \left\{- \dfrac{3}{2}\right\}$}
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Dans les deux questions suivantes} on s'intéresse à la greffe de cornée en France. Les données utilisées portent sur l'année 2015 et sont extraites du bilan d'activité 2016 de l'agence de biomédecine sur le prélèvement, la greffe et l'inscription en attente de greffe.

47,6\,\% des inscrits en 2015 en Île-de-France ont reçu une greffe de cornée la même année. On choisit au hasard $100$ inscrits en 2015. Ce choix est assimilable à un tirage avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes greffées dans ce groupe. $X$ suit une loi binomiale de paramètres $100$ et $0,476$.

\emph{Les résultats sont arrondis à $0,001$ près}
\medskip

\textbf{Question 3 :}

\smallskip

La probabilité d'avoir au moins 40 personnes greffées est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}0,077 &\textbf{b.~~} 0,651 &\fbox{\blue \textbf{c.~~} 0,948} &\textbf{d.~~} 1,027
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Question 4 :}

\smallskip

Les conditions sont satisfaisantes pour approximer la loi de $X$ par une loi normale d'une variable aléatoire $Y$.

$P(37 \leqslant Y \leqslant 58) \approx $

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,038 &\textbf{a.~~} 0,872 &\textbf{a.~~} 0,853 & \fbox{\blue \textbf{a.~~} 0,964}
\end{tabularx}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 5 points}

\bigskip

Suite à un incident nucléaire, des traces de contamination ont été découvertes lors des contrôles réalisés de manière systématique à la sortie des zones nucléaires, notamment grâce au passage sous des portiques d'accès. 

Le tableau ci-dessous donne les résultats fournis, heure par heure, par un appareil de mesure de la radioactivité. Les nombres entiers $N_i$ représentent le nombre de particules recueillies par l'appareil en une seconde.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$ en heures	&0		&1	&2	&3	&4	&5	&6\\ \hline
$N_i$			&170	&102&63	&39	&24	&16	&9\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On pose $z_i = \ln{}\left(N_i\right)$ pour $i$ entier variant de 0 à 6.

On complète  le tableau donnant les valeurs de $z_i$ arrondies au centième 


\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$t_i$ en heures	&0		&1	&2	&3	&4	&5	&6\\ 
\hline
$N_i$			&170	&102&63	&39	&24	&16	&9\\ 
\hline
$z_i = \ln{}\left(N_i\right)$& \textcolor{blue}{$5,14$} & \textcolor{blue}{$4,62$} & \textcolor{blue}{$4,14$} & \textcolor{blue}{$3,66$} & \textcolor{blue}{$3,18$} & \textcolor{blue}{$2,77$} & \textcolor{blue}{$2,20$} \\ 
\hline 
\end{tabularx}
\end{center}

\item On représente le nuage de points de coordonnées $\left(t_i~;~z_i\right)$ dans le repère orthogonal ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(9,6)
%\multido{\n=0+1}{10}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,6)}
%\multido{\na=0.0+0.1}{61}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\na)(9,\na)}
\psgrid[xunit=1cm,yunit=0.75cm,subgriddiv=5,gridlabels=0,gridcolor=gray](-1,-1)(9,12)
\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(-1,-0.5)(9,6)
\uput[u](8.9,0){$t$}
\uput[l](0,5.9){$z$}
%%% corrigé
\psset{linecolor=blue}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=1.7](0,5.14)(1,4.62)(2,4.14)(3,3.66)(4,3.18)(5,2.77)(6,2.20)
\psplot{0}{9}{-0.48 x mul 5.12 add}
\psdots[linecolor=red](1.5,4.4)(6.5,2)
\uput[ur](1.5,4.4){\red A} \uput[ur](6.5,2){\red B}
\end{pspicture}
\end{center}

\item L'équation de la droite de régression linéaire de $z$ en $t$ donnée par la calculatrice, avec les coefficients arrondis à $10^{-3}$ près, est
$z=-0,481t+5,11$.
\end{enumerate}

Dans la suite, on prendra pour équation de la droite de régression linéaire:
$z = -0,48t +5,12$.

\begin{enumerate}[resume]
\item On représente la droite de régression linéaire dans le repère précédent en utilisant deux points: si $x=1,5$, alors $z=4,4$, et si $x=6,5$, alors $z=2$;
on prendra donc A\,$\left (1,5~;~4,4\right )$ et B\,$\left (6,5~;~2\right )$.

\item% En déduire une expression de $N$ en fonction de $t$.
$z = -0,48t +5,12$ et $z=\ln(N)$ donc $\ln(N)=-0,48t+5,12$ donc
$N=\e^{-0,48t+5,12}$.

\item L'appareil de mesure possède deux voyants (un rouge et un vert). Tant que le nombre de particules recueillies est strictement supérieur à 3, le voyant rouge est allumé. Lorsque le nombre de particules recueillies est inférieur ou égal à 3, le voyant rouge s'éteint et le voyant vert s'allume. 

%Déterminer, par le calcul, le nombre d'heures nécessaires pour voir le voyant vert s'allumer.

Le voyant vert s'allume si $N\leqslant 3$; on résout cette inéquation:

$N\leqslant 3
\iff \e^{-0,48t+5,12} \leqslant 3
\iff -0,48t +5,12 \leqslant \ln(3)
\iff 5,12 - \ln(3) \leqslant  0,48 t
\iff t \geqslant \dfrac{5,12-\ln(3)}{0,48}$

Or $\dfrac{5,12-\ln(3)}{0,48}\approx 10,37$ donc le voyant sera vert au bout de 11 heures.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 3 \hfill 5 points}

\bigskip

On introduit initialement $200$ bactéries dans un milieu clos.

Dans cet exercice, on s'intéresse à l'évolution de la population de bactéries.

\bigskip

\textbf{Partie A : un premier modèle}

\medskip

Au XVII\up{e} siècle, Thomas Malthus propose un modèle décrivant l'évolution d'une population isolée connaissant le taux de natalité et le taux de mortalité.

On note $u_n$ la population de bactéries présentes dans ce milieu $n$ heures après l'introduction des bactéries. Ainsi $u_0 = 200$.

Selon le modèle proposé par Malthus, la suite $\left(u_n\right)$ vérifie, pour tout $n$ :
$u_{n+1} = u_n + au_n- bu_n$,

où $a$ représente le taux de natalité et $b$ représente le taux de mortalité de la population. Les réels $a$ et $b$, étant des taux, sont compris entre $0$ et $1$.

\smallskip

On suppose que $a = 0,12$ et $b = 0,07$, c'est-à-dire:
$u_{n+1}= u_n+ 0,12u_n - 0,07u_n.$

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le nombre de bactéries 1 heure après le début de l'expérience est:\\
$u_1=u_0 + 0,12 u_0 - 0,07 u_0= 200 + 0,12 \times 200 - 0,07 \times 200 = 210$.		
		
		\item %Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $1,05$.
$u_{n+1}= u_n+ 0,12u_n - 0,07u_n = \left (1+0,12-0,07\right ) u_n = 1,05 u_n$ 

Donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=1,05$ et de premier terme $u_0=200$.
		
		\item %En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
On en déduit que, pour tout $n$, $u_n=u_0\times q^n = 200\times 1,05^n$.		
		
	\end{enumerate}
\item On complète le tableau de valeurs de cette suite, en arrondissant les résultats  à l'entier près.

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$		&0	&1 	&5 	&10 &20 &40 &60 &100\\ \hline
$u_n$	& \textcolor{blue}{200} & \textcolor{blue}{210} & \textcolor{blue}{255} & \textcolor{blue}{326} 	& \textcolor{blue}{531} 	& \textcolor{blue}{\np{1408}} 	& \textcolor{blue}{\np{3736}} 	& \textcolor{blue}{\np{26300}} \\ \hline
\end{tabularx}

\smallskip

\item  
	\begin{enumerate}
		\item La raison de la suite géométrique est $1,05>1$, et $u_0=200>0$; donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n=+\infty$.% Justifier la réponse. 
		
La population de bactéries tend vers $+\infty$.
		
		\item Il paraît peu réaliste que la population des bactéries augmente indéfiniment.
	\end{enumerate}
	
\item %Donner un exemple de taux de natalité $a$ et de taux de mortalité $b$ qui, selon le modèle de Malthus, amènerait la population à disparaitre. Justifier la réponse.
Pour que selon ce modèle la population disparaisse, il faut que la suite géométrique ait une raison strictement inférieure à 1, c'est-à-dire $1+a-b<1$.\\
On peut prendre par exemple, $a=0,07$ et $b=0,12$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : un deuxième modèle}

\medskip

En 1840, Pierre François Verhulst propose un modèle différent selon lequel les taux de natalité et de mortalité dépendent de la population.

On note $v_n$ la population de bactéries dans ce milieu $n$ heures après l'introduction de $v_0 =200$ bactéries, et on admet que, pour tout entier naturel $n$ :
$v_{n+1} = 1,12v_n - \np{0,0001}v_n^2.$

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme ci-contre:\qquad
\begin{tabular}[t]{|l|}
\firsthline
$V \gets 200$\\
$N \gets 0$\\
Tant que $V < \np{1100}$\\
\quad $V \gets 1,12\times V - \np{0,0001}\times V^2$\\
\quad $N \gets N + 1$\\
Fin Tant que\\
\hline
\end{tabular}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item On complète le tableau ci-dessous en exécutant cet algorithme à la main, et en arrondissant les résultats à l'entier près.
		
\smallskip		
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$V$	&200&\textcolor{blue}{220}	& \textcolor{blue}{242}	& \textcolor{blue}{265}	& \textcolor{blue}{289}\\ \hline
$N$	&0	&1	&2	&3	&4\\ \hline
\end{tabularx}

\smallskip
		
		\item À la fin de son exécution, la variable $N$ contient la valeur $34$. %Quel est le rôle de cet algorithme ?
		
Donc 34 est la première valeur de $N$ pour laquelle la variable $V$ n'est plus inférieure à $\np{1100}$.

Autrement dit, c'est au bout de 34 heures que la population de bactéries dépassera \np{1100}.		
		
%Comment peut-on interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice ?
	\end{enumerate}
\item Le graphique ci-dessous donne la représentation des premiers termes de la suite $\left(v_n\right)$.

%Que peut-on conjecturer quant à l'évolution de cette population à long terme ?

\begin{center}
\psset{xunit =0.1cm,yunit=0.005cm}
\begin{pspicture}(-15,-50)(70,1450)
\multido{\n=0+10}{8}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,1400)}
\multido{\n=0+200}{8}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(70,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=200](0,0)(0,0)(70,1400)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,200)(5,315.827)(10,469.518)(15,646.44)(20,818.398)(25,958.965)(30,1057.82)(40,1156.19)(50,1187.43)(60,1196.47)(70,1199.01)% 
\end{pspicture}
\end{center}

D'après le graphique, on peut conjecturer que la population de bactéries va tendre vers \np{1200}.
\end{enumerate}


\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 4 \hfill 5 points}

\bigskip

\textbf{Partie A : résolution d'une équation différentielle} 

\medskip

On considère l'équation différentielle
$\qquad (E) :\qquad  5y' + 7,9y = 0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E)$.
D'après le cours, les solutions de l'équation différentielle $(E)\qquad ay'+by=0$ sont les fonctions $f$ définies par $f(t)= k\e^{-\frac{b}{a}t}$ où $k$ est un réel quelconque.

Donc les solutions de l'équation différentielle $(E)\qquad 5y'+7,9y=0$ sont les fonctions $f$ définies par $f(t)= k\e^{-\frac{7,9}{5}t}$ où $k$ est un réel quelconque, soit $f(t)=k\e^{-1,58t}$.

\item %Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$, définie sur $[0~;~ +\infty[$, qui vérifie la condition : $f(0) = 0,001$.
$f(0) = 0,001 \iff k\e^{0} = 0,001 \iff k=0,001$

Donc la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$, définie sur $[0~;~ +\infty[$, qui vérifie la condition  $f(0) = 0,001$ est définie par $f(t)= 0,001\e^{-1,58t}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : loi de Lambert Beer}

\medskip

Un faisceau lumineux incident, d'intensité $I_0$, traverse une solution contenue dans un tube transparent. À la sortie du tube, l'intensité $I$ du faisceau lumineux est mesurée par un détecteur.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,3)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=lightgray](0,1.4)(2.5,1.4)\psline{->}(0.8,1.2)(1.5,1.2)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=lightgray](3.5,1.4)(6,1.4)\psline{->}(4.3,1.2)(5,1.2)
\uput[u](1.15,1.2){$I_0$}\uput[u](4.65,1.2){$I$}
\psline(2.5,2.4)(2.5,0.5)\psline(3.5,2.4)(3.5,0.5)
\psarc(3,0.5){0.5}{180}{360}
\pscustom[fillstyle=vlines]
{\psline(2.5,2)(2.5,0.5)
\psarc(3,0.5){0.5}{180}{360}
\psline(3.5,0.5)(3.5,2)
}
\end{pspicture}
\end{center}

La loi de Lambert Beer décrit l'intensité $I$ du faisceau lumineux à la sortie en fonction de l'intensité du faisceau incident $I_0$, de la concentration $c$ de la substance absorbante et de l'épaisseur $d$ du milieu traversé par la lumière selon la relation:

\[I(c) = I_0\e^{-\epsilon dc}\quad  \text{où }\: \epsilon\:\text{ est le coefficient d'extinction molaire du soluté.}\]

Initialement, la cuvette ne contient que du solvant ($c =0$ mol.L$^{-1}$), on augmente la concentration de la substance en ajoutant du soluté de façon continue.

Dans cette expérience :

\setlength\parindent{1.25cm}
\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item l'épaisseur $d$ du milieu traversé est de 1 cm
\item le coefficient d'extinction molaire $\epsilon$ du soluté est de 1,58 L.mol$^{-1}$.cm$^{-1}$
\item l'intensité du faisceau incident est $I_0 = 0,001$ W.sr$^{-1}$ (Watt par stéradian)
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Vérifier que la fonction $l$, fonction de la variable $c$, ainsi définie est la solution particulière de l'équation différentielle (E) déterminée dans la question 2 de la partie A.
On a $\epsilon=1,58$, $d=1$ et $I_0=0,001$ donc $I(c) = I_0\e^{-\epsilon dc}$ devient $I(c)= 0,001 \e^{-1,58c}$.

Donc la fonction $l$, fonction de la variable $c$, est la solution particulière de l'équation différentielle (E) déterminée dans la question 2 de la partie A.

%\end{enumerate}

%Dans la suite de l'exercice, on prendra $I(c)=0,001 \e^{-1,58 c}$.

%\begin{enumerate}[resume]
\item %Étudier sur $[0~;~ +\infty[$, les variations de la fonction $I$. Est-ce cohérent avec le contexte ? Justifier.
$I'(c)=0,001 \times (-1,58) \e^{-1,58c} = \np{-0,00158}\e^{-1,58c} <0$, donc la fonction $I$ est strictement décroissante sur $[0~;~ +\infty[$,

C'est tout à fait cohérent que l'intensité diminue quand la concentration de la substance absorbante augmente.

\item %Déterminer la valeur exacte, puis arrondie à 0,01 mol.L$^{-1}$, de la concentration $c$ permettant de récupérer 75\,\% de l'intensité du faisceau incident à la sortie de la cuvette.
Pour récupérer 75\,\% de l'intensité du faisceau incident à la sortie de la cuvette, il faut que la concentration $c$ vérifie $\dfrac{I(c)}{I_0} = 75\,\%$, c'est-à-dire $\dfrac{0,001\e^{-1,58c}}{0,001}= 0,75$ ou encore $\e^{-1,58c}=0,75$.

$\e^{-1,58c}=0,75 \iff -1,58c = \ln(0,75) \iff c = \dfrac{\ln(0,75)}{-1,58}$ soit environ $0,18$

\item L'absorbance de la substance est définie par $A(c) = \ln{}\left( \dfrac{I_0}{I(c)}\right)$. 

%Donner, sous forme simplifiée, l'expression de l'absorbance en fonction de $c$.
$A(c) = \ln{}\left( \dfrac{I_0}{I(c)}\right)= \ln \left ( \dfrac{0,001}{0,001\e^{-1,58c}}\right )
=  \ln \left ( \e^{1,58c}\right ) = 1,58c$.

\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie C : valeur moyenne}

\medskip

On admet que l'intensité moyenne du faisceau lumineux lorsque la concentration varie de 0,5 mol.L$^{-1}$ à 1,3 mol.L$^{-1}$ est égale à : $m = \dfrac{5}{4}\displaystyle\int_{0,5}^{1,3} I(c)\:\text{d}c$.

%Déterminer la valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{-4}$ près, de $m$.

La fonction $x\longmapsto \e^{kx}$ a pour primitive la fonction $x \longmapsto \dfrac{1}{k}\e^{kx}$ donc la fonction $I$ a pour primitive la fonction  $c \longmapsto -\dfrac{0,001}{1,58}\e^{-1,58c}$.

Donc:\\[8pt]
$m = \dfrac{5}{4}\displaystyle\int_{0,5}^{1,3} I(c)\:\text{d}c
= \dfrac{5}{4} \left [  -\dfrac{0,001}{1,58}\e^{-1,58c}\right ]_{0,5}^{1,3}
= \dfrac{5}{4} \left [ \left (-\dfrac{0,001}{1,58}\e^{-1,58\times 1,3} \right ) - \left ( -\dfrac{0,001}{1,58}\e^{-1,58\times 0,5}\right )\right ]\\[8pt] 
\phantom{m}
=  \dfrac{5}{4}\times \dfrac{0,001}{1,58} \left [- \e^{-2,054} + \e^{-0,79}\right ]
= \dfrac{5}{6320} \left [ \e^{-0,79} - \e^{-2,054} \right ]
\approx 3\times 10^{-4}$


\end{document}


\newpage

\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE 1 ( à rendre avec la copie)}
\end{center}

\medskip
\textbf{Exercice 2}

Question 1

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$ en heures	&0		&1	&2	&3	&4	&5	&6\\ \hline
$N_i$			&170	&102&63	&39	&24	&16	&9\\ \hline
$z_i = \ln{}\left(N_i\right)$&&&&&&&\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

Questions 2. et 4.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(9,6)
\multido{\n=0+1}{10}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,6)}
\multido{\na=0.0+0.1}{61}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\na)(9,\na)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=200]{->}(0,0)(0,0)(9,6)
\uput[u](8.9,0){$t$}
\uput[l](0,5.9){$z$}
\end{pspicture}

\medskip

\textbf{\large ANNEXE 2 ( à rendre avec la copie)}
\end{center}

\textbf{Exercice 3}

Partie A, question 2.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$		&0	&1 	&5 	&10 &20 &40 &60 &100\\ \hline
$u_n$	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Partie B, question 1. a.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$V$	&200&	&	&	&\\ \hline
$N$	&0	&1	&2	&3	&4\\ \hline
\end{tabularx}
\end{document}