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%Tapuscrit : Nicolas LINCE
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL biotechnologies}  
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{16 juin 2016}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{
\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL biotechnologies~\decofourright\\[4pt] Métropole--La Réunion 16 juin 2016}}

% \vspace{0,3cm}
 
% Calculatrice autorisée conformément à la circulaire \no 99-186 du 16 novembre 1999.
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 6 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $M$ suit la loi $\mathcal{N}(250~;~5^2)$ et un fromage est refusé si sa masse est inférieure à 240~g.

On cherche donc grâce à la calculatrice $P(M < 240) = 0,023 \textrm{ à } 10^{-3}$ près.

La probabilité qu'un fromage frais prélevé au hasard dans la production soit refusé est de 0,023.

\item 

	\begin{enumerate}
		\item $X$ compte le nombre de fromages en sous-poids dans un tirage supposé avec remise de 150 fromages avec probabilité d'être en sous poids pour chacun d'eux de $2\,\%$.

On en déduit que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=150$ et $p=2\,\% = 0,02$.
		\item On cherche $P(X\leqslant 5)=0,918$ arrondi à $10^{-3}$ à la calculatrice.
        
La probabilité qu'il y ait dans le prélèvement au maximum cinq fromages de
masse insuffisante est de $0,918$.
		\item D'après le cours, lorsque $X$ suit la loi $\mathcal{B}(n~;~p)$ alors $E(X) = n\times p$,
        
donc ici ${E(X)=150\times 0,02=3}$.
        
Cela signifie que sur un grand nombre d'échantillons de 150 fromages, on trouvera en moyenne dans chaque échantillon 3 fromages en sous-poids.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence $f$ des consommateurs de la laiterie préférant les fromages secs dans un échantillon de $400$~personnes sachant que la laiterie estime la proportion de consommateurs préférant les fromages secs à $p=18\,\%$ est :
\[I=\left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]\]

 ce qui donne avec les bornes arrondies à $10^{-3}$ suivant les règles vues en cours : \[I=[0,142~;~0,218]\]
		\item La fréquence observée dans cet échantillon est de $\dfrac{55}{400}= \np{0,1375} \notin I$.
        
On en déduit, au risque d'erreur $5\,\%$, que la laiterie doit considérer que la préférence des consommateurs a changé.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $T$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ donc $E(T)=\dfrac{1}{\lambda}$. 
        
L'énoncé dit qu'en moyenne une balance reste réglée correctement 90~h donc ${E(T) = 90}$.
        
On en déduit que $\lambda=\dfrac{1}{90}$
		\item Calculons $P\left(T \geqslant t_0\right)=1-P(T\leqslant t_0)=1-\int_0^{t_0}\lambda\e^{-\lambda t} \ \textrm{d} t=1-\left[-\e^{-\lambda t}\right]_0^{t_0}=\e^{-\lambda t_0}$
        
        On cherche $t_0$ tel que 
\begin{align*}
        P\left(T \geqslant t_0\right) = 0,93&\iff \e^{-\lambda t_0}=0,93\\
        & \iff -\lambda t_0=\ln(0,93)\\
        & \iff t_0=-\dfrac{\ln(0,93)}{\lambda}\\
        & \iff t_0=-90\ln(0,93)\\
  P\left(T \geqslant t_0\right) = 0,93       &\iff t_0 = 6,5 \:\textrm{h arrondi à } 0,1\\
		\end{align*}
        
Cela signifie que pour $93\,\%$ des balances, le temps de fonctionnement sans dérèglement sera supérieur à 6,5~h. On peut aisément en déduire que $7\,\%$ des balances se dérégleront en moins de 6,5~h de fonctionnement.
\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Les solutions de l'équation différentielle $(E) :\qquad  y' + 0,162y = 20,3\qquad$ sont les fonctions $f_k$ définies sur $[0~;~60]$ de la forme $f_k(t)=k\e^{-0,162t}+\dfrac{20,3}{0,162}$ avec $k\in\R$.
		\item On sait que $f(0)=21$.
        
On cherche donc $k$ tel que $f_k(0)=21\iff  k+\dfrac{20,3}{0,162}=21\iff k=21-\dfrac{20,3}{0,162}$
        
donc $f(t)=125,308 - 104,309 \e^{-0,162t}$. (On a arrondi les constantes à $10^{-3}$)
   	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $g(t) = 125 -104 \text{e}^{- 0,16t}$
        
On pose $u(t)= - 0,16t$ donc $u'(t)=-0,16$

de plus $\left(\e^u\right)'=u'\times \e^u$

donc $g'(t)=-104\times(-0,16)\text{e}^{- 0,16t}=16,64\text{e}^{- 0,16t}$
        
Pour $t\in [0~;~60]$, $\text{e}^{- 0,16t}>0$ donc $g'(t)>0$
		\item On déduit de la question précédente :
        
        \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.2,2.4){$0$}  \uput[u](6.5,2.4){$60$} 
\uput[u](0.5,1.9){$g'(t)$} \uput[u](4,1.9){$+$}
\rput(0.5,1){$g$} \uput[u](1.2,0){0} \uput[d](6.5,2){$125$}
\psline{->}(1.5,0.5)(6.2,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}
        
        
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La température au bout de $9$~minutes est $g(9)=100$~\degres arrondi au degré.
		\item Par lecture graphique, la température atteint 120~\degres au bout de 19 minutes, on pourra donc arrêter l'autoclave 3 minutes plus tard soit au bout de 23 minutes

\begin{center}
\psset{xunit=0.16cm,yunit=0.6mm,algebraic=true,arrowsize=3pt 5}
\begin{pspicture}(-2,-7)(63,137)
\multips(0,0)(0,5){28}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,0)(63,0)}
\multips(0,0)(1,0){63}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,0)(0,137)}
\psaxes[linewidth=.25pt,Dx=5,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(63,137)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{63}{125-104*EXP(-0.16*x)}
\uput[d](59,10){temps (min)}
\uput[r](1.5,130){température \degres~C}

\psline[linecolor=red]{->}(0,120)(19,120)%question 3b
\psline[linecolor=red]{->}(19,120)(19,0)%question 3b
\uput[d](19,-1){\red{19}}%question 3b

\end{pspicture}
\end{center}

		\item On résout :       
        \begin{align*}
        g(t)>120& \iff 125 -104 \text{e}^{- 0,16t}>120\\
        &\iff 104 \text{e}^{- 0,16t}<5\\
        &\iff \text{e}^{- 0,16t}<\dfrac{5}{104}\\
        &\iff {- 0,16t}<\ln\left(\dfrac{5}{104}\right)\\
        &\iff t>-\dfrac{1}{0,16}\ln\left(\dfrac{5}{104}\right)\\
        &\iff t>19 \:\textrm{min (arrondi à l'unité)}\\
\end{align*}

puis on fait le même raisonnement qu'à la question précédente.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
\newpage
\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points}

\medskip

\parbox{0.56\linewidth}{\textbf{1.}  La courbe $C$ ci-contre est la représentation graphique
d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-4~;~4]$. La droite T est la tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse $- 1$.

$f(-1)=4$

$f'(-1)=-1$ (coefficient directeur de la tangente T)}\hfill \parbox{0.34\linewidth}{\psset{unit=0.85cm}\begin{pspicture*}(-3,-2.5)(3,6.1)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1](-3,-3)(3,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3,-2.5)(3,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(3,6)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{2.5}{x 3 exp  4 x mul sub  1 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2.5}{2.5}{ 3 x sub}
\uput[l](-2.4,-1.8){\blue $C$}\uput[ur](2.5,0.5){T}
\end{pspicture*}}

\parbox{0.56\linewidth}{\textbf{2.} La fonction $g$ est positive sur $[1~;~4]$ donc l'aire cherchée vaut en unités d'aire:

\begin{align*}
\mathcal{A}&=\int_1^4 g(x)\ \textrm{d}x\\
&=\int_1^4 \dfrac{1}{x} + x + 1\ \textrm{d}x\\
&=\left[\ln x + \dfrac{x^2}{2}+x\right]_1^4\\
\mathcal{A}&=\dfrac{21}{2}+\ln 4\\
\end{align*}}
\hfill \parbox{0.34\linewidth}{
\psset{unit=0.85cm}\begin{pspicture*}(-1,-0.75)(5.5,6.5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1](0,0)(6,7)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.99,-0.5)(5.5,6.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(5.5,6.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{5}{1 x div x  add 1 add}
\uput[dr](1.5,3){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}}

\medskip

\parbox{0.66\linewidth}{\textbf{3.} Le graphique ci-contre donne deux courbes $C_1$ et $C_2$.

Ces deux courbes sont représentatives de deux fonctions
définies sur $]0~;~+\infty[$ : une fonction $h$ et une de ses
primitives $H$.

On remarque que $C_1$ descend lorsque $C_2$ est en dessous de l'axe des abscisses et que $C_1$ monte lorsque $C_2$ est au dessus de l'axe des abscisses. Comme on sait que $H'=h$ on en déduit que la courbe de $H$ est $C_1$.

}\hfill \parbox{0.33\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-3)(3.5,3.1)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1](0,-3)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-2.99)(3.5,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(3.5,3)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{3.2}{x ln  1 sub x mul 2.5 mul 1 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{0.01}{3.2}{x ln 2.5 mul}
\uput[r](3,1.8){\blue $C_1$}\uput[ul](3,2.7){\green $C_2$}
\end{pspicture*}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 	\begin{enumerate}
		\item Pour augmenter un nombre de $6\%$, on le multiplie par $1+6\%=1,06$ donc $d_1=1,06\times d_0=10,6$
		\item Pour la même raison qu'à la question précédente, on montre que pour tout entier naturel $n$, $d_{n+1}=(1+6\%)d_n=1,06d_n$ donc la suite $(d_n)$ est géométrique de raison $q=1,06$ et donc pour tout entier naturel $n$, $d_n=d_0\times q^n=10\times 1,06^n$. 
		\item La distance qu'Alice pourra parcourir en septembre 2014 est $d_8=10\times 1,06^8=15,9$ km arrondi à 0,1km.
		\item On cherche $n$ tel que 
        \begin{align*}
        d_n\geqslant25&\iff 10\times1,06^n\geqslant25\\
        &\iff 1,06^n\geqslant 2,5\\
        &\iff n\times \ln 1,06\geqslant \ln 2,5\\
        &\iff n\geqslant \dfrac{\ln 2,5}{\ln 1,06}\\
        &\iff n\geqslant 16\\
        \end{align*}

Alice sera capable de courir en une fois 25 km  au bout de 16 mois.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Avec cet algorithme, Alice cherche à savoir au bout de combien de mois (après septembre 2015) elle mettra moins de 50 minutes pour parcourir les 10 premiers kilomètres de la course.
		\item 
\begin{center}\footnotesize
\begin{tabularx}{\linewidth}[t]{|m{2cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Valeur de $N$& 0 &1& 2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline
Valeur de $t$\: (arrondie à $10^{-2}$)&60 &58,80 &57,62&56,47&55,34&54,23&53,15&52,09&51,05&50,03&49,03\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\normalsize
		\item Les valeurs affichées en sortie par l'algorithme sont $N=10$ et $t=49,03$.

Alice peut en déduire qu'elle mettra moins de 50 minutes pour parcourir les 10 premiers kilomètres en juillet 2016 ($N=10$)
		\item En novembre 2016, $N=14$. Alice courra les 10 premiers kilomètres en 
		
${t=60\times 0,98^{14}} = 45$  minutes soit 0,75~h.
        
Elle courra donc à une vitesse moyenne 
        
$v=\dfrac{10}{0,75} = 13,33$ km.h$^{-1}$.
        
À $82\,\%$ de cette vitesse elle courra le semi-marathon à une vitesse moyenne 

${v_m = 0,82*v} = 10,93$  km.h$^{-1}$.
        
Elle mettra donc $t_m =\dfrac{21}{10,93}=1,92$ h pour parcourir les 21~km du semi marathon. Elle devrait donc réussir à se qualifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\end{document}