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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL  Biochimie}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{17 juin 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Biochimie Métropole~\decofourright\\[4pt]17 juin 2011}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

%Dans un refuge animalier, pendant 12 semaines à partir du 1\up{er} juillet 2010, on a noté, pour chaque semaine, le nombre de cas confirmés d'animaux atteints du virus V. On a obtenu le tableau suivant :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.25cm}|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Rang de la semaine : $x_{i}$&1 &2 &3 &4 &5 &6 	&7 	&8 	&9 	&10 &11 &12\\ \hline 
%Effectif : $y_{i}$			&2 	&1 &4 &6 &6 &10 &10 &14 &10 &13 &13 &17\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item ~%Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{j}\right)$ dans un repère orthonormal d'unité 1~cm. 
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(13,18)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(13,18)
\psdots(1,0)(2,1)(3,4)(4,6)(5,6)(6,10)(7,10)(8,14)(9,10)(10,13)(11,13)(12,17)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{12.5}{4 x mul 3 div 1 6 div add}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.8](3.5,4.833)(9.5,12.833)
\uput[l](3.5,4.833){G$_1$}\uput[l](9.5,12.833){G$_2$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item  %Déterminer les coordonnées, sous forme de fraction, du point moyen $G_{1}$ de la série des six premières valeurs, ainsi que celles du point moyen $G_{2}$ de la série des six dernières valeurs.
On trouve  $G_{1}\left(\dfrac{7}{2}~;~\dfrac{29}{6} \right)$ et $G_{2}\left(\dfrac{19}{2}~;~\dfrac{77}{6} \right)$
\item  %Placer les points $G_{1}$ et $G_{2}$ sur la figure précédente et tracer la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$.
Voir ci-dessus 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que l'équation réduite de la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ est : $y = \dfrac{4}{3}x+ \dfrac{1}{6}$.
L'équation étant de la forme $y = ax + b$, on doit avoir :
		
$\left\{\begin{array}{l c l}
\dfrac{29}{6} &=& \dfrac{7}{2}a + b\\
\dfrac{77}{6}&=&\dfrac{19}{2}a + b
\end{array}\right.$ d'où par différence :

$\dfrac{77}{6} - \dfrac{29}{6} = a\left(\dfrac{19}{2} - \dfrac{7}{2} \right)$ ou  $\dfrac{48}{6} = \dfrac{12}{2}a$ ou encore $8 = 6a$, d'où $a = \dfrac{4}{3}$.

En reportant dans la première équation :

$\dfrac{29}{6} = \dfrac{7}{2}\times \dfrac{4}{3} + b$, d'où $b = \dfrac{29}{6} - \dfrac{14}{3} = \dfrac{1}{6}$. D'où l'équation attendue.		 
		\item %Si l'on considère que cette droite est la droite d'ajustement de la série, quel serait le nombre de cas confirmés d'animaux atteints du virus au cours de la 15\up{e} semaine ?
Avec $x = 15$, on obtient $y = 	\dfrac{4}{3}\times 15 + \dfrac{1}{6} = 20 + \dfrac{}{6} \approx 20$ cas confirmés d'animaux atteints du virus.	
	\end{enumerate} 
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
%Pour des raisons sanitaires, le refuge doit fermer dès que le nombre de cas dépasse l'effectif de 50~animaux atteints du virus. Si cette épidémie se poursuit, et si l'on admet que l'ajustement défini à la question précédente reste valable, devra-t-on fermer le refuge avant sa désinfection annuelle, qui a lieu pendant la dernière semaine de décembre (26\up{e} semaine) ?
Avec $x = 26$, on obtient $y = 	\dfrac{4}{3}\times 26 + \dfrac{1}{6} = \dfrac{104}{3} + \dfrac{1}{6} =  \dfrac{208}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{208}{6} \approx 35$ cas confirmés d'animaux atteints du virus. Donc on ne fermera pas le refuge.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction}

\medskip
 
%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~6] par l'expression :

\[f(t) = 5\text{e}^{- 0,35t}.\]

\begin{enumerate}
\item %Montrer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle [0~;~6].
$f$ est dérivable sur [0~;~6] et sur cet intervalle : $f'(t) = 5 \times (- 0,35) \text{e}^{- 0,35t} = -1,75\text{e}^{- 0,35t}$.

On sait que quel que soit le réel $t,\:, \text{e}^{- 0,35t} > 0$, donc $f'(t) < 0$ sur [0~;~6] : la fonction $f$ est décroissante sur [0~;~6]. 
\item %Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (donner les valeurs arrondies au dixième) :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t$		&0 	&0,5&1 	&1,5&2 		&2,5	&3 		&3,5	&4 		&4,5	&5 		&5,5	&6\\  \hline 
$f(t)$	&5	&4,2&3,5&3	&2,5	&2,1	&1,7	&1,5	&1,2	&1,0	&0,9	&0,7	&0,6\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip 

\item ~%Tracer la courbe représentative $(C)$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormal en prenant pour unité 2~cm sur chaque axe.
\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(6.1,5.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(6.1,5.5)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,5)(0.5,4.2)(1,3.5)(1.5,3)(2,2.5)(2.5,2.1)(3,1.7)(3.5,1.5)(4,1.2)(4.5,1)(5,0.9)(5.5,0.7)(6,0.6)
\psset{arrowsize=3pt 4}
\uput[d](4.6,0){4,6}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,1)(4.6,1)(4.6,0)
\end{pspicture}
\end{center} 
\item %Résoudre graphiquement, sur l'intervalle [0~;~6], l'inéquation : $f(t) \leqslant 1$. 
%On fera apparaître les traits de construction.
On a donc $f(t) \leqslant 1$ si $6 \geqslant t \geqslant 4,6$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : injection d'un médicament}

\medskip
 
%Lorsque la pénicilline est injectée directement dans le sang, on considère que sa vitesse d'élimination est, à chaque instant, proportionnelle à la quantité de pénicilline présente dans le sang à cet instant.
%
%\medskip
% 
%Ainsi, la quantité de pénicilline $Q(t)$, exprimée en milligrammes, présente dans le sang à l'instant $t$ ($t \geqslant 0$, exprimé en heures), est solution de l'équation différentielle :
 
\[Q'(t) = -a Q(t),\quad \text{où}\, a\:  \text{ est un réel}.\]
 
%À l'instant $t = 0$, on injecte une dose de 5~mg de pénicilline.
 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que, pour tout réel $t \geqslant 0$ : $\quad  Q(t) = 5\text{e}^{-at}$.
La solution générale de l'équation différentielle est $Q(t) = K\text{e}^{- at}$ avec $K$ réel quelconque.

Ici on a $Q(0) = 5$ soit $K\text{e}^{- a \times 0}  = 5$, d'où $K = 5$.

On a donc $Q(t) = 5\text{e}^{-at}$. $t$ en heures et $Q$ en milligrammes).
\item %Sachant qu'au bout de 2 heures, la quantité de pénicilline présente dans le sang a diminué 
%de moitié, montrer que : $a = \dfrac{\ln 2}{2}$. Donner une valeur arrondie de $a$ au centième.
On a $Q(2) = \dfrac{5}{2} = 2,5$, soit  $5\text{e}^{-a\times 2} = 2,5$ ou $2\text{e}^{-2a}$ ou encore $\text{e}^{-2a} = \dfrac{1}{2}$ ; en prenant le logarithme népérien :

$- 2a = \ln \left(\frac{1}{2} \right)$ ou $- 2a = - \ln 2$ et enfin $a = \dfrac{\ln 2}{2} \approx 0,35$ au centième près.

Conclusion : $q(t) = 5\text{e}^{-0,35t}$. 
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
%On admet que la fonction $f$ définie à la partie A décrit de façon satisfaisante la quantité de pénicilline présente dans le sang entre $0$ et $6$ heures.
 
%Déterminer à partir de quel instant, exprimé en heures et minutes et arrondi à la minute, la quantité de pénicilline présente dans le sang sera inférieure à 1~mg.
Il faut résoudre à la minute près l'inéquation :

$Q(t) < 1$, soit  $5\text{e}^{-0,35t} < 1 $ ou $\text{e}^{-0,35t} < \frac{1}{5}$ ou $\text{e}^{-0,35t} < 0,2$, d'où en prenant le logarithme 

$-0,35t < \ln 0,2$ ou $0,35t > -\ln 0,2$ et enfin $t > \dfrac{-\ln 0,2}{0,35}$.

Or $\dfrac{-\ln 0,2}{0,35} \approx 4,598$, soit 4~h et 0,598~h ou 4~h et $0,598 \times 60 \approx 35,9$~min d'où finalement  : la quantité de pénicilline présente dans le sang sera inférieure à 1~mg,  4~h 36~min après l'injection.
\end{enumerate}
\end{document}