\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
\usepackage{tabularx,multirow}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{colortbl}
\usepackage{pifont}
\usepackage[squaren,Gray]{SIunits}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%correction Jean-Claude Souque
\usepackage{pst-plot,pst-func,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{fp,multido}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\newcommand{\e}{\text{e}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{babel}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat STL Biotechnologies},
pdftitle = {Métropole--La Réunion - 7 septembre 2015},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\frenchbsetup{StandardLists=true}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\addtolength{\headheight}{\baselineskip}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL  biotechnologies}  
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{7 septembre 2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~ Corrigé du baccalauréat STL biotechnologies ~\decofourright\\[4pt]Métropole--La Réunion \hspace{0.5em}7 septembre 2015 }}
\end{center}
    
\medskip
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}   

\medskip
{\footnotesize
Dans une grande salle parisienne, lors de huit concerts différents, on a relevé à l'aide d'un
sonomètre la pression acoustique (en Pascal : Pa) à laquelle est soumise l'oreille d'une personne
ainsi que le niveau d'intensité sonore (en décibel: dB) du bruit responsable de cette pression.

Les résultats obtenus sont présentés dans le tableau ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Pression acoustique : $p_i$ &0,5 	&1 		&3 	&5 	&7 		&10 	&13 	&15\\ \hline
Intensité sonore : $y_i$	&88 	&94 	&103&108&111 	&114 	&116 	&117\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Le nuage de points correspondant est donné ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.2cm}
\begin{pspicture}(-2,-4)(20,52)
\multido{\n=0+5}{11}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(20,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=80,Dy=5](0,0)(20,50)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,linecolor=red,dotscale=2](0.5,8)(1,14)(3,23)(5,28)(7,31)(10,34)(13,36)(15,37)
\uput[d](10,-2.5){Pression acoustique (en Pa)}
\rput{90}(-2,25){Intensité sonore (en dB)}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Un ajustement affine du nuage de points ne semble pas pertinent. Les points ne sont guère alignés. 
\item On pose $x_i = \log p_i$. On rappelle que la fonction log désigne la fonction logarithme décimal.

 Complétons le tableau suivant en arrondissant les valeurs de $x_i$ à $10^{- 2}$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_i = \log p_i$ 			& $-$\np{0.30}	& 	0	& \np{0.48}	& \np{0.70}	&\np{0.85} 		& 1		& \np{1.11}		&\np{1.18}\\ \hline
Intensité sonore : $y_i$	&88 &94 	&103&108&111 	&114 	&116 	&117\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Dans le repère donné en annexe, le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ y est représenté.
\item Les coordonnées de G sont ($\overline{x}~;~\overline{y}$)
\[
\overline{x}_G=\dfrac{-\np{0.30}+0+\dots+\np{1.11}+\np{1.18}}{8}\approx\np{0.63} \qquad \overline{y}_G=\dfrac{\np{88}+\np{94}+\dots+\np{116}+\np{117}}{8}\approx\np{106.38}\]
G $\left( \np{0.63}~;~\np{106.38} \right)$ est placé  sur le graphique donné en annexe.

\item À l'aide de la calculatrice, en arrondissant les coefficients à $10^{-  2}$,  une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés est :

 $y=\np{19.83}x+\np{93.94}$. Cette droite est tracée dans le repère donné en annexe.
\item Lors d'un concert de \og The Who \fg{} en 1976, l'oreille des spectateurs a été soumise à la
pression de $20$~Pa.

Déterminons l'intensité sonore atteinte lors de ce concert. Déterminons d'abord $\log 20$. $\log 20\approx \np{1.30}$. Reportons cette valeur dans l'équation de la droite de régression $y=\np{19.83}\times \np{1.30}+\np{93.94}$. Nous obtenons $y\approx \np{119.759}$.

 L'intensité sonore atteinte lors de ce concert, au décibel près, fut d'environ \np[dB]{120}.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm} 
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}   

\medskip

{\footnotesize
Dans une entreprise fabriquant des lentilles optiques, on prélève au hasard un échantillon de $100$~lentilles sur une chaîne de production particulière. On considère ce prélèvement comme un tirage avec remise.

Une lentille est considérée comme étant conforme au cahier des charges de fabrication si sa
vergence, exprimée en dioptries, est comprise entre $5,3$ et $5,6$.

Le service de contrôle de qualité de l'entreprise estime que 90\,\% des lentilles fabriquées sont
conformes.

Dans cet exercice toutes les probabilités seront arrondies à $10^{- 2}$.
}
\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On note $X$ la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de $100$~lentilles, associe le nombre de
lentilles conformes de cet échantillon.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifions que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale et déterminer les paramètres de
cette loi.

$X$ est distribuée selon la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p= \frac{90}{100}=\np{0.9}$ puisque il y a répétition de $100$ tirages indépendants et identiques caractérisés par deux issues soit la lentille est conforme  avec une probabilité  $p=0,9$  soit la lentille n'est pas conforme au cahier des charges  avec une probabilité $q=1-p=0,1$.
 
Par conséquent, $p(X = k) = \binom{100}{k}(\np{0.9})^k(\np{0.1})^{100-k}$.
\item Déterminons la probabilité $p(X = 85)$. À l'aide de la calculatrice, nous trouvons $p(X = 85)\approx \np{0.03}$.
\item Déterminons les valeurs de l'espérance et de l'écart type de cette variable aléatoire~$X$.

$E(X)= np =100\times \np{0.9}= 90 \quad \sigma = \sqrt{np(1-p)}=\sqrt{100 \times \np{0.9}\times\np{0.1}} = \sqrt{9} = 3$.

Interprétons l'espérance de cette variable aléatoire $X$. 

En moyenne sur un lot de 100 lentilles, 90 sont conformes au cahier des charges c'est-à-dire ont une vergence comprise entre 5,3 et 5,6 dioptries.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On décide d'approcher la variable aléatoire $X$ par la variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale
d'espérance $90$ et d'écart type $3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminons la probabilité $P( 84 < Y < 96)$.

À l'aide de la calculatrice $P( 84 < Y < 96)\approx \np{0.95}$.

{\footnotesize Nous pouvons remarquer que 84 est égal à \textmu $-2 \sigma$ et 96  est égal à \textmu $+2 \sigma$. Lors d'une distribution normale, nous avons 
$P(\mu-2\sigma~<X<\mu+2\sigma)\approx \np{0.95}$. }
\item La probabilité d'avoir, dans un tel échantillon, au moins $85$~lentilles conformes est notée $p(X\geqslant 85)$.

À l'aide de la calculatrice, nous trouvons $p(X\geqslant 85)\approx \np{0.95}$
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence des
lentilles conformes dans un lot de $100$~lentilles.

Nous avons fait l'hypothèse  qu'une proportion de \np{0,9} des lentilles  présente un résultat conforme .

Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique au niveau de confiance de 0,95 de la fréquence de lentilles conformes  pour un échantillon de taille 100.

$n=100>30$; $np=100\times 0,9 = 90 >5$ et $n(1-p)=100\times (1-0,9) = 10 >5$

Les conditions sont vérifiées donc  déterminons l'intervalle de fluctuation :

\[\strut\left[ p -1,96 \sqrt{\dfrac{p (1- p )}{n}} ~;~ p +1,96 \sqrt{\dfrac{p (1- p )}{n}}\right]\]

\[\left [\np{0.9} - 1,96 \sqrt{\dfrac{\np{0.9} (1 - \np{0.9} )}{100}}~;~\np{0.9} + 1,96 \sqrt{\dfrac{\np{0.9} (1 - \np{0.9})}{100}}\right ]\approx [\np{0.85}~;~\np{0.95}]\]
%Arrondir les bornes de l'intervalle à $10^{- 2}$.
\item Le responsable qualité de cette entreprise veut vérifier la production. Pour cela, il prélève un échantillon de $100$ lentilles et il obtient $82$ lentilles conformes.

La fréquence constatée est 0,82. Elle n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation donc on peut considérer qu'un réglage de la chaîne de fabrication
est nécessaire.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}   

\medskip
{\footnotesize
On injecte à un malade une dose de 5 cm$^3$ d'un produit.

Toutes les heures, on fait un relevé de la quantité, exprimée en cm$^3$, de ce produit dans le sang.

Cette quantité diminue du fait de son élimination naturelle par l'organisme.

On s'intéresse au volume de produit, exprimé en cm$^3$, dans le sang du malade $n$ heures après son
injection. L'organisme du patient élimine 6\,\% du produit présent toutes les heures.

La situation est modélisée par une suite $\left(V_n\right)$ de premier terme $V_0 = 5$ , où $V_n$ fournit une estimation du volume en cm$^3$, de produit dans le sang du malade au bout de $n$ heures.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item À une baisse de 6\,\% correspond un coefficient multiplicateur de $1-0,06=0,94$.
	\begin{enumerate}
		\item  $V_1=5\times \np{0.94}=\np{4.7}$,\: $V_2=\np{4.7}\times \np{0.94}=\np{4.418}$ et $V_3=\np{4.418}\times \np{0.94}\approx \np{4.153}$ ; %(arrondir les valeurs au millième).
		\item Passant d'un terme au suivant en le multipliant par un même réel, la suite $\left(V_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme  5 et de raison \np{0.94}.
		\item Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est  $u_n=u_0q^n$. \hspace{1em}$V_n=5\times (\np{0.94})^n$
%En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'écriture de $V_n$ en fonction de $n$.
		\item Déterminons la limite de $V_n$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. La raison de la suite étant strictement positive et inférieure à 1,
$\displaystyle  \lim_{n\to +\infty}V_n=0$
 	\end{enumerate}
\item Calculons le volume de produit dans le sang au bout de 9 heures, 

$V_9=5\times (\np{0.94})^9 \approx \np{2.865}$. %Arrondir la valeur au millième.
\item Déterminons le nombre d'heures nécessaires pour réduire de moitié le volume du produit injecté dans le sang. Pour ce faire, résolvons $V_n=\dfrac{5}{2}$ 

$5\times (\np{0.94})^n=\dfrac{5}{2}\ ; \  (\np{0.94})^n=\dfrac{1}{2} \ ;\ \log (\np{0.94})^n=\log \dfrac{1}{2}\ ; \ n \log 0,94=-\log 2 \ ;\ n= \dfrac{-\log 2}{\log\np{0.94}}$

$n\approx \np{11.20}$.

Il faudra 12 heures pour que le produit soit réduit de moitié.

\item On donne l'algorithme ci-dessous qui se rapporte à la suite $\left(V_n\right)$ étudiée.
	
\begin{center}	
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
Variables : $V$, $N$\\
~\\
Initialisation :\\
$V$ prend la valeur $5$\\
$N$ prend la valeur $0$\\
~\\
Traitement :\\
Tant que $V \geqslant 2$\\
\qquad $V$ prend la valeur $0,94 \times V$\\$
\qquad N$ prend la valeur $N + 1$\\
Fin Tant que\\
~\\
Sortie :\\
Afficher $N$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item La valeur de $N$ qu'affiche cet algorithme après avoir été exécuté est 15. %Interpréter le résultat.
		
		Il faut quinze heures pour que la quantité dans le sang du produit soit strictement inférieure à $\np [cm^3]{2}$.
		\item On injecte la même dose de produit à un autre malade. L'organisme n'élimine toutes les
heures que 3\,\% du produit relevé à l'heure précédente.
		
On souhaite déterminer le temps nécessaire pour que le volume de produit dans le sang
soit inférieur à $0,1$~cm$^3$.
		
Modifions l'algorithme précédent pour qu'il réponde au problème posé.

Nous faisons exécuter l'algorithme tant que  la quantité $V$ est supérieure à 0,1.

Le coefficient multiplicateur est alors $1-0,03$ soit 0,97.

\begin{center}	
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
Variables : $V$, $N$\\
~\\
Initialisation :\\
$V$ prend la valeur $5$\\
$N$ prend la valeur $0$\\
~\\
Traitement :\\
Tant que $V \geqslant 0,1$\\
\quad $V$ prend la valeur $0,97\times V$\\$
\quad N$ prend la valeur $N + 1$\\
Fin Tant que\\
~\\
Sortie :\\
Afficher $N$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}   

\medskip
{\footnotesize
Dans une certaine usine, la température d'un moteur thermique est régulée par un système de
circulation d'eau de refroidissement. Quand la température de cette eau atteint 90~\degre C, un ventilateur se met en action afin de refroidir le liquide dans le radiateur. Il s'arrête lorsque la température redevient inférieure à 50~\degre C.

On mesure en minutes le temps $t$ écoulé à partir de l'instant où le ventilateur se déclenche.

On admet que la température de l'eau, exprimée en degrés Celsius (~\degre C), est donnée à l'instant $t$ par $f(t)$ où $f$, fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$, est solution de l'équation différentielle

\[(E) : y' + 0,04y = 2,04.\]

De plus, on sait que $f(0) = 90$.
}
\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résolvons  l’équation différentielle $(E)$ sur $[0~;~+ \infty[$.

Les solutions de  l'équation différentielle $y'+ay=b$ sur  $\R$ sont les fonctions $y$ définies par  

$y(x)=C\e^{-ax}+\dfrac{b}{a}$ où $C$ est une constante quelconque.

$a=\np{0.04}\ b=\np{2.04}$  par conséquent sur $[0~;~+\infty[$ $f(t)=C \e^{-\np{0.04}t}+\dfrac{\np{2.04}}{\np{0.04}}$ 

c'est-à-dire $f(t)=C \e^{-\np{0.04}t}+51$ où $C$ est une constante quelconque.


\item Déterminons la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie la condition initiale
$f(0) = 90$.

$f(0)=C\e^{-\np{0.04}\times 0}+51=90$ d'où $C=39$
		
		Sur $[0~;~+\infty[ ,\quad f(t)=39\e^{-\np{0.04}t}+51$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
{\footnotesize 
Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(t) = 39\text{e}^{-0,04t} + 51.\]

On désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminons la limite de $f$ en $+ \infty$.

$\displaystyle \lim_{t\to +\infty} \e^{-0,04t}=0\qquad \lim_{t\to +\infty} 39\e^{-0,04t}+51=51$

La courbe $(\mathcal{C})$ admet la droite d'équation $y=51$ comme asymptote au voisinage de $+\infty$.
\item  La fonction $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons $f'(t)$.
		
	$f'(t)=39(-\np{0.04}t)\e^{-\np{0.04}t}=-\np{1.56}\e^{-\np{0.04}t}$.

\item Déterminons les variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.	


Pour tout $t \in [0~;~+\infty[, \quad f'(t)<0$ comme produit d'un réel strictement positif par un réel strictement négatif.

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)< 0$ alors $f$ est  strictement décroissante sur $I$. 

Sur $[0~;~+\infty[,\:f'(t)<0$ par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

 	\end{enumerate}
\item  La température de l'eau dans le moteur à partir de l'instant où le ventilateur
se déclenche baisse puisque la fonction est strictement décroissante . 
\item  Le ventilateur  ne va pas  s'arrêter puisque pour tout $t \in \R^+ ,\  f(t)>51$.
L'eau n'atteindra pas les cinquante degrés Celsius.  
\end{enumerate}

\begin{landscape}
\begin{center}
\textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)}

\vspace{0.5cm}

\textbf{EXERCICE 1}

\vspace{0.5cm}

\psset{xunit=10cm,yunit=0.15cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-5)(1.55,65)
\multido{\n=-0.50+0.05}{42}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,65)}
\multido{\n=0.0+2.5}{27}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=cyan](-0.5,\n)(1.55,\n,)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Oy=80,Dy=5]{->}(0,0)(-0.5,0)(1.55,65)
\psdots[dotstyle=+,dotscale =2,dotangle=45](-0.30,8)(0,14)(0.48,23)(0.70,28)(0.85,31)(1,34)(1.11,36)(1.18,37)
\psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =2,dotangle=45](0.63,26.375)
   \uput[ul](0.63,26.375){\textcolor{red}{$G$}}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-0.4}{1.5}{x 19.83 mul 13.94 add}

\uput[u](1.52,0){$x$}
\uput[r](0,64.5){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
\end{document}