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%Corrigé : Jean-Claude Souque
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL biotechnologies}  
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{11 juin 2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~ Corrigé du baccalauréat STL biotechnologies   Polynésie~\decofourright\\[4pt]11 juin 2015 }}
\end{center}
    
\vspace{0,3cm}
 {\footnotesize
La calculatrice (conforme à la circulaire \no 99-186 du 16 novembre 1999) est autorisée.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.

Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de  la qualité de la rédaction   dans l'appréciation des copies.
}
\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}   

\medskip

{\footnotesize
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Pour chacune des questions, une seule des trois réponses proposées est exacte.

Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent de point.

\textbf{Indiquer, sans justification, le numéro de la question et la réponse correspondante sur la copie.}
}
\begin{enumerate}
\item  On admet qu’une valeur mesurée suit une loi uniforme sur [0,995~;~1,005]. La probabilité que la valeur mesurée soit comprise entre 0,998 et 1,002 est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,01} &\textbf{b.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,004}  &\textbf{c.~~}\psframebox[linewidth=0.05pt]{0,4} &\textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,03}
\end{tabularx}

\medskip

\item Dans cette question, l’unité de mesure est le micromètre.

Un élève mesure le diamètre de cellules de levure. Dans cette question, on admet que le résultat de la mesure $X$ suit une loi normale d’espérance 6 et d’écart type 2.

La probabilité d’obtenir une mesure comprise entre 4 et 8 vaut à $10^{-3}$ près :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ 0,954}&\textbf{b.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,876}   &\textbf{c.~~}\psframebox[linewidth=0.05pt]{0,683} &\textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,512}
\end{tabularx}

\medskip

\item Des élèves mesurent le diamètre de cellules de levure.

Ils effectuent 50 mesures et observent que 15 d’entre elles donnent des diamètres supérieurs à $\np[\micro m]{10}$.

Le nombre $p$ désigne la proportion de cellules dont le diamètre est supérieur à $\np[\micro m]{10}$ .
L’intervalle de confiance de $p$, au niveau de confiance 95\,\% avec des valeurs à $10^{-3}$ près, est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{[0,282~;~0,318]}&\textbf{b.~~} \psframebox[linewidth=0.05pt]{[0,173~;~0,427]} &\textbf{c.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{[9,7~;~10,3]}
\end{tabularx}

\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip
{\footnotesize
On injecte dans le sang d’un malade un médicament à l’aide d’une perfusion. L’efficacité de ce
médicament est optimale lorsque le débit de la perfusion est stable et que la concentration du produit ne
dépasse pas 250 microgrammes (\micro g) par cm$^3$, seuil au-delà duquel des effets indésirables et toxiques
apparaissent.

On relève l’évolution de la concentration de ce médicament et on obtient les résultats suivants :

\smallskip
\begin{center}
\begin{tabular}{|m{3.5cm}|*{7}{c|}}
\hline
Temps $t_i$ en minutes						&0	& 2& 4 &6	& 10 &12	& 15\\\hline
Concentration $c_i$ en $\micro g$ par cm$^3$&0 	&64&94 &130	& 195&220	& 230\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\medskip
\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$.}
}
\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}


On pose : $y_i = \ln \left(250 - c_i\right)$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

\begin{enumerate}
\item Complétons le tableau suivant ({\footnotesize les valeurs sont arrondies à $10^{-2}$} ) :

\begin{center}
\begin{tabular}{|m{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}p{2.15em}|}}
\hline
Temps $t_i$ en minutes &0	& 2	& 4	& 6	& 10&12	& 15\\\hline
$y_i = \ln \left(250 - c_i\right)$&\np{5.52}	&\np{5.23}	&\np{5.05}	&\np{4.79}	&\np{4.01}	&\np{3.40}	&\np{3.00}\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\smallskip

\item  Dans un repère orthogonal d’unités \np[cm]{1} en abscisse et \np[cm]{2}  en ordonnée, représentons le nuage de
points $M_i\ \left(t_i~;~ y_i\right)$ de la série statistique définie par le tableau précédent.

\begin{center}
\psset{xunit=0.75cm, yunit=1.5cm,comma=true,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-0.75,-0.3)(16.5,6.5)
\multido{\n=0+0.5}{32}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-0.01)(\n,6)}
\multido{\n=0+0.5}{13}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(15.5,\n)}
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=1]{->}(15.5,6.1)
\psdots[dotstyle=SolidSquare,dotscale=1.2,dotangle=45](0,5.52)(2,5.23)(4,5.05)(6,4.79)(10,4.01)(12,3.40)(15,3.00)
 \psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{0}{15.5}{x 0.17 neg  mul 5.65 add}
\rput (14.5,3.35){$\mathcal{D}$}
\uput[r](0,6.1){\footnotesize $y$}
 \rput(14.2,0.1){\footnotesize temps en minute}
 \uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}

\end{center}

\item  À l'aide de la calculatrice, une équation de la droite $\mathcal{D}$ d’ajustement affine de $y$ en $t$ obtenue par la méthode des
moindres carrés est $y=-\np{0.17}t+ \np{5.65}$. Cette droite est représentée dans le repère précédent.
\item  \'Ecrivons une relation entre la concentration $c$ et le temps $t$. 

Sachant que $y_i = \ln \left(250 - c_i\right)$, nous pouvons en déduire que $\e^{y_i}=250-c_i$.

Par conséquent $c_i=250-\e^{y_i}$ ou encore $c_i=250-\e^{-\np{0.17}t+\np{5.65}}=250-\e^{-\np{0.17}t}\times \e^{\np{5.65}}$. Or 

$\e^{\np{5.65}}\approx \np{284.29}$.

Il en résulte $c_i = 250-\np{284.29}\e^{-\np{0.17}t_i}$

\end{enumerate} 

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

\medskip 

Soit la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par  $f(t)=250 - 284,29\e^{- 0,17t}$.


On admet que la fonction $f$ donne une bonne approximation de la concentration du médicament.

La courbe $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ et son asymptote $D_1$ d’équation $y = 250$ sont données en annexe 1, page \pageref{medicament}.

\begin{enumerate}
\item  Graphiquement le signe de la fonction dérivée de $f$ sur $[0~;~+\infty[$ est  positif puisque la fonction est strictement croissante sur cet intervalle .
\item Graphiquement la limite de $f$ en $+\infty$ est 250 puisque la droite d'équation $y=250$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
\item La concentration du médicament ne dépasse pas $\np[\micro g]{250}$  par cm$^3$ puisque nous ôtons  de 250 une quantité strictement positive $\np{284.29}\e^{-\np{0.17}t}$.
\item
	\begin{enumerate}
	\item  Résolvons sur $[0,+\infty[$ l’inéquation $f (t) > 180$.
	
	\begin{minipage}[t]{5cm}
	\begin{align*}
	250 - 284,29\e^{- 0,17t}&>180\\
	 - 284,29\e^{- 0,17t}&>180-250\\
	 284,29\e^{- 0,17t}&<70\\
	 \e^{- 0,17t}&<\dfrac{70}{284,29}\\
	 \end{align*}	
\end{minipage} 
\begin{minipage}[t]{5cm}
	 \begin{align*}
	 \e^{- 0,17t}&<\np{0.246227}\\
	- 0,17t&<\ln(\np{0.246227})\\
	t&>\dfrac{\ln(\np{0.246227})}{-\np{0.17}}\\
	t&>\np{8.2441}	
	\end{align*}
	\end{minipage}
	
	\item À une minute près, le temps nécessaire pour atteindre la dose efficace qui est de $\np[\micro g]{180}$ par cm$^3$ est de 8 heures et 14 minutes car $\np{0.24}\times60 \approx 14$.
	\end{enumerate}
\item  Nous pouvons retrouver ce résultat en utilisant le graphique de la partie A. Nous lisons l'abscisse du point de la courbe d'ordonnée 180.
%(on expliquera la démarche utilisée en laissant les traits de construction apparents).
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}

\medskip
\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}
\medskip
On considère l’équation différentielle (E) : $y' + \np{0,0865} y = 0 $ où $y$ est une fonction dérivable sur $[0~;~+\infty[$.

\begin{enumerate}
\item Résolvons cette équation.

Les solutions de l'équation différentielle $y'+ay=0$ sur $\R$ sont les fonctions $y$ définies par $y(x)=C\e^{-ax}$ où $C$ est une constante quelconque.

$a=-\np{0.0865}$. Les solutions de  (E) sont les fonctions définies par $y(x)=C\e^{-\np{0.0865}x}$.
\item Déterminons la fonction $f$ solution de (E) vérifiant la condition initiale : $f(0) = 4$.

 Pour ce faire, déterminons la valeur de $C$. $f(0)=C\e^0 =C=4$.

 Par conséquent la fonction $f$ solution de (E) vérifiant la condition initiale est définie par $f(x)=4\e^{-\np{0.0865}x}$.
\end{enumerate}

\medskip
\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}
\medskip
{\footnotesize
Le but de cette partie est l’étude de la décroissance radioactive de l’iode 131.

On considère la fonction $N$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $N(t) = 4 \e^{-0,0865 t}$.

On admet que $N(t)$ donne le nombre de noyaux, exprimé en millions, d’iode 131 présents dans un
échantillon à l’instant $t$ exprimé en jours.

On note $C$ la courbe représentative de la fonction $N$.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminons la limite de $N(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$. 

$\displaystyle \lim_{t\to +\infty}N(t)= 0$ car $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\e^{-x}=0$.
%En donner une interprétation physique.

Cela signifie qu'au bout d'une infinité de jours, les noyaux dans l'échantillon auront disparu.
\item 
	\begin{enumerate}
	\item Soit $N '$ la fonction dérivée de $N$. Calculons $N '(t)$ .
	
	$N'(t)=4\times \left(- \np{0.0865}\e^{- \np{0.0865}t}\right)= -\np{0.346}\e^{-\np{0.0865}t}$

	\item  $N '$ est strictement négatif  comme produit d'un réel strictement négatif par un réel strictement positif. 
	
	 Étudions d'abord, le sens de variation de $N$.

Si pour tout $x\in I, \,f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$ 

Sur $[0~;~+\infty[,\ N'(t)<0$ par conséquent $N$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

 Dressons maintenant le tableau de variation de la fonction $N$ sur $[0~;~+\infty[$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[u](0.5,2.45){$t$}  \uput[ul](1.35,2.45){$0$} \uput[ul](7.75,2.45){$+\infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$N^{\prime}(t)$}\uput[u](4.5,2){$-$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $N$}
 \uput[ul](1.49,1.50){$4$}\uput[dr](7.2,0.65){$0 $}
\psline{->}(1.5,1.75)(7.3,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}


	\item Déterminons une équation de la tangente $T$ à $C$ au point d’abscisse 0.
	
	Une équation de la tangente au point d'abscisse $a$ à la courbe représentative de $f$ est : 

$y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
	
	$N'(0)=-\np{0.346}\quad N(0)=4 $ par conséquent une équation de la tangente $T$ est $y=-\np{0.346}x+4$.
	
	
	\end{enumerate}
\item Complétons le tableau suivant :

\medskip
\begin{tabular}{|c|*{12}{p{0.5cm}|}}\hline
$t$ en jours &0 &2& 4 &6& 8& 10& 12& 14 &16& 18& 20& 25\\\hline
$N(t)$&4&\np{3.4}&\np{2.8}&\np{2.4}&\np{2.0}&\np{1.7}&\np{1.4}&\np{1.2}&\np{1.0}&\np{0.8}&\np{0.7}&\np{0.5}\\\hline
\end{tabular}
\medskip

\emph {\footnotesize les valeurs sont arrondies à 0,1 million.}
\item  $T$ et $C$ sont construites dans le repère orthogonal donné en annexe 2, page \pageref{iode}.
\item 
	\begin{enumerate}
	\item Calculons au bout de combien de jours le nombre de noyaux radioactifs est inférieur à \np{750000}. 

 Pour ce faire, résolvons $4\e^{-\np{0.865}t}< \np{0.75}$.
	
	$4\e^{-\np{0.865}t}< \np{0.75}\quad \e^{-\np{0.865}t}< \np{0.1875} \quad  -\np{0.865}t< \ln \np{0.1875}\quad t>\ln\np{0.1875}\times \dfrac{1}{-\np{0.865}}\quad t>\np{19.3523}$.
	
	À partir de 20 jours le nombre de noyaux radioactifs est inférieur à \np{750 000}.
	\item Pour retrouver ce résultat graphiquement, nous traçons la droite d'équation y=0.75 et nous lisons l'abscisse du point d'intersection de cette droite avec la courbe c'est-à-dire environ \np{19.3}.  %(on laissera les traits de construction apparents).
	\end{enumerate}
\item Déterminons graphiquement le temps nécessaire pour que le nombre de noyaux radioactifs passe de 4~millions à 2~millions, de 2~millions à 1~million, de 1~million à \np{500000}.

	Le temps nécessaire est d'environ 8 jours.
	
Cette valeur est appelée durée de demi-vie de l’iode 131.
	\end{enumerate}
	
\vspace{0.5cm}
	
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}

\medskip
{\footnotesize
Une population de bactéries a la propriété de doubler toutes les heures dans des conditions particulières.

On suppose que cette capacité de doublement ne dépend pas du nombre initial de bactéries.

Lors d’une expérience, Camille décide d’ajouter, chaque heure, un millier de bactéries du même type.

\medskip

Elle écrit l’algorithme ci-contre : \hspace{2em}
\begin{tabular}{|l|}\hline
Saisir $N$\\
$H$ prend la valeur 0\\
$V$ prend la valeur N\\
Tant que $V < 10^5$\\
\hspace{1.6em}$H$ prend la valeur $H+1$\\
\hspace{1.6em}$V$ prend la valeur $2*V+\np{1000}$\\
Fin Tant que\\
Afficher $H$\\\hline
\end{tabular}
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item  La valeur affichée par l’algorithme pour $N =\np{10000}$ est 4.
\item On note  $V_n$ le nombre de bactéries à la $n\ieme{}$ heure, $n$ étant un entier naturel. On admet que  $V_0 =\np{10000}$.
\begin{enumerate}
\item  Exprimons  $V_{n+1}$  en fonction de  $V_n$. Puisque chaque heure, le nombre de bactéries double, nous avons alors $2V_n$  et puisque elle en ajoute \np{1000} chaque heure, nous obtenons $V_{n+1}=2V_n+\np{1000}$.
\item La suite $\left(  V_n \right)$ n'est pas géométrique. $V_0 =\np{10000}\quad V_1 =\np{21000}\quad V_2 =\np{43000}$. Le quotient de deux termes consécutifs n'étant pas constant  
$\dfrac{V_2}{V_1}\not= \dfrac{V_1}{V_0}$ la suite n'est pas géométrique.
%Justifier la réponse.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

\medskip
{\footnotesize
Camille recommence l’expérience avec \np{10000} bactéries, dans des conditions différentes et sans ajouter de
bactéries à chaque heure.

Elle constate que :
\begin{itemize}
\item[--] tant que le nombre de bactéries est strictement inférieur à \np{40000}, le nombre double toutes les
heures ;
\item [--]à partir de \np{40000} bactéries, le nombre augmente seulement de 50\,\% toutes les heures.
\end{itemize}
}

À une augmentation de $50\,\%$ correspond un coefficient multiplicateur de $\np{1.5}$.

\begin{enumerate}
\item Modifions l’algorithme précédent pour prendre en compte ces nouvelles conditions.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
Saisir $N$\\
$H$ prend la valeur 0\\
$V$ prend la valeur N\\
Tant que $V < 10^5$\\
\hspace{1.6em}$H$ prend la valeur $H+1$\\
Si $V<40000$\\
alors \\
\hspace{1.6em}$V$ prend la valeur $2*V$\\
sinon\\
\hspace{1.6em}$V$ prend la valeur $1,5*V$\\
Fin Si\\
Fin Tant que\\
Afficher $H$\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Dans ces conditions, au bout de cinq heures, le nombre de bactéries dépassera la valeur de~$10^5$. En faisant fonctionner le nouvel algorithme, la valeur affichée est 5.  
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1(à rendre avec la copie)}
\end{center}
\medskip
\textbf{\textsc{Exercice 2} }

\vspace{2cm}

\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.04cm,arrowscale=1.5,showorigin=false}
\begin{pspicture}(0,0)(16,270)
\multido{\n=0+0.5}{33}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,265)}
\multido{\n=0+10}{27}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(16,\n)}
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=20,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(16,265)
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=20,linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(16,265)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.75}{16}{ 2.71828 x 0.17 neg mul exp 284.29 neg mul 250 add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{16}{250}
\def\Func{2.71828 x 0.17 neg mul exp 284.29 neg mul 250 add}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 8.2441 def \Func)(!8.2441 /x 8.2441 def \Func)(8.2441,0)
\uput[dl](0,0){O}\uput[u](15.5,215){\blue $C$}\uput[u](15,250){$D_1$}
\end{pspicture}
\end{center}
\label{medicament}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 2 (à rendre avec la copie)}\hspace{2em} \textbf{\textsc{Exercice 3} }
\end{center}

\vspace{-0.5cm}
\begin{rotatebox}{90}{
\psset{xunit=0.9cm,yunit=1.8cm,arrowscale=1.5,showorigin=false,comma=true}
\begin{pspicture}(0,0)(24.5,6)
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=10]{->}(0,0)(24.3,6)
\multido{\n=0+0.5}{49}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,6)}
\multido{\n=0+0.25}{25}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(24.5,\n)}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{24.2}{ 2.71828 x 0.0865 neg mul exp 4 mul }
\uput[dl](0,0){O} \uput[ur](22,0){$t$ \emph{\small en jours}}\uput[ur](0,5.5){$N(t)$ \emph{\small en millions}}
\multido{\n=1+1}{6}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\multido{\n=0.5+1.0}{6}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\def\Func{2.71828 x 0.0865 neg mul exp 4 mul }
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 19.3523 def \Func)(!19.3523 /x 19.3523 def \Func)(19.3523,0)
\pstextpath[c]{\psline[linestyle=dashed,linecolor=red,linewidth=0.5pt,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 8.0132 def \Func)(!8.0132 /x 8.0132 def \Func)(8.0132,0)}{\textcolor{red}{\scriptsize durée de demi-vie}}
\pstextpath[c]{\psline[linestyle=dashed,linecolor=red,linewidth=0.5pt,ArrowInside=-> ]{->}(!8.0132 /x 16.0265 def \Func)(!16.0265 /x 16.0265 def \Func)(16.0265,0)}{\textcolor{red}{\scriptsize durée de demi-vie}}
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