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%tapuscrit : Denis Vergès
% Source : Dominique Noblet que nous remercions
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL  Biochimie - Génie biologique}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL 
Biochimie--Génie biologique~\decofourright\\[4pt]Antilles-Guyane  juin 2006}} 
    
%\vspace{0,8cm}
%
%Calculatrice autorisée 
%
%\vspace{0,5cm}
%
%Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 12 points}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0~;~4] par :
% 
%\[f(x) = \dfrac{3 + 2 \ln (x)}{x}\]
%
%On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item 4 cm pour une unité sur l'axe des abscisses et
%\item 2 cm pour une unité sur l'axe des ordonnées.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item  %Calculer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$. On pourra écrire $f(x)$ sous la forme :
%\[f(x) = \left[3 + 2\ln (x)\right] \times\dfrac{1}{x}.\]

%Donner une interprétation graphique du résultat.
En utilisant la définition $\dfrac{a}{b} = a \times \dfrac{1}{b}$, on peut écrire : $f(x) = (3 + 2\ln x) \times \dfrac{1}{x}$.

Or $\displaystyle\lim_{x \to  0} 3 + 2\ln x  = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to  0} \dfrac{1}{x} = + \infty$, donc par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to  0} f(x) = - \infty$.

Graphiquement ce résultat signifie que l'axe des ordonnées d'équation $x = 0$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de zéro.
\item %Justifier que la derivée $f'$ est donnée par $f'(x) = \dfrac{-1 - 2\ln (x)}{x^2}$	pour $x$ appartenant à ]0~;~4].
En utilisant la formule de la dérivée d'un quotient comme $f$ est dérivable sur ]0~;~4] :

$f'(x) = \dfrac{\frac{2}{x}\times x - (3 + 2\ln x) \times 1}{x^2} = \dfrac{2 - 3 - 2\ln x}{x^2} = \dfrac{- 1 - 2\ln x}{x^2}$.
\item
	 \begin{enumerate}
		\item %Résoudre l'équation : $- 1 -2 \ln (x) = 0$.
$- 1 -2 \ln (x) = 0 \iff -1 = 2\ln x \iff - \dfrac{1}{2} = \ln x \iff$ (par croissance de la fonction exponentielle)  $\text{e}^{- \frac{1}{2}} = \text{e}^{\ln x} = x$.
		
%Donner la valeur exacte de la solution puis une valeur arrondie au centième.
$x  = \text{e}^{- \frac{1}{2}} \approx 0,61$ au centième près.
		\item %Résoudre l'inéquation : $-1 -2 \ln (x) > 0$.
$-1 -2 \ln (x) > 0 \iff - 1 > 2\ln x \iff \ldots \iff \text{e}^{- \frac{1}{2}} > x \iff x < \text{e}^{- \frac{1}{2}}$.
		\item %En déduire le signe de la dérivée $f'$ puis le tableau de variations de la fonction $f$ sur  ]0~;~4].
Comme $x^2 > 0$ sur ]0~;~4], le signe de $f'(x)$ est celui du numérateur

 $- 1 - 2\ln x$. Le résultat précédent signifie que la dérivée $f'(x)$ est positive sur $\left]0~;~\text{e}^{- \frac{1}{2}}\right[$.
		
On aurait de m\^eme $f'(x) < 0$ sur $\left]\text{e}^{- \frac{1}{2}}~;~4\right]$.

La fonction est donc croissante puis décroissante avec un maximum 

$f\left(\text{e}^{- \frac{1}{2}}\right) = \dfrac{3 + 2\ln \text{e}^{- \frac{1}{2}}}{x} = \dfrac{3 - 1}{\text{e}^{- \frac{1}{2}}} = \dfrac{2}{\text{e}^{- \frac{1}{2}}} = 2\text{e}^{\frac{1}{2}}$ ou encore $2\sqrt{\text{e}} \approx 3,3$.

On a donc le tableau de variations suivant :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2)(8,2)\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(2,0)(2,3)\psline[doubleline=true](2.1,0)(2.1,2.5)
\uput[u](1,2.4){$x$} \uput[u](2.1,2.4){$0$} \uput[u](5,2.4){$\text{e}^{\frac{1}{2}}$} \uput[u](7.8,2.4){$4$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$} \rput(3.5,2.25){$+$} \rput(5,2.25){$0$} \rput(6.5,2.25){$-$}
\rput(1,1){$f(x)$} \uput[u](2.4,0){$- \infty$} \uput[d](5,2){$2\text{e}^{\frac{1}{2}}$}\uput[u](7.6,0){$f(4)$}
\psline{->}(2.5,0.5)(4.5,1.5)\psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.5) 
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Recopier et compléter le tableau suivant avec des valeurs arrondies au centième :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0,2&0,3	&0,4	&0,6	&0,8	&1	&1,5&2	&3	&4\\ \hline
$f(x)$	&$-1,09$& 1,97&2,92	&3,30	&3,19	&3	&2,54	&2,19&1,73 	&1,44\\ \hline
\end{tabularx}\]

		\item %Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse 1.
Une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse 1 est 

$y = f(1) + f'(1)(x - 1)$.

$f(1) = 3$ et $f'(1) = \dfrac{-1 - 2\ln 1}{1^2} = - 1$, donc une équation de $T$ est $y = 3 + -1(x - 1)$ ou 

$y = - x + 4$.
		\item %Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente $T$.
Voir à la fin.
		\item %Estimer, à l'aide du graphique, les solutions de l'équation $f(x) = 2$. On laissera apparents les traits de constructions.
On trace la droite d'équation $y = 2$ qui coupe la courbe $\mathcal{C}$ en deux points dont on trouve l'abscisse en les projetant sur l'axe des abscisses. On lit $x \approx 0,3$ et $x \approx 2,35$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
\psset{xunit=3cm,yunit=1.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-2)(4,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.pt](0,0)(0,-2)(4,3.5)
\psaxes[linewidth=1.pt,Dx=0.1,labels=none](0,0)(0,-2)(4,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot{0}{2}{4 x sub}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.185}{4}{x ln 2 mul 3 add x div}
\uput[d](1.75,2.2){$T$} \uput[d](3.8,1.45){$\mathcal{C}$}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(0,2)(0.302,2)(0.302,0)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(0,2)(2.358,2)(2.358,0)
\end{pspicture}
\end{center}   
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 8 points}
 
\medskip
 
%\emph{Dans cet exercice, les valeurs calculées seront arrondies au millième.}
% 
%\medskip
% 
%On étudie l'évolution d'une population de bactéries en fonction du temps.
%
%$N$ désigne le nombre de bactéries en milliers par millilitre à un instant donné $t$ exprimé en heures.
%
%On a observé et relevé $N$ toutes les demi-heures et on a obtenu le tableau ci-dessous :
%
%\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%$t$	&0&0,5&1&1,5&	2&2,5&3&3,5&4&4,5&5\\ \hline
%$N$	& 9&10,5&11&12,5&15&16&18&20&22&24&26\\\hline
%\end{tabularx}\]
% 
%Pour étudier l'évolution de cette population, on effectue un changement de variable : $y = \ln (N)$.
\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau suivant :

\[{\small\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$				&0	&0,5&1	&1,5&2	&2,5&3	&3,5&4	&4,5&5\\ \hline
$y = \ln (N)$	&2,197	&2,351	&2,398	&2,526	&2,708	&2,773	&2,890	&2,996	&3,091	&3,178	&3,258\\ \hline
\end{tabularx}}\]

\item ~ %Représenter le nuage de points de coordonnées $\left(t_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal, en prenant comme unités
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item sur l'axe des abscisses : 3~cm pour une heure
%\item sur l'axe des ordonnées : 10~cm pour une unité, en commençant les graduations à partir de 2.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,1.9)(7,3.6)
\multido{\n=0+1}{8}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,2)(\n,3.6)}
\multido{\n=2.0+0.2}{9}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(7,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Oy=2,Dy=0.2,comma=true]{->}(0,2)(7,3.6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Oy=2,Dy=0.05,comma=true,labels=none](0,2)(7,3.6)
\psdots[linecolor=blue](0,2.197)(0.5,2.351)(1,2.398)(1.5,2.526)(2,2.708)(2.5,2.773)(3,2.890)(3.5,2.996)(4,3.091)(4.5,3.178)(5,3.258)
\psplot{0}{6}{0.215 x mul 2.224 add}

\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(6,2)(6,3.515)(0,3.515)
\end{pspicture}
\end{center}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer les coordonnées de G, point moyen du nuage.
On trouve G$(2,5~ ;~2,761)$ approximativement.
		\item %Déterminer une équation de la droite $D$ passant par G et ayant pour coefficient directeur $0,215$.
$D$ a une équation de la forme :

$y = 0,215t + b$. Or G$(2,5~;~2,761) \in D \iff 2,761 = 0,215 \times 2,5 + b \iff b = 2,761 - 0,5375 = 2,2235 \approx 2,224$.

Une équation de $D$ est donc $y = 0,215t + 2,224$.
		\item %Tracer cette droite $D$ sur le graphique précédent.
On trace la droite $D$ contenant G et le point (0~;~2,224)
	\end{enumerate}
%\item On considère que cette droite permet un ajustement de la série $\left(t_{i}~;~y_{i}\right)$. Estimer le nombre de bactéries (en milliers par millilitre) au bout de 6 heures, à l'aide du graphique puis par un calcul.
On trace la droite d'équation $t = 6$ qui coupe la droite $D$ en un point dont on trouve l'ordonnée en le projetant sur l'axe des ordonnées ; on lit $y \approx 3,515$ et comme $y = \ln N$, on a $N = \text{e}^{3,514} \approx 33,6$~milliers de bactéries par millilitre soit environ \np{33600} bactéries par millilitre.
\end{enumerate}
\end{document} 