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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL Biochimie}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Biochimie~\decofourright\\[4pt]Antilles--Guyane juin 2010}}\\

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

%Dans le cadre de la prévention des angines hivernales, une étude a été menée pour tester l'efficacité réelle d'un médicament constitué d'un cocktail de vitamines.
% 
%Dans ce but, on a sélectionné un échantillon de $600$ personnes réparties de manière aléatoire en trois groupes : 240~personnes dans le groupe A, 35\,\% de l'échantillon dans le groupe B, et le reste dans le groupe C.
%
%\medskip
% 
%On a administré aux personnes du groupe A durant la période hivernale une dose journalière de ce médicament en le leur disant.
%\medskip
% 
%On a administré aux personnes du groupe B un placebo (c'est-à-dire un comprimé neutre, ne contenant aucun élément médicinal actif), tout en leur disant qu'il s'agissait du médicament. 
%\medskip
%
%On a administré aux personnes du groupe C le médicament en leur disant qu'il s'agissait d'un placebo.
%
%\medskip
 
%Les résultats de l'étude sont recensés sur 600 fiches individuelles.
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] 28\,\% des fiches signalent un traitement efficace. Parmi celles-ci 72 fiches correspondent à des personnes du groupe B. 
%\item[] 75\,\% des fiches correspondant aux personnes du groupe A ne signalent aucune amélioration significative. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Reproduire et compléter le tableau suivant: 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Groupe A& Groupe B& Groupe C& Total\\ \hline 
Nombre de fiches signalant un traitement efficace&60&72&36&168\\ \hline 
Nombre de fiches ne signalant aucune amélioration significative&180&138&114&432\\ \hline 
Total& 240&210&150& 600\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %On choisit une fiche au hasard parmi les 600.
		 
%On considère les évènements suivants:
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] $E_{1}$ : \og Il s'agit d'une fiche du groupe A. \fg, 
%\item[] $E_{2}$ : \og Il s'agit d'une fiche signalant un traitement efficace. \fg,
%\item[] $E_{3} = E_{1} \cap E_{2}$. 
%\item[] $E_{4} = E_{1} \cup E_{2}$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%Calculer les probabilités de ces quatre évènements.
$p\left(E_{1}\right) = \dfrac{240}{600} = \dfrac{40}{100} = 0,4$.

$p\left(E_{2}\right) = \dfrac{168}{600} = \dfrac{28}{100} = 0,28$.

$p\left(E_{3}\right) = \dfrac{60}{600} = \dfrac{10}{100} = 0,1$.

$p\left(E_{1}\right) = p\left(E_{1}\right) + p\left(E_{2}\right) - p\left(E_{3}\right) = \dfrac{240 + 168 - 60}{600} = \dfrac{348}{600} = \dfrac{58}{100} = 0,58$. 
		\item %On choisit au hasard une fiche du groupe B.
		 
%On considère l'évènement $E_{5}$ : \og Il s'agit d'une fiche signalant un traitement efficace. \fg.
 
%Calculer la probabilité de l'évènement $E_{5}$. \emph{Le résultat sera arrondi  à $10^{-2}$}.
Sur les 210 fiches du groupe B, 72 signalent un traitement efficace.

$p\left(E_{5}\right) = \dfrac{72}{210} = \dfrac{24}{70} \approx 0,34$.
	\end{enumerate} 
\item %Pour chacun des groupes, donner les fréquences en pourcentage des fiches signalant un traitement efficace. Commenter les résultats des groupes A, B et C en les comparant.
Groupe A : fréquence : 60/240 soit 25\,\% ;

Groupe B : fréquence : 72/210 soit environ 34\,\% ;

Groupe C : fréquence : 36/150 soit 24\,\%.

On constate que les meilleurs résultats sont ceux du groupe où les personnes n'ont pas reçu de médicament ! 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

%\emph{Trachypenaeus} est le nom d'une espèce de crevette se développant dans les eaux chaudes de l'île de la Guadeloupe.
% 
%L'objectif de l'exercice est l'étude de la croissance en taille de cette espèce en fonction de l'âge des crevettes.
%
%\medskip
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
%Sur un échantillonnage et sur une courte durée, les relevés ont donné les résultats suivants : 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3,2cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\begin{tabular}{l}Âge $t_{i}$ (en nombre\\
% de semaines)\\ \end{tabular} & 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ \hline 
%\begin{tabular}{l}Taille $y_{i}$ (exprimée\\
% en millimètre)\\ \end{tabular}& 10& 18& 25& 33& 40& 41& 50& 53\\ \hline 
%
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Soit G le point moyen du nuage de points associé à ce tableau. On considère la droite $D$ passant par G et de coefficient directeur $6,14$. Déterminer une équation de la droite $D$.
On a G$(4,5~;~33,75)$. Une équation de la droite $D$ est $y = 6,14t + b$.

G$ \in D \iff 33,75 = 6,14 \times 4,5 + b \iff 33,75 = 27,63 + b \iff b = 33,75 - 27,63 = 6,12$.

Une équation de $D$ est donc : $y = 6,14t + 6,12$. 
\item %On considère que la fonction affine représentée par la droite $D$ traduit l'évolution de la taille en fonction de l'âge des crevettes avec les unités considérées. Déterminer selon ce modèle la taille d'une crevette de 12~semaines.
Pour $t = 12,~y = 6,14 \times 12 + 6,12 = 79,8 \approx 80$~(mm). 
\item %On estime que l'espérance de vie d'une crevette \emph{Trachypenaeus} en haute mer est de 3~années. Calculer, avec le modèle retenu, la taille atteinte au bout de 3~ans. Commenter le résultat trouvé.
3 années représentent $3 \times 52 = 156$~semaines.

Or pour $t = 156,~y = 6,14 \times 156 + 6,12 = 963,96$~(mm) soit environ 96~(cm).

Ce résultat est stupide car une crevette de 1 mètre, ça n'existe pas : le modèle retenu n'est valable que pour les premières semaines de vie d'une crevette. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B} (\emph{source : Ifremer})

\medskip
 
%En fait, des relevés sur une longue durée ont permis d'établir que la taille $L(t)$ des crevettes Trachypenaeus exprimée en millimètre en fonction de l'âge $t$ exprimé en semaines est donnée par :
% 
%\[L(t) = 87,5\left(1 - \text{e}^{-0,12t}\right)\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de la fonction $L$ en $+ \infty$ ; en donner une interprétation graphique.
On a $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} -0,12t = - \infty$, donc  $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{-0,12t} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} L(t) = 87,5$.

Graphiquement ce résultat signifie que la droite d'équation $y = 87,5$ est asymptote à la représentation graphique de la fonction $L$ au voisinage de plus l'infini.
		\item %Déterminer la dérivée $L'$ de la fonction $L$.
$L$ est dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ et sur intervalle :

$L'(t) = - 87,5 \times (- 0,12) \text{e}^{-0,12t} = 10,5\text{e}^{-0,12t}$. 
		\item %Étudier les variations de la fonction $L$ sur $[0~;~+ \infty[$.
$L'(t)$ est le produit de deux nombres positifs, donc $L'(t) > 0$ et la fonction $L$ est croissante de $L(0) = 0$ à 87,5.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer, avec ce modèle, la taille d'une crevette de trois ans.
On a $L(156)  =  87,5\left(1 - \text{e}^{-0,12\times 156}\right) \approx 87,5$~(mm), ce qui est plus vraisemblable qu'avec le modèle de la partie A.		
		\item %Déterminer l'âge théorique d'une crevette de taille 80 mm.
Il faut résoudre l'équation :

$L(t) = 80 \iff 87,5\left(1 - \text{e}^{-0,12t}\right) = 80 \iff 1 - \text{e}^{-0,12t} = \dfrac{80}{87,5} \iff$

$ 1 - \dfrac{80}{87,5} = \text{e}^{-0,12t} \iff \dfrac{7,5}{87,5} = \text{e}^{-0,12t} \iff $ (grâce à la croissance de la fonction logarithme népérien) $\ln \left(\dfrac{7,5}{87,5} \right) = - 0,12t \iff t = - \dfrac{\ln \left(\frac{7,5}{87,5} \right)}{0,12} \approx 20,4$~(semaines).

Une crevette de 80~mm a à peu près 21 semaines.
 	\end{enumerate} 
\item~ %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, toute initiative même infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
%Tracer la courbe représentative de la fonction $L$ sur l'intervalle [0~;~15] et la droite $D$ de la partie A dans le même repère. On prendra pour unité graphique 1~cm pour une semaine en abscisse et 1~cm pour 10~mm en ordonnée. 
%Donner une interprétation du graphique obtenu.

\medskip

\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.08cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(15,100)
\multido{\n=0+1}{16}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,100)}
\multido{\n=0+2}{51}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(15,\n)}
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,linewidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(15,100)
\uput[u](14,0){$t$ (semaines)}\uput[r](0,102){$y$ (mm)}
\psdots(1,10)(2,18)(3,25)(4,33)(5,40)(6,41)(7,50)(8,53)
\psplot{0}{15}{6.14 x mul 6.12 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{15}{87.5 1 2.71828 0.12 x mul neg exp sub mul}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

On a placé les points correspondants aux relevés effectués. On constate que sur les huit premières semaines les deux modèles donnent à peu près les mêmes résultats avec un léger avantage au modèle de la fonction exponentielle.

On constate enfin qu'à partir de la 10\up{e} semaine la méthode va donner des tailles beaucoup trop grandes. 
\end{enumerate}
\end{document}