\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
%tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL Biochimie - Génie biologique}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL La Réunion  juin 2007 \decofourright\\[4pt] Biochimie--Génie biologique}} 
    
%\vspace{0,8cm}
%
%Calculatrice et formulaire autorisés 
%
%\vspace{0,5cm}
%
%Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%Dans un lycée de \np{1280} élèves, 300 élèves se font vacciner contre la grippe. Pendant l'hiver, il y a une épidémie de grippe et 10\,\%
% des élèves contractent la maladie. De plus, 3\,\%
% des élèves vaccinés ont la grippe.
\begin{enumerate}
\item  Reproduire et compléter le tableau suivant, sans justifier les réponses :

\medskip

\begin{tabularx}{1\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&	Nombre d'élèves vaccinés &	Nombre d'élèves non vaccinés&TOTAL\\ \hline
Nombre d'élèves ayant eu la grippe		&9	&119	&128 \\ \hline
Nombre d'élèves n'ayant pas eu la grippe&291	&861	&\np{1152}\\ \hline
TOTAL									&300	&980	&\np{1280}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

%Pour les trois questions suivantes, tous les résultats seront arrondis à $0,001$ près.
\item  %On choisit au hasard l'un des élèves de ce lycée, tous les élèves ayant la même probabilité d'être choisis. On considère les évènements suivants :

%A : \og L'élève a été vacciné \fg ;
% 
%B : \og L'élève a eu la grippe \fg ;
%  
%C : \og  L'élève a été vacciné et a eu la grippe \fg. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer la probabilité des évènements A, B et C.
$p(\text{A}) = \dfrac{300}{\np{1280}} = \dfrac{15}{64} \approx 0,234$.

$p(\text{B}) = \dfrac{128}{\np{1280}} = \dfrac{1}{10} = 0,1$.

$p(\text{C}) = \dfrac{3}{\np{1280}}  \approx 0,002$.  
		\item  %Calculer la probabilité de l'évènement A $\cup$ B.
$p(\text{A} \cup \text{B}) =  p(\text{A}) + p(\text{B}) - p(\text{A} \cap \text{B}) = \dfrac{300}{\np{1280}} + \dfrac{128}{\np{1280}} - \dfrac{3}{\np{1280}} = \dfrac{425}{\np{1280}} = \dfrac{85}{256} \approx 0,332$.
	\end{enumerate}
\item  %On choisit au hasard un des élèves vaccinés. Calculer la probabilité de l'évènement : \og L'élève a eu la grippe \fg.
Sur les 300 élèves vaccinés, 3 ont eu la grippe. La probabilité de l'évènement est donc $\dfrac{3}{300} = \dfrac{1}{100} = 0,01$. 
\item  %On choisit au hasard un des élèves non vaccinés. Calculer la probabilité de l'évènement : \og L'élève a eu la grippe \fg.
Sur les 980 élèves non vaccinés 119 ont eu la grippe ; la probabilité de l'évènement est égale à $\dfrac{119}{980} \approx 0,121$. 
\item  %Expliquer pourquoi on peut en déduire que ce vaccin a été efficace pour les élèves de ce lycée.
À la lumière des deux derniers résultats on peut dire que le fait de se faire vacciner a divisé par 12 les chances d'avoir la grippe : la campagne a été efficace.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Dès l'apparition des premiers symptômes de l'épidémie, l'infirmière du lycée relève pendant 8 jours le nombre d'élèves malades. Le tableau ci-dessous indique les résultats observés.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Numéro du jour&	1&	2&	3&	4&	5&	6&	7& 8\\ \hline
%Nombre d'élèves grippés&	2&	5&	9&	14&	17&	23&	27& 31\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Voir la figure ci-dessous.%Construire dans un repère orthogonal le nuage de points associé cette série statistique. On prendra les unités suivantes :
%	\begin{itemize}
%		\item  en abscisse : 2 cm pour 1 jour ;
%		\item  en ordonnée : 1 cm pour 2 élèves. 
%	\end{itemize}
\begin{figure}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.4cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(8,32)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2]{->}(0,0)(8,32)
\psdots(1,2)(2,5)(3,9)(4,14)(5,17)(6,23)(7,27)(8,31)
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5](4.5,16)(2.5,7.5)(6.5,24.5)
\uput[ul](4.5,16){G} \uput[ul](2.5,7.5){G$_{1}$} \uput[ul](6.5,24.5){G$_{2}$}
\psplot[linecolor=blue]{1}{8}{4.25 x mul 3.125 sub} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{figure}
\item %Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage et le placer sur le graphique.
On a G$(4,5~;~16)$ 
\item %On appelle G$_{1}$ le point moyen des quatre premiers points de ce nuage et G$_{2}$ le point moyen des quatre derniers points. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer les coordonnées de G$_{1}$ et de G$_{2}$.
G$_{1}(2,5~;~7,5)$  et  G$_{2}(6,5~;~23,5$
		\item  %Placer les points G$_{1}$ et  G$_{2}$ sur le graphique puis tracer la droite (G$_{1}$G$_{2}$). 
		\item  %Déterminer une équation de la droite (G$_{1}$G$_{2}$) sous la forme $y =  mx + p$. On donnera les valeurs exactes de $m$ et de $p$.
Une équation de la droite (G$_{1}$G$_{2}$) est de la forme $y = ax + b$. Les coordonnées de G$_{1}$ et de G$_{2}$ vérifient l'équation soit, 

$\left\{\begin{array}{l c l}
7,5 = 2,5a + b\\
24,5 = 6,5a + b
\end{array}\right. \Rightarrow $ (par différence) $17 = 4a \iff a = 4,25$, puis 

$b = 7,5 - 2,5a = 7,5 - 2,5 \times 4,25 = 7,5 - 10,625 = - 3,125$.

Une équation de la droite (G$_{1}$G$_{2}$) est donc $y = 4,25x - 3,125$.
	\end{enumerate}
\item %En utilisant l'équation de la droite (G$_{1}$G$_{2}$), estimer à partir de combien de jours au moins 5\,\% des élèves du lycée seront atteints par la grippe.
5\,\% de \np{1280} représente $0,05 \times \np{1280} = 64$.

Il faut donc résoudre l'inéquation : 

$4,25x - 3,125 \geqslant 64 \iff 4,25x \geqslant 67,125 \iff x \geqslant \dfrac{67,125}{4,25}$

$\dfrac{67,125}{4,25} \approx 15,8$, donc le 18\up{e} jour au moins 5\,\% des élèves du lycée seront atteints par la grippe.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%On s'intéresse, lors d'une expérience, à la croissance d'une population de bactéries dont le nombre triple toutes les heures. À l'instant $t = 0$, la population est de 10 germes. 
\begin{enumerate}
\item  ~%Reproduire et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps (h)		&0	&1	&2	&6 	&9\\ \hline
Nombre de germes&10	&30	&900	&\np{2700}	&\np{8100} \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  %On appelle :
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[~] $u_{0}$ le nombre de germes à l'instant $t = 0$
%\item[~] $u_{1}$ le nombre de germes à l'instant $t = 1$
%\item[~] $u_{n}$ le nombre de germes à l'instant $t = n$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$.
D'après l'énoncé $u_{n+1} = 3u_{n}$.
		\item %En déduire la nature de la suite de terme général $\left(u_{n}\right)$ et donner ses caractéristiques.
La suite $\left(u_{n}\right)$ est donc géométrique de raison $3$ le premier terme étant $u_{0} = 10$.
		\item %Écrire $u_{n}$ en fonction de $n$.
On sait que $u_{n} = 3^n\times 4_{0} = 10 \times 3^n$.
		\item %Calculer à partir de quelle heure la population de bactéries atteindra au moins un million de germes.
Il faut résoudre l'inéquation :

$10 \times 3^n \geqslant 10^6 \iff 3^n \geqslant 10^5$. La calculatrice donne   $3^{10} = \np{59049}$ et $3^{11} = \np{177147}$.

Il faut donc attendre la 11\up{e} heure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par 

%\[f(t) = 10\text{e}^{(\ln 3)t}.\]

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
On a $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} (\ln 3)t = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{(\ln 3)t} = + \infty$ et enfin $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = + \infty$.
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$.
On a $f'(t) = 10 \ln 3\text{e}^{(\ln 3)t}$. 
		\item  %Étudier le signe de $f'(t)$ puis en déduire le tableau des variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
Tous les termes de $f'(t)$ sont supérieurs à zéro, donc $f'(t) > 0$ : la fonction est croissante sur $[0~;~+ \infty[$ de $f(0) = 10$ à plus l'infini.
	\end{enumerate}
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  %Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0 	&1	&2	&3		&4		& 5 \\ \hline
$f(t)$	&10	&30	&90	&270	&810	&\np{2430} \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
		\item ~ %Tracer dans un repère orthogonal \Oij{} la courbe représentative de la fonction $f$. On prendra pour unités graphiques :
%	\begin{itemize}
%		\item  2 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses;
%		\item  1 cm pour 100 unités sur l'axe des ordonnées.
%	\end{itemize}

\medskip

\psset{xunit=2cm,yunit=0.01cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(5.5,900)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=100]{->}(0,0)(5.5,900)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=100,Dx=0.1,labels=none]{->}(0,0)(5.5,900)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{10 3 x exp mul}
\multido{\n=0+1}{6}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,900)}
\multido{\n=0+100}{10}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(5,\n)}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt,arrowsize=2pt 3]{->}(0,500)(3.56,500)(3.56,0)
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

%Dans l'étude faite précédemment, la variation de la population bactérienne est modélisée par la solution $g$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ de l'équation différentielle $y' =  (\ln 3) y$ qui vérifie la condition initiale $g(0) = 10$.
\begin{enumerate}
\item %Vérifier que la fonction $f$ étudiée dans la partie B est égale à $g$.
On a $f'(t) = 10 \times \ln 3 \text{e}^{(\ln 3)t}$ et 

$(\ln 3)f(t) = (\ln 3) \times 10\text{e}^{(\ln 3)t}$, donc $f$ est bien une solution de l'équation différentielle : $y' =  (\ln 3) y$.

De plus $f(0) = 10 \text{e}^{(\ln 3)\times 0} = 10$.

Finalement $f = g$.
\item %Déterminer graphiquement, en faisant apparaître les constructions utiles, l'intervalle de temps pendant lequel la densité bactérienne est inférieure ou égale à 500.
On trace la droite d'équation $y = 500$ qui coupe la représentation graphique de $f$ en un point dont on trouve l'abscisse en le projetant sur l'axe des abscisses. On lit environ 3,55 soit environ 3~h 33~min.

La population bactérienne est inférieure ou égale à 500 de l'instant $0$ à l'instant 3~h 33~min.
\end{enumerate}
\end{document}