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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat STL  Biochimie - Génie biologique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{19 juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Métropole~\decofourright\\[4pt]Biochimie--Génie biologique  19 juin 2009}} 
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice autorisée 

\vspace{0,25cm}

Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 8 points}

\medskip

%\textbf{Questionnaire à choix multiples :}
%
%\medskip
%
%\emph{Pour chaque question une seule des propositions est exacte, aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse inexacte ou l'absence de réponse n'ajoute ni ne retire aucun point. }
%
%\medskip
%
%\emph{On inscrira sur la copie le numéro et les lettres de la réponse choisie. }
%
%\medskip
%
%\textbf{A.} Dans une entreprise de 200~employés, on dénombre 108~femmes, 100~cadres et 25~femmes cadres. On choisit, au hasard, une personne de cette entreprise. Chaque personne a la même probabilité d'être choisie. 
%
\begin{enumerate}
\item  %La probabilité que ce soit une femme est :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.}\quad $\dfrac{27}{50}$&\textbf{b.}\quad $\dfrac{1}{108}$&\textbf{c.}\quad environ 0,009\\
%\end{tabularx}
La probabilité est égale à $p(F) = \dfrac{108}{200} = \dfrac{54}{100} = \dfrac{27}{50} = 0,54$.
\medskip

\item  %La probabilité que ce soit une femme ou un cadre est :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}\quad $\dfrac{208}{200}$&\textbf{b.}\quad $0,915$&\textbf{c.}\quad $0,165$\\
%\end{tabularx}
La probabilité d'être un cadre est $p(C) = \dfrac{100}{200}$ ;

La probabilité d'être une femme cadre est $p(F \cap C) = \dfrac{25}{200}$ ;

Donc $p(F \cup C) = p(F) + p(C) - p(F \cup C) = \dfrac{108}{200} + \dfrac{100}{200} - \dfrac{25}{100} = \dfrac{183}{200} = 0,915$.
\medskip 
\item %La probabilité que ce soit un homme est :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.}\quad $0,46$&\textbf{b.}\quad $\dfrac{108}{200}$&\textbf{c.}\quad 0,54\\
%\end{tabularx}
$p(H) = \dfrac{92}{200} = 0,46$.
\medskip
 
\item  %On choisit maintenant une femme. La probabilité qu'elle ne soit pas cadre est :

\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.}\quad $\dfrac{83}{108}$&\textbf{b.}\quad $\dfrac{1}{83}$&\textbf{c.}\quad  0,415\\
%\end{tabularx}

%\medskip 
Sur 108 femmes, 25 sont cadres donc 83 ne le sont pas : la probabilité est donc égale à $\dfrac{83}{108}$.
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{B.} %Quelle est la limite en $+ \infty$ des fonctions proposées ? 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %$f(x) = - 2 + 4\text{e}^{2x}$
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 2x = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{2x} = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.}\quad $-2$&\textbf{b.}\quad $+ \infty$&\textbf{c.}\quad $- \infty$\\
%\end{tabularx}
\item $g(x) = x\left(3 - \dfrac{\ln x}{x} \right)$
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\ln x}{x} = 0$ et comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x = + \infty$, $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$.
\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.}\quad $+ \infty$&\textbf{b.}\quad $- \infty$&\textbf{c.}\quad $3$\\
%\end{tabularx}

\medskip

\end{enumerate}

\textbf{C.}  %Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 3$ et de raison $q = 0,5$. 

\begin{enumerate}
\item %Le terme $u_{3}$ est :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.}\quad $\dfrac{3}{8}$&\textbf{b.}\quad $\dfrac{27}{8}$&\textbf{c.}\quad  4,5\\
%\end{tabularx}
On sait que $u_{n} = 3 \times 0,5^n$, donc $u_{3} = 3 \times 0,5^3 = 3 \times 0,125 = 0,375 = \dfrac{3}{8}$
\medskip
\item  %La somme $S_{3} = u_{0} + u_{1} + u_{2} + u_{3}$  est :
$S_{3} = u_{0} + u_{1} + u_{2} + u_{3} = u_{0} + 0,5u_{0} + 0,5^2u_{0} + 0,5^3u_{0} = u_{0}\left(1 + 0,5 + 0,5^2 + 0,5^3\right) = u_{0}\times \dfrac{1 - 0,5^4}{1 - 0,5} = 3 \times \dfrac{1 - \frac{1}{16}}{\frac{1}{2}} = \dfrac{45}{8}$.
\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.}\quad $\dfrac{45}{8}$&\textbf{b.}\quad $\dfrac{15}{8}$&\textbf{c.}\quad  $\dfrac{7}{4}$\\
%\end{tabularx} 

%\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 12 points}

\medskip

%Deux étudiants ont pesé la masse d'une culture de levure de boulangerie (\emph{saccharomyces cerevisiae}) et ont noté la mesure $m_{i}$ de cette masse aux instants $t_{i}$.

%\medskip
% 
%L'expérience a duré 8 heures. Ils ont obtenu les résultats suivants : 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2,5cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%$t_{i}$ (en heures)&  0 &1&2&3&4&5&6&7&8\\ \hline 
%$m_{i}$ (en grammes)&  0,60 & 0,69 & 0,75 & 0,88 &0,99 & 1,06 &1,21 & 1,43 &1,57 \\ \hline 
%\end{tabularx}
%
%\medskip

%Les deux étudiants cherchent à modéliser la croissance de cette levure, c'est-à-dire à exprimer l'évolution de $m$ en fonction de $t$, au moyen d'une fonction dont la courbe est \og voisine \fg{} du nuage de points obtenu expérimentalement et qui est représenté sur le graphique donné en annexe.
%
%Celui-ci sera complété dans la \textbf{partie B} et rendu avec la copie. 
%
%\medskip
%
%\textbf{Dans toute la suite les résultats seront arrondis à \boldmath $10^{-2}$  près.}

%\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%Le premier étudiant pense à un ajustement affine, mais comme le résultat ne lui semble pas satisfaisant. Il décide d'utiliser un changement de variable.
 
\begin{enumerate}
\item~  %Reproduire et compléter le tableau suivant dans lequel $\ln m_{i}$ désigne le logarithme népérien de $m_{i}$.
 
\medskip
 
\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|p{2cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}*{4}{c|}}\hline
$t_{i}$ (en heures)&  0 	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8\\ \hline   
$y_{i} = \ln m_{i}$&\small$-0,51$	&\small$-0,37$&\small$-0,29$&\small$-0,13$&\small$-0,01$&\small0,06&\small0,19	&\small0,36&\small0,45\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item ~ %Représenter le nuage de points $M_{i}$ de coordonnées $\left(t_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal. Unités graphiques : 2~cm pour 1~heure en abscisses, 1~cm pour $0,1$ en ordonnées.
\medskip
\psset{xunit=1.25cm,yunit=6.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-0.6)(8,0.6)
\multido{\n=0.00+0.25}{33}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-0.6)(\n,0.6)}
\multido{\n=-0.60+0.05}{25}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(8,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1,comma=true]{->}(0,0)(0,-0.6)(8,0.6)
\psdots[linecolor=red](0,-0.51)(1,-0.37)(2,-0.29)(3,-0.13)(4,-0.01)(5,0.06)(6,0.19)(7,0.36)(8,0.45)
\end{pspicture}
\end{center} 
\item  %Tracer la droite (D) passant par les points $M_{0}$ et $M_{8}$ d'abscisses respectives $0$ et $8$ et déterminer son équation sous la forme $y = at + b$.
On a M$_{0}(0~;~-0,51)$ et M$_{8}(8~;~0,45)$.

Le coefficient directeur de la droite est $\dfrac{0,45 - (-0,51)}{8 - 0} = \dfrac{0,96}{8} = 0,12$.

Les coordonnées de M$_{0}$ vérifient l'équation $y = at + b$, donc $-0,51 = 0 \times 0,12 + b \iff b = - 0,51$.

Une équation de la droite $\left(\text{M}_{0}\text{M}_{8} \right)$ est donc $y = 0,12t - 5,1$. 
%On admet dans la suite de  cette partie que cette droite donne une approximation satisfaisante du nuage de points $M_{i}$. 
 
\item  %En déduire l'expression de $m$ en fonction de $t$. Montrer qu'elle peut s'écrire : 
Comme $y = \ln m \iff m = \text{e}^y = \text{e}^{0,12t - 0,51} = \text{e}^{0,12t} \times \text{e}^{-0,51}= \np{0,6004} \approx 0,6$.

Donc $m = 0,6\text{e}^{0,12t}$.
%\[m(t) = 0,6\text{e}^{0,12t} \qquad  (1) \]

\item  %Déterminer à quel instant, selon ce modèle (1), la masse $m$ de levure aura atteint trois grammes. On donnera le résultat en heures et minutes.
Il faut résoudre l'équation :

$m(t) = 3 \iff 0,6\text{e}^{0,12t} = 3 \iff \text{e}^{0,12t}  = \dfrac{3}{0,6} = 5 \iff $ (par croissance de la fonction logarithme népérien $ 0,12t = \ln 5 \iff t = \dfrac{\ln 5}{0,12} \approx 13,41$ soit environ  13~h et $0,41 \times 60 = 24,6$~min, soit environ 13~h 25~min.
\item  %Quelqu'un affirme que, selon ce modèle, la masse de levure augmente chaque heure d'une même quantité. Est-ce exact ? On justifiera la réponse.
$m(0) = 0,6,~m(1) \approx 0,612,~m(2) \approx 0,624,~m(3) \approx 0,637$ soit une augmentation de 0,012 ; 0,012 et 0,013. L'affirmation est fausse. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
%Le deuxième étudiant se souvient que, dans des cas comparables qu'il a déjà rencontrés, la vitesse de croissance est proportionnelle à la quantité de matière qui se reproduit. Il cherche donc une fonction solution de l'équation différentielle :
% 
%\[m'(t) = c m(t) \quad \text{où}~ c~ \text{est un nombre réel.}\] 
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Donner les solutions de l'équation différentielle ci-dessus.
On sait que les solutions s'écrivent $m(t) = K\text{e}^{ct}$, avec $K \in \R$. 
	\item %Déterminer, parmi les solutions précédentes, la solution $m(t)$ qui vérifie les  conditions $m(0) = 0,60$ et $m(8) = 1,57$.
On doit avoir :

$\left\{\begin{array}{l c l}
m(0) &=& 0,60\\
m(8) &=& 1,57
\end{array}\right. \iff  
\left\{\begin{array}{l c l}
K&=&0,6\\
K\text{e}^{8c}&=&1,57
\end{array}\right. \Rightarrow 0,6\text{e}^{8c} = 1,57 \iff \text{e}^{8c} = \dfrac{1,57}{0,6} \iff $ (par croissance de la fonction logarithme népérien) $ 8c = \ln \left(\dfrac{1,57}{0,6} \right) \iff c = \dfrac{1}{8}\ln \left(\dfrac{1,57}{0,6} \right) \approx 0,12$.

La solution s'écrit donc $m(t) = 0,6\text{e}^{0,12t}$.
	\end{enumerate}
\item  %On admet que la fonction ainsi obtenue peut s'écrire (après arrondi) : 

%\[m(t) = 0,6\text{e}^{0,12t} \qquad  (2) \]
	
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $m'(t)$. En déduire le sens de variation de $m$ lorsque $t$ varie  de 0 à 8.
$m$ est dérivable sur [0~ ;~8] et sur cet intervalle :
		
$m'(x) = 0,6 \times 0,12\text{e}^{0,12t} =  0,072\text{e}^{0,12t}$.

On a donc $m'(t) > 0$ sur [0~ ;~8], donc la fonction est croissante sur cet intervalle.
	\item %Tracer la courbe $(\mathcal{C})$ obtenue avec ce modèle (2) sur le graphique de l'annexe. Tracer la tangente (T) à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $0$ et expliquer comment elle a été tracée.
Voir à la fin 
	\item %Sachant que $m'(t)$ représente la vitesse instantanée (en g/h) d'augmentation de la masse, calculer la vitesse à l'instant $0$.
On a $m'(0) = 0,072\text{e}^{0,12 \times 0} = 0,072$.

La vitesse instantanée (en g/h) d'augmentation de la masse à l'instant $0$ est 0,072~(g/h).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe}

\vspace{0,5cm}

\textbf{à rendre avec la copie d'examen}

\vspace{0,5cm}

\begin{flushleft}\textbf{Évolution de la masse de levure en fonction du temps}\end{flushleft}

\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=1.2cm,yunit=6cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.1)(9,2.2)
\multido{\n=0+0.5}{17}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,2.2)}
\multido{\n=0.1+0.1}{23}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(9,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.2](0,0)(0,0)(9,2.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.2]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](8,0){$t$ en heures} \uput[r](0,2.15){$m$ en grammes} \uput[dl](0,0){O}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](0,0.6)(1,0.69)(2,0.75)(3,0.88)(4,0.99)(5,1.06)(6,1.21)(7,1.43)(8,1.57)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8}{0.6 2.71828 0.12 x mul exp mul}\uput[dr](7.5,1.48){\blue $\mathcal{C}$}
\psplot{0}{5}{0.072 x mul 0.6 add}\uput[d](5,0.95){(T)}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}