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%Tapuscrit : L. Mérat, Lycée Les Lombards, Troyes
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\textbf{\textsl{Exercice \arabic{numeroexo} (sur #1) :}}}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\titre{Corrigé STL Biochimie Métropole septembre 2007}



\exo{8}
\begin{enumerate}
\item   
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
		&Physiciens &Chimistes 	&Biologistes &Total\\ \hline 
Femmes 	&12			&15			&23			&50 \\ \hline
Hommes 	&18			&21			&31			&70 \\ \hline 
Total 	&30			&36			&54			&120  \\ \hline 
\end{tabularx}

\item La proportion de femmes physiciennes est : $\dfrac{12}{30} = 40\%$

La proportion de femmes chimistes est : $\dfrac{15}{36} \approx 41,7\%$

La proportion de femmes biologistes est : $\dfrac{12}{30} \approx 42,6\%$

La spécialité qui a proportionnellement le plus de femmes est la biologie.
\item  Il y a équiprobabilité donc : $P(\text{A}) = \dfrac{50}{120} = \dfrac{5}{12}$ et $P(\text{B}) = \dfrac{54}{120} = \dfrac{9}{20}$
\item A $\cap B$ : \og La personne interrogée est une femme biologiste \fg ; $P(\text{A} \cap \text{B}) = \dfrac{23}{120}$

A $\cup B$ : \og La personne interrogée est une femme ou un biologiste \fg ;\\ $P(\text{A} \cup \text{B}) = P(\text{A}) + P(\text{B}) - P(\text{A} \cap \text{B}) = \dfrac{5}{12} + \dfrac{9}{20} - \dfrac{23}{120} = \dfrac{27}{40}$

$\overline{\text{A}} \cap \overline{\text{B}}$ : \og La personne interrogée est un homme non biologiste \fg ; $P(\overline{\text{A}} \cap \overline{\text{B}}) = \dfrac{18+21}{120} = \dfrac{13}{40}$.
\item Il y a équiprobabilité donc : $P(\text{C}) = \dfrac{31}{70}$
\end{enumerate}

\exo{12} \textbf{Partie A}
 
\begin{enumerate}
\item  \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t_{i}$	&0		& 1		&2		&3		&4		&5		&6		&7 \\ \hline
$x_{i}$	&175 	&105 	&60 	&42 	&25 	&15 	&10 	&6\\ \hline
$z_{i}$	&$5,2$	&$4,6$	&$4,1$	&$3,7$	&$3,1$	&$2,6$	&$2,1$	&$1,4$\\ \hline
\end{tabularx}
\item Voir graphique.

\item  Un ajustement linéaire semble justifié car les points sont quasiment alignés.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Les coordonnées de $G_{1}$ sont $\dfrac{0+1+2+3}{4} = 1,5$ et $\dfrac{5,2+4,6+4,1+3,7}{4} = 4,4$.
		
Les coordonnées de $G_{2}$ sont $\dfrac{4+5+6+5}{4} = 5,5$ et $\dfrac{3,1+2,6+2,1+1,4}{4} = 2,3$.

		Donc, $G_{1}(1,5~;~4,4)$ et $G_{2}(5,5~;~2,3)$. Voir points et droite sur le graphique.		
		\item $\left(G_{1}G_{2}\right)$ : $z = a t + b$.\\
		$a = \dfrac{2,3-4,4}{5,5 - 1,5} \approx -0,53$. Donc, $\left(G_{1}G_{2}\right)$ : $z = -0,53 t + b$.\\
		Or $G_{1}(1,5~;~4,4) \in \left(G_{1}G_{2}\right)$ donc $4,4 = -0,53 \times 1,5 + b$ d'où $b = 4,4 + 0,53 \times 1,5 \approx 5,20$.
		
La droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ admet pour équation réduite $z = - 0,53 t + 5,20$. 
	\end{enumerate} 
\item $z = - 0,53 t + 5,20 \Leftrightarrow \ln(x-2) = - 0,53 t + 5,20 \Leftrightarrow x-2 = \text{e}^{- 0,53 t + 5,20} \Leftrightarrow x = \text{e}^{- 0,53 t + 5,20} + 2$\\
$x \leqslant  3 \Leftrightarrow \text{e}^{- 0,53 t + 5,20} + 2 \leqslant  3 \Leftrightarrow \text{e}^{- 0,53 t + 5,20}  \leqslant  1 \Leftrightarrow \ln\left(\text{e}^{- 0,53 t + 5,20}\right)  \leqslant  \ln(1)\\ \Leftrightarrow - 0,53 t + 5,20  \leqslant  0 \Leftrightarrow 5,20  \leqslant  0,53 t \Leftrightarrow \dfrac{520}{53}  \leqslant  t $. 
\end{enumerate}

\textbf{Partie B} $x(0) = 173\text{e}^{- 0,53\times 0} + 2 = 175$ et $x'(t) = 173\times (-0,53)\text{e}^{- 0,53t}$\\
Or, $- 0,53(x(t)- 2) = - 0,53(173\text{e}^{- 0,53t} + 2- 2) = 173\times (-0,53)\text{e}^{- 0,53t} = x'(t)$.

Donc, la fonction $x$  est la solution de (E) telle que $x(0) = 175$

\noi\textbf{Partie C}
\begin{enumerate}
\item  $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{- 0,53t} = 0$ donc $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 2$.\\
Donc la droite $y = 2$ est asymptote horizontale en $+\infty$. 
\item 

 $f'(t) = 173\times (-0,53)\text{e}^{- 0,53t} = -91,69 173\times (-0,53)\text{e}^{- 0,53t} < 0$. Donc $f$ est décroissante.\\
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(1.5,3.5)(9.5,8.5)
\psline(2,8)(9,8)
\psline(9,8)(9,4)
\psline(9,4)(2,4)
\psline(2,4)(2,8)
\psline(2,7)(9,7)
\psline(4,8)(4,4)
\psline{->}(4.68,6.54)(8.18,4.42)
\rput[tl](2.94,7.7){$t$}
\rput[tl](2.84,5.6){$f(t)$}
\rput[tl](4.18,7.56){0}
\rput[tl](8.3,7.56){$+\infty$}
\rput[tl](4.2,6.9){175}
\rput[tl](8.56,4.48){2}
\end{pspicture*}

\item \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t$		&0	&1		&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7 	&8 		&9 		&10 \\ \hline
$f(t)$	&175&103,8	&61,9	&37,3	&22,8	&14,2	&9,2	&6,2&4,5	&3,5	&2,1 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Voir Graphique.
\item Graphiquement l'inéquation $f(t) \leqslant  30$ pour $t \geqslant 3,44$.

\begin{center}
\psset{xunit=20.0cm,yunit=2.0cm}
\begin{pspicture*}(-0.03,-0.15)(0.5,9)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-0.03,-0.15)(0.5,9)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.1cm,algebraic=true,dotstyle=x,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=20,Dy=20,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.5,-3)(10,180)
\psplot[plotpoints=200]{-0.5}{10.0}{173*2.718281828^(-(0.53)*x)+2}
\psplot{-0.5}{10}{(--2-0*x)/1}
\psplot{-0.5}{10}{(--30-0*x)/1}
\psline[linestyle=dashed,dash=6pt 6pt](3.44,-3)(3.44,30)
\rput[tl](3.12,-1){3,44}
\rput[bl](1,175.13){$\mathcal{C}$}
\rput[bl](8,4.61){$y=2$}
\rput[bl](8,32.77){$y=30$}
\psdots[linecolor=darkgray](3.44,30)
\rput[bl](3,175){\textbf{Graphique Exercice 2 Partie C}}
\psdots[linecolor=darkgray](3.44,0)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}

\newpage

%\textbf{Graphique Exercice 2 Partie A}

\psset{xunit=2.0cm,yunit=4.0cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(7.5,5.5)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-0.5,-0.5)(7.5,5.5)
\psset{xunit=2.0cm,yunit=4.0cm,algebraic=true,dotstyle=x,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(7.5,5.5)
\psplot{-0.5}{7.5}{(--20.75-2.1*x)/4}
\psdots[linecolor=blue](0,5.2)
\psdots[linecolor=blue](1,4.6)
\psdots[linecolor=blue](2,4.1)
\psdots[linecolor=blue](3,3.7)
\psdots[linecolor=blue](4,3.1)
\psdots[linecolor=blue](5,2.6)
\psdots[linecolor=blue](6,2.1)
\psdots[linecolor=blue](7,1.4)
\psdots[linecolor=blue](1.5,4.4)
\rput[bl](1.58,4.52){\blue{$G_1$}}
\psdots[linecolor=blue](5.5,2.3)
\rput[bl](5.58,2.42){\blue{$G_2$}}
\rput[bl](3,5){\textbf{Graphique Exercice 2 Partie A}}
\rput[bl](0.5,5.5){$\left(G_{1}G_{2}\right)$}
\end{pspicture*}
\end{document}