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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL Biochimie}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{14 septembre 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Biochimie Métropole~\decofourright\\
14 septembre 2010}}\\

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 9 points}

\medskip
 
%Le tableau ci-dessous décrit l'évolution de la capacité mondiale de production d'électricité des éoliennes, depuis l'année 2000, en mégawatts (MW).
%
%\medskip
%
%{\footnotesize \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{1.8cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%\begin{tabular}{c}Année\\ \end{tabular} &2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008\\ \hline 
%\begin{tabular}{c}Rang de\\ l'année $x_{i}$\end{tabular}& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ \hline 
%\begin{tabular}{c}Production en\\ mégawatts $y_{i}$\end{tabular}&\np{16700} &\np{23600} &\np{29700} &\np{38700} &\np{46400} &\np{56000} &\np{72200} &\np{90000} &\np{120600}\\ \hline
%\end{tabularx}}
%
%\medskip 

\begin{enumerate}
\item %Recopier et compléter le tableau suivant, où $\ln \left(y_{i}\right)$ désigne le logarithme népérien de $y_{i}$.

%\medskip
% 
%Les valeurs seront arrondies à $10^{-2}$ près.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{1.6cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
$x_{i}$&1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ \hline
$z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$&9,72&10,07&10,30&10,56&10,75&10,93&11,19&11,41&11,70\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item~ %Construire le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$ dans un repère orthogonal.
 
%En ce qui concerne le graphique, on prendra pour origine le point de coordonnées $(0~;~9)$ et pour unités : 1~cm pour 1 année en abscisse et 5~cm pour 1 unité en ordonnée.

\medskip

\psset{xunit=0.8cm,yunit=3cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.5,8.8)(13.4,12.8)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=9]{->}(0,9)(13.6,12.8)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](1,9.72)(2,10.07)(3,10.30)(4,10.56)(5,10.75)(6,10.93)(7,11.19)(8,11.41)(9,11.70)
\psdots(3,10.28)(7.5,11.31)
\uput[d](3,10.28){$G_{1}$}\uput[d](7.5,11.31){$G_{2}$}
\psplot{0}{13}{0.229 x mul 9.593 add}
\psline[linestyle=dashed,arrowsize=3pt 5]{->}(13,9)(13,12.57)(0,12.57)
\psline[linestyle=dashed,arrowsize=3pt 5]{->}(0,12.35)(12,12.35)(12,9)
\uput[l](0,12.57){$\approx 12,6$}\uput[l](0,12.35){$\approx 12,35$}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\item %On désigne par $G_{1}$ le point moyen des cinq premiers points du nuage et $G_{2}$ le point moyen des quatre derniers. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer les coordonnées de $G_{1}$ et de $G_{2}$ et placer ces points sur le graphique.
On trouve $G_{1}(3~;~10,28)$ et $G_{2}(7.5~;~11,31)$. 
		\item  %Tracer la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ et déterminer son équation sous la forme 
		
%$z = ax + b$. Les valeurs de $a$ et $b$ seront arrondies à $10^{-2}$ près.
Si l'équation est de la forme $z = ax + b$, alors les coordonnées de $G_{1}$ et de $G_{2}$ vérifient cette équation soit :

$\left\{\begin{array}{l c l}
10,28&=&3a + b\\
11,31&=&7,5a + b
\end{array}\right. \Rightarrow 1,03 = 4,5a~ (\text{par différence}) \iff a \approx 0,23$, puis 

$b \approx 10,28 - 3 \times 0,23$ soit $b \approx 9,59$.

Une équation de la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ est approximativement : 
$z = 0,23x + 9,59$.		 
%On admet que cette droite donne un ajustement satisfaisant du nuage de points.
	\end{enumerate} 
\item  	%En utilisant l'ajustement réalisé à la question précédente : 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer, par une lecture graphique ou par un calcul, la capacité de production, exprimée en mégawatts, des éoliennes en 2012. On donnera une valeur arrondie au millier de mégawatts près.
Par lecture graphique : voir le graphique. Donc $z_{13} = \ln (y_{13} = 12,57 \iff y_{12} = \text{e}^{12,57} \approx \np{288000}$~(mégawatts).

Par le calcul : pour $x = 13$, on obtient $z \approx 0,23 \times 12 + 9,59 \approx 12,58$. 
		\item  %Déterminer, par une lecture graphique ou par un calcul, en quelle année la capacité pourrait atteindre \np{230000}~mégawatts.
On a $\ln  \np{230000} \approx 12,35$.

Par lecture graphique : voir le graphique. On obtient à peu près 2011.

Par le calcul  : $12,35 = 0,23x + 9,59 \iff 0,23x = 2,76 \iff x = \dfrac{2,99}{0,23} \approx 12$ ce qui correspond à 2011.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 11 points}

\medskip

%On étudie l'évolution d'une population de rongeurs limitée par un prédateur, en fonction du temps $t$. On admet que la taille de la population, exprimée en centaines d'individus, est modélisée par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par :
% 
%\[ f(t) = \dfrac{3\text{e}^{0,5t}}{\text{e}^{0,5t} + 2},\]
% 
%où $t$ représente le temps écoulé depuis l'an 2000, exprimé en années (donc $t = 0$ en l'an 2000).
% 
%On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f(0)$ et interpréter ce résultat.
$f(0) = \dfrac{3\text{e}^{0,5\times 0}}{\text{e}^{0,5\times 0} + 2} = \dfrac{3}{1 + 2} = 1$.

Cela signifie qu'en 2000 la population initiale de rongeurs était de 100 individus.
		\item %Montrer que : 
%\[f(t) = 3 - \dfrac{6}{\text{e}^{0,5t} + 2}.\]
$f(t) = \dfrac{3\text{e}^{0,5t} + 6 - 6}{\text{e}^{0,5t} + 2} = \dfrac{\left[3\text{e}^{0,5t} + 6 \right] - 6}{\text{e}^{0,5t} + 2} = 3 - \dfrac{6}{\text{e}^{0,5t} + 2}$.
		\item %En déduire la limite de $f$ quand $t$ tend vers $+\infty$.
De $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{0,5t} = + \infty$, on déduit $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \dfrac{6}{\text{e}^{0,5t} + 2} = 0$, d'où $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 3$.		 
%Que peut-on en déduire sur l'évolution à long terme de cette population ?
À long terme la population de rongeurs va atteindre 300.
	\end{enumerate} 
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la dérivée $f'$ de la fonction $f$ vérifie, sur $[0~;~+ \infty[$ :
		 
%\[f'(t) = \dfrac{3\text{e}^{0,5t}}{\left(\text{e}^{0,5t} + 2 \right)^2}\]
La dérivée de $\text{e}^{0,5t}$ étant $0,5\text{e}^{0,5t}$, en utilisant la formule de la dérivée d'un quotient :

$f'(t) = \dfrac{3 \times 0,5\text{e}^{0,5t}\left(\text{e}^{0,5t} + 2  \right) - 3 \text{e}^{0,5t}\times 0,5\text{e}^{0,5t}}{\left(\text{e}^{0,5t} + 2 \right)^2} = 
\dfrac{1,5\text{e}^{0,5t}\left(\text{e}^{0,5t} + 2  \right) - 1,5\text{e}^{t}}{\left(\text{e}^{0,5t} + 2 \right)^2} = $

$\dfrac{1,5\text{e}^{t} + 3\text{e}^{0,5t} - 1,5\text{e}^{t} - }{\left(\text{e}^{0,5t} + 2 \right)^2} = \dfrac{3\text{e}^{0,5t}}{\left(\text{e}^{0,5t} + 2 \right)^2}$.
		\item  %Étudier le signe de $f'(t)$, puis établir le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
Comme $1,5 > 0,~\text{e}^{0,5t} > 0,~\left(\text{e}^{0,5t} + 2 \right)^2 > 0$,  $f'(t) > 0$. La fonction $f$ est croissante sur $[0~;~+ \infty[$ de 1 à 3.
	\end{enumerate} 
\item %Recopier et compléter le tableau de valeurs numériques ci-dessous. 
%On arrondira les valeurs à $10^{-2}$ près.

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t$		&0	& 2 	& 4 	& 6 	& 8 	&10\\ \hline
$f(t)$	&1 	&1,73	&2,36	&2,73	&2,89	&2,96\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item %Construire la courbe $(\mathcal{C})$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques :
 
%1~cm pour 1~année en abscisse, et 5~cm pour une centaine d'individus en ordonnée. 
Voir à la fin.
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%Déterminer en quelle année la population de rongeurs dépassera 250~individus. 
Graphiquement 250 individus correspondent à $f(t) = 2,5$. On trace donc à partir du point (0~;~2,5) la parallèle à l'axe des abscisses qui coupe la courbe $(\mathcal{C})$ en un point où on trace la parallèle à l'axe des ordonnées qui donne l'abscisse de ce point : on lit à peu près : 4,6. On sera donc en 2005.

Par le calcul : il faut résoudre $f(t) = 2,5 \iff \dfrac{3\text{e}^{0,5t}}{\text{e}^{0,5t} + 2} = 2,5 \iff 3\text{e}^{0,5t} = 2,5\text{e}^{0,5t} + 5 \iff 0,5\text{e}^{0,5t} = 5 \iff \text{e}^{0,5t} = 10 \iff 0,5t = \ln 10$~(par croissance de la fonction ln) soit finalement $t = 2\ln 10 \approx 4,6$. On trouve le même résultat.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=1cm,yunit=5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(11,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(11,3)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{11}{2.71828 0.5 x mul exp 3 mul 2.71828 0.5 x mul exp 2 add div}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt,arrowsize=2pt 3]{->}(0,2.5)(4.605,2.5)(4.605,0)
\uput[d](4.6,0){$\approx 4,6$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}