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%tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL  Biochimie - Génie biologique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL 
Biochimie Métropole~\decofourright\\[4pt]juin 2006}} 
    
%\vspace{0,8cm}
%
%Calculatrice autorisée 
%
%\vspace{0,5cm}
%
%Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 9 points}

\medskip

%Le danger d'une exposition au bruit dépend de deux facteurs :
%
%\setlength\parindent{5mm} 
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$]  le niveau sonore $(x_{i})$
%\item[$\bullet~$] la durée de l'exposition $(y_{i})$
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%Le niveau sonore est exprimé en décibels, dont l'abréviation est dB.
%
%Par exemple :
%
%- 50 dB est le niveau habituel de conversation
%
%- 85 dB est le seuil de nocivité (pour une exposition de 8 heures par jour).
%
%Des durées limites d'exposition quotidienne à une phase bruyante ont été calculées et intégrées à la réglementation. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous :
 
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|*{2}{c|}}\hline
%Niveau sonore en dB  : $x_{i}$&	Durée maximale d'exposition en heures par jour : $y_{i}$\\ \hline
%$x_{1} = 85$& $y_{1} = 8$\\ \hline
%88&	4\\ \hline
%91&	2\\ \hline
%94&	1\\ \hline
%97&	0,5\\ \hline
%100& 0,25\\ \hline
%\end{tabular}
%\end{center}
% 
%Ainsi être exposé 8 heures à 85 dB est exactement aussi dangereux que d'être exposé 1 heure à 94 dB.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que les six niveaux sonores donnés dans la première colonne du tableau ci-dessus sont en progression arithmétique.
À partir du deuxième, chaque niveau est égal au précédent augmenté de 3 : les six niveaux sonores donnés dans la première colonne du tableau ci-dessus sont en progression arithmétique de raison 3.
		\item %On suppose que la progression reste la même. Déterminer le terme $x_{13}$.
		On arrive à $x_{13}$ après 12 ajouts du nombre 3, donc $x_{13} = 85 + 12 \times 3 = 85 + 36 = 121$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que les durées maximales d'exposition, exprimées en heures par jour, données dans la deuxième colonne sont en progression géométrique.
À partir de la deuxième chaque durée maximale est égale à la précédente multipliée par $0,5$ (ou divisée par 2) : les 6 premières durée sont en progression géométrique de raison $0,5 = \dfrac{1}{2}$.
		\item %On suppose que la progression reste la même. Déterminer le terme $y_{13}$. Arrondir à la seconde la plus proche.
On a de m\^eme : $y_{13} = y_{1}\times 0,5^{12} \approx \np{0,001953}$~h soit $\np{0,001953} \times \np{3600} \approx 7$~secondes.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %On pose $z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$, où ln désigne la fonction logarithme népérien.
		
%Recopier puis compléter le tableau ci-dessous dans lequel on fera figurer les valeurs approchées de $z_{i}$ arrondies à $10^{-3}$ près.

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Niveau sonore $x_{i}$			&85		&88	&91	&94	&97 &100\\ \hline
$z_{i} =\ln \left(y_{i}\right)$	&2,079	&1,386	&0,693	&0	&$-0,693$	&$-1,386$ \\ \hline
\end{tabularx}\]

		\item %Placer les points de coordonnées $\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$ dans un repère orthogonal tel que l'intersection des axes a pour coordonnées (85~;~0) ; 0,5 cm représente 1 dB en abscisse et 1 cm représente 0,5 unité en ordonnées.
Voir à la fin. 
		\item %Les points du nuage semblent alignés.
		
%Déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$ passant par le point A d'abscisse 85 et le point B d'abscisse 94, sous la forme $z = ax + b$, où $a$ et $b$ sont calculés à $10^{-3}$ près.
On écrit que les coordonnées des points A et B vérifient l'équation 

$z = ax + b$ soit :

$\left\{\begin{array}{l c l}
2,079 &=& 85a + b\\
0&=&094a + b
\end{array}\right. \Rightarrow $ (par différence) $-2,079 = 9a \iff a = -0,231$ et comme $b = -94a = -94 \times (-0,231) = 21,714$.

Une équation de la droite $\mathcal{D}$ est donc $z = -0,231x + 21,714$.
	\end{enumerate}
\item %Un concert de rock atteint les 120 dB. Déterminer pendant combien de temps, exprimé en secondes, on peut l'écouter pour que les normes en vigueur soient respectées :
	\begin{enumerate}
		\item %en utilisant l'équation de la droite $\mathcal{D}$ ;
Avec $x = 120$, on obtient grâce à l'équation $z = -0,231 \times 120 + 21,714 = -6,006 = \ln y$, d'où  $y = \text{e}^{6,006}\approx \np{0,002464}$~h soit environ $\np{0,002464} \times \np{3600} \approx 9$~secondes.
		\item %en utilisant le graphique (laisser apparents les tracés utiles).
		On trace la droite d'équation $x = 120$ qui coupe la droite $\mathcal{D}$ en un point dont on trouve l'ordonnée en le projetant sur l'axe des ordonnées. On lit environ $- 6$. Le calcul donne ensuite $y \approx 9$~secondes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=0.3cm,yunit=1.2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-6.5)(40,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=85,Dx=2]{->}(0,0)(0,-6.5)(40,2.5)
\uput[d](40,0){$x_{i}$} \uput[l](0,2.5){$z_{i}$}
\psdots(0,2.079)(3,1.386)(6,0.693)(9,0)(12,-0.693)(15,-1.386)
\psplot{0}{38}{2.079 x  0.231 mul sub}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(35,0)(35,-6)(0,-6)
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 11 points}

\medskip

%On injecte à l'instant $t = 0$ une substance dans le sang d'un animal. La concentration $C$ (en mg/L) de la substance injectée varie en fonction du temps $t$ exprimé en heures suivant la relation :
%
%\[C(t) = 8\left(\text{e}^{-t} - \text{e}^{-2t}\right).\]
%
%On définit ainsi une fonction $C$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
%
%On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $C$ dans un repère orthogonal \Oij.
%
%Unités graphiques :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item 2 cm pour une unité sur l'axe des abscisses
%\item 5 cm pour une unité sur l'axe des ordonnées.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la limite de la fonction $C$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$.
		On sait que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}\text{e}^{-t} = \displaystyle\lim_{t \to + \infty}\text{e}^{-2t} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} C(t) = 0$
		\item %La courbe $\mathcal{C}$ admet-elle une asymptote ? Si oui, préciser son équation.
Le résultat précédent montre que l'axe des abscisses d'équation $y = 0$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la dérivée $C'$ de $C$. Montrer qu'elle vérifie $C'(t) = 8\text{e}^{-2t}\left(2 - e\text{e}^t\right)$.
$C$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et sur cet intervalle :
		
$C't) = 8\left(-\text{e}^{-t} + 2 \text{e}^{-2t}\right) = 8\left(-\text{e}^{-2t}\text{e}^{t} + 2 \text{e}^{-2t}\right) = 8\text{e}^{-2t}\left(-\text{e}^{t} + 2 \right)$.
		\item %Résoudre dans l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ l'équation $C'(t) = 0$. Calculer la valeur exacte de la solution, puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
$C'(t) = 0 \iff 8\text{e}^{-2t}\left(-\text{e}^{t} + 2 \right) = 0 \iff -\text{e}^{t} + 2  = 0$ (car $8\text{e}^{-2t} \neq 0$ quel que soit le réel $t$) $\iff 2 = \text{e}^{t} \iff $ (par croissance de la fonction logarithme népérien) $ \ln 2 = t$. La dérivée s'annule en $\ln 2$. 
		\item %Étudier le signe de $C'(t)$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
		On résout de m\^eme $C'(t) > 0 \iff 8\text{e}^{-2t}\left(-\text{e}^{t} + 2 \right) > 0 \iff -\text{e}^{t} + 2  > 0$ (car $8\text{e}^{-2t} > 0$ quel que soit le réel $t$) $\iff 2 > \text{e}^{t} \iff $ (par croissance de la fonction logarithme népérien) $ \ln 2 > t$.
		
La dérivée est positive sur l'intervalle $[0~;~\ln 2[$ : la fonction est croissante sur cet intervalle et par un calcul analogue la fonction est décroissante sur $[\ln 2~;~+ \infty[$.
		\item %En déduire le tableau de variations de la fonction $C$. Montrer que la valeur maximale de la concentration est 2.
La fonction a donc un maximum $C(\ln 2) = 8\left(\text{e}^{-\ln 2} - \text{e}^{-2\ln 2}\right) =$

$8\left(\dfrac{1}{\text{e}^{\ln 2}} - \dfrac{1}{\text{e}^{2\ln 2}}\right) = 8\left(\dfrac{1}{\text{e}^{\ln 2}} - \dfrac{1}{\text{e}^{\ln 2^2}}\right) = 8\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}\right) = 8\left(\dfrac{1}{4}\right) = 2$.

D'où le tableau de variations :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2)(8,2)\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.1,2.5){$0$} \uput[u](5,2.5){$\ln 2$} \uput[u](7.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$} \rput(3.5,2.25){$+$} \rput(5,2.25){$0$} \rput(6.5,2.25){$-$}
\rput(1,1){$f(x)$} \uput[u](2.2,0){$0$} \uput[d](5,2){$2$}\uput[u](7.6,0){$0$}
\psline{->}(2.5,0.5)(4.5,1.5)\psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.5) 
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item %Déterminer l'équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
Une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ est 

$y = C(0) + C'(0)(x - 0)$.

$C(0) = 0$ et $C'(0) = 8\text{e}^{-2\times 0}\left(-\text{e}^{0} + 2 \right) = 8(- 1 + 2) = 8$.

Une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ est $y = 8x$.
\item %Recopier puis compléter le tableau de valeurs ci-dessous, en arrondissant les valeurs de $C( t)$ à $10^{-2}$ près.

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$ (en heures)	& 0 &0,25	&0,5&1	&1,5&2	&2,5&3	&4 	&5\\ \hline
$C(t)$			&0	&1,38		&1,91	&1,86	&1,39	&0,94	&0,60	&0,38	&0,14	&0,05 \\ \hline
\end{tabularx}\]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Construire la tangente $T$ en précisant les coordonnées des deux points qui permettent son tracé.
		On peut utiliser les deux points de $T$ de coordonnées (0~;~0) et (0,25~;~2). 
		\item %Construire dans le même repère la courbe $\mathcal{C}$ sur l'intervalle [0~;~5].
Voir à la fin.
	\end{enumerate}
\item %Déterminer graphiquement au bout de combien de temps la concentration retombe à la moitié de sa valeur maximale, en faisant figurer les tracés utiles.

%Donner le résultat en heures et minutes en arrondissant à la minute la plus proche.
On trace la droite d'équation $y = 1$ qui coupe $\mathcal{C}$ en deux points dont on trouve les abscisses en les projetant sur l'axe des abscisses. On lit à peu près : $x \approx 1,9$~h soit à peu près 1~h 54~minutes pour le deuxième point d'intersection.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=2cm,yunit=5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(6,2.1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(6,2.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](6,0){$t$}\uput[l](0,2.1){\blue $C(t)$}
\psplot{0}{0.25}{8 x mul}\uput[l](0.25,1.9){$T$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{2.718 x neg exp 2.71828 2 x mul neg exp sub 8 mul}\uput[u](5.5,0.05){\blue $\mathcal{C}$}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(0,1)(1.92,1)(1.92,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document} 