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%tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL  Biochimie - Génie biologique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL 
Biochimie--Génie biologique \decofourright\\[4pt]Métropole  juin 2007}} 
    
%\vspace{0,8cm}
%
%Calculatrice autorisée 

\vspace{0,5cm}

%Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 9 points}
 
\medskip

%\emph{La partie} A \emph{et la partie} B \emph{peuvent être traitées de façon indépendante.}
%
%\medskip
 
%On étudie la vitesse de disparition d'un réactif et on constate qu'elle est proportionnelle à la concentration.
% 
%On note $f(t)$ la concentration (exprimée en mol$\cdot$L$^{-1}$) à l'instant $t~(t$ exprimé en minutes), où $t \in [0~;~+ \infty[$.
% 
%\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %On admet que la concentration vérifie l'équation différentielle : $y' = - 0,002y$. Déterminer toutes les solutions de cette équation différentielle.
On sait que les solutions de l'équation différentielle sont de la forme : $y = K\text{e}^{-0,002t},~K \in \R$. 
\item %Sachant que la concentration initiale est de 0,1~mol$\cdot$L$^{-1}$, déterminer la solution $f$ vérifiant cette condition.
Si $f(t) = K\text{e}^{-0,002t},~f(0) = 0,1 \iff K\text{e}^{-0,002 \times 0 }= 0,1 \iff K = 0,1$.

On a donc $f(t) = 0,1\text{e}^{-0,002t}$.
\item %On donne en annexe I la courbe représentative de la fonction $f$.

%À l'aide d'une lecture graphique déterminer :
	\begin{enumerate}
		\item %la durée en heures et minutes au bout de laquelle la concentration est égale à la moitié de la concentration initiale ;
On trace la droite d'\'equation $y = 0,05$ qui coupe la courbe représentative de la fonction $f$ en un point dont on trouve l'abscisse en le projetant sur l'axe des abscisses. On lit \`a peu pr\`es 345~min soit 5~h 45~min.
		\item %la concentration au bout de 12~h. On fera apparaître les constructions utiles.
12~h \'egalent 720~min. On trace la droite d'\'equation $x = 720$ qui coupe la courbe représentative de la fonction $f$ en un point dont on trouve l'ordonn\'ee en le projetant sur l'axe des ordonn\'ees. On lit \`a peu pr\`es 0,025.  
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
%On suit l'évolution de la réaction en dosant le produit formé $g(t)$ en fonction du temps $t$ (en minutes).
%
%On appellera $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $g$ dans un repère. On admet que :
%
%\[g(t) = 0,1 - 0,1\text{e}^{-0,002t}~~\text{où}~t \in [0~;~+ \infty[.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+ \infty$.
Comme $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} -0,002t = - \infty$, $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}\text{e}^{-0,002t} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} 0,1$.
		\item  %En déduire l'existence d'une asymptote à $\mathcal{C}$ (que l'on précisera).
Le r\'esultat pr\'ec\'edent signifie que la droite d'\'equation $y = 0,1$ est asymptote \`a la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini.
	\end{enumerate}
\item %Calculer la dérivée $g'$ de la fonction $g$.
$g$ est d\'erivable sur $[0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle :

$g'(t) = -0,1 \times (-0,002)\text{e}^{-0,002t} = \np{0,0002}\text{e}^{-0,002t}$
\item %Étudier le signe de $g'(t)$ sur $[0 ~;~ + \infty[$ et en déduire le tableau de variations de $g$.
Les deux facteurs de $g'(t)$ sont sup\'erieurs \`a z\'ero, donc $g'(t) > 0$ sur $[0~;~+ \infty[$. La fonction $g$ est donc croissante sur cet intervalle de $g(0) = 0,1 - 0,1 = 0$ \`a 0,1.
\item %Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
Une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ est de la forme : $y = g(0) + g'(0)(t - 0)$.

Comme $g(0) = 0$ et $g'(0) = \np{0,0002}$, une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ est $y = \np{0,0002}t$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 11 points}
 
\medskip
 
%\emph{Les parties} A \emph{et} B \emph{peuvent être traitées de façon indépendante.}
%
%\medskip
% 
%En octobre 2006, une tempête a balayé le Sud-Ouest de la France provoquant de nombreuses coupures d'électricité.

%\medskip
	
\textbf{Partie A}
 
%Un lycée a un effectif de \np{1400} élèves ; 70\,\% d'entre eux habitent en zone rurale et les autres en zone urbaine.
%	 
%Suite à la tempête, 5\,\% des élèves habitant en ville et 75\,\% de ceux qui habitent à la campagne ont été privés d'électricité.
\begin{enumerate}
\item~  %Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.6cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
							&Avec électricité& Sans électricité&Total\\ \hline
Elèves en zone rurale  	&245	&735		&980 \\ \hline
Elèves en zone urbaine	&399	&21		    &420 \\ \hline
Total			     	&644	&756		&\np{1400}\\ \hline	
\end{tabularx}

\medskip

\item %On croise au hasard un élève de ce lycée. Calculer la probabilité des évènements suivants :

%	A : \og L'élève habite en zone urbaine \fg
%
%	B : \og L'élève est sans électricité \fg
$p(\text{A}) = \dfrac{420}{\np{1400}} = \dfrac{42}{140} = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10} = 0,3$ ou d'apr\`es l'\'enonc\'e $1 - \dfrac{70}{100} = \dfrac{30}{100} = 0,3$.

$p(\text{B}) = \dfrac{756}{\np{1400}} = \dfrac{27}{50} = 0,54$. 
\item 	%On croise au hasard un élève qui n'a pas d'électricité. Quelle est la probabilité qu'il habite en zone rurale ? (On donnera une valeur approchée arrondie au centième)
Sur 756  \'el\`eves sans \'electricit\'e, 735 habitent en zone rurale. La probabilit\'e est donc \'egale \`a $\dfrac{735}{756} \approx 0,97$.
\end{enumerate}

\medskip
	
\textbf{Partie B}
 
\medskip

%\emph{Si nécessaire, les résultats obtenus dans cette partie seront arrondis au centième.}
%
%\medskip
%
%La tempête a privé d'électricité \np{20000}~foyers dans tout le département.
%
%Des moyens importants ont été mis en {\oe}uvre pour rétablir rapidement le courant. Des études statistiques portant sur le nombre d'abonnés restant privés d'électricité ont donné les résultats suivants.
%	
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Temps $t_{i}$ écoulé  en heures&0&4&8&12&16&20&24\\ \hline
%Nombre $N_{i}$ d'abonnés sans électricité&\np{20000}&\np{13028}&\np{5234}&\np{3714}&\np{2981}&\np{1212}&\np{783}\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
	
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_{i}$							&0	 &4	  &8   &12	&16	&20	&24\\ \hline
$y_{i} = \ln \left(N_{i}\right)$&9,90&9,47&8,56&8,22&8,00&7,10&6,66\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item %Représenter le nuage de points de coordonnées $\left(t_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal. On prendra pour unités : $1$ cm pour 2 en abscisse, $1$ cm pour 1 en ordonnée.
Voir \`a la fin.
\item %Calculer les coordonnées du point moyen G de ce nuage.
On trouve G(12~;~8,27).
\item %Soit D la droite passant par G et de coefficient directeur $- 0,13$. Déterminer une équation de D. Tracer D sur le graphique.
L'\'equation est de la forme : $y = -0,13t + b$.

G(12~;~8,27) $\in \text{D} \iff 8,27 = - 0,13 \times 12 + b \iff 8,27 = -1,56 + b \iff b = 9,83$.

L'\'equation est donc : $y = -0,13t + 9,83$.
\item %On utilise la droite D comme droite d'ajustement. Calculer le temps nécessaire pour que 99\,\% des abonnés concernés retrouvent l'électricité.
Il reste donc 1\,\% foyers sans \'electricit\'e soit $0,01 \times \np{20000} = 200 = N$. Donc $y = \ln N = \ln 200 = -0,13t + 9,83 \iff 0,13t = 9,83 - \ln 200 \iff t = \dfrac{9,83 - \ln 200}{0,13} \approx 34,84$.

Il faudra donc environ 35~heures pour que 99\,\% des abonnés concernés retrouvent l'électricité.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=0.48cm,yunit=0.96cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(25,10.5)
\multido{\n=0+4}{7}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,10)}
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(24,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=4]{->}(0,0)(25,10.5)
\uput[u](24,0){$t$ en heures}\uput[r](0,10.5){$\ln N$}
\psdots(0,9.9)(4,9.47)(8,8.56)(12,8.22)(16,8)(20,7.1)(24,6.66)
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5](12,8.27)\uput[u](12,8.36){G}\uput[u](22,7){D}
\psplot{0}{24}{9.83 .13 x mul sub}
\end{pspicture}
\end{center}
\newpage

\textbf{Annexe I }

\bigskip

\psset{xunit=0.0108cm,yunit=75cm}
\begin{pspicture}(-60,-0.01)(1050,0.12)
\multido{\n=0+30}{36}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,0.12)}
\multido{\n=0.000+0.005}{25}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(1050,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2000]{->}(0,0)(0,0)(1050,0.12)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](60,){$60$}\uput[l](0,0.1){$0,1$}
\uput[d](1000,0){temps $t$ en min}
\rput{90}(20,0.11){$y$ en mol$\cdot$L$^{-1}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=1000,linewidth=1.25pt]{0}{1050}{0.1 2.71828 0.002 x mul neg exp mul}

\uput[d](60,0){60}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(0,0.05)(345,0.05)(345,0)\uput[d](345,0){$\approx 345$}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(720,0)(720,0.023)(0,0.023)\uput[l](0,0.023){$\approx 0,025$}
\end{pspicture}
 \end{document}