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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL Biochimie}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{18 juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Biochimie Métropole~\decofourright\\[4pt]
18 juin 2010}}\\

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

\textbf{Questionnaire à choix multiple :}

\medskip
 
%\emph{Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte.\\ 
%Relever sur la copie la référence de chaque question, suivie de la lettre correspondant à la réponse choisie.\\
%Aucune justification n'est demandée.\\ 
%Une bonne réponse rapporte $1$ point; une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Dans un jeu de 32 cartes, on en tire une au hasard. La probabilité d'obtenir un valet ou un pique est :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}~~$\dfrac{3}{8}$&\textbf{b.}~~$\dfrac{1}{4}$&\textbf{c.}~~$\dfrac{11}{32}$\\
%\end{tabularx}
Si $V$ est l'évènement : \og tirer un valet \fg{} et $P$ l'évènement : \og tirer un pique \fg, on a :

$p(V \cup P) = p(V) + p(P) - p(V \cap P) = \dfrac{4}{32} +  \dfrac{8}{32} - \dfrac{1}{32} = \dfrac{11}{32}$. Réponse \textbf{c.}
\medskip
 
\item %La fonction $f$ définie sur $[-4~;~0]$ par $f(x) = \dfrac{x - 2}{2 - 3x}$ a pour fonction dérivée la fonction $f'$ définie par :

%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}~~$f'(x) = - \dfrac{4}{(2 - 3x)^2}$&\textbf{b.}~~$f'(x) = \dfrac{8 - 6x}{(2 - 3x)^2}$&\textbf{c.}~~$\dfrac{4}{(3x - 2)^2}$\\
%\end{tabularx}
On a (dérivée d'un quotient) : $f'(x) = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} = \dfrac{1(2 - 3x) - (-3)(x - 2)}{(2 - 3x)^2} = \dfrac{-4}{(2 - 3x)^2} = - \dfrac{4}{(2 - 3x)^2}$. Réponse \textbf{a.}
\medskip

\item %On considère la fonction $f$ définie sur $[0,5~;~12]$ par $f(x) = \ln (x+ 0,5)$ et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal. Une équation de la tangente à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $0,5$ est :
Une équation de la tangente est : $y = f(0,5) + f'(0,5)(x - 0,5)$.

Comme $f'(x) = \dfrac{1}{x + 0,5}$, d'o\`u $f'(0,5) = \dfrac{1}{0,5 + 0,5} = 1$, et $f(0,5) = \ln (0,5 + 0,5) = \ln 1 = 0$, l'équation devient : $y = x - 0,5$. Réponse \textbf{b.}
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}~~$y = x + 0,5$&\textbf{b.}~~$ y = x - 0,5$&\textbf{c.}~~$y = -x + 0,5 $\\
%\end{tabularx}

\medskip 
 
\item %Soit (D) la droite passant par les points A(5~;~30) et B(7~;~50). Le coefficient directeur de (D) est : 

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}~~$10$&\textbf{b.}~~$20$&\textbf{c.}~~$0,1 $\\
%\end{tabularx}
Le coefficient directeur de la droite (AB) est $\dfrac{y_{\text{B}} - y_{\text{A}}}{x_{\text{B}} - x_{\text{A}}} = \dfrac{50 - 30}{7 - 5} \dfrac{20}{2} = 10$. Réponse \textbf{a.}
\medskip

\item %Une population de bactéries augmente de 20\,\% toutes les demi-heures. Initialement, la population est de 10 milliers de bactéries. Au bout de six heures, la population est environ :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}~~72 milliers de bactéries&\textbf{b.}~~89 milliers de bactéries&\textbf{c.}~~144 milliers de bactéries\\
%\end{tabularx}
Au bout des 12 demi-heures la population est égale à : $10 \times 1,20^{12} \approx 89,16$~milliers. Réponse \textbf{b.}

\medskip

\item %Le comité d'entreprise d'un grand magasin veut organiser un voyage pour son personnel.
 
%Il envoie donc un questionnaire aux employés pour connaître leurs préférences, reçoit $400$~réponses et construit le tableau suivant :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5} 
%\multicolumn{1}{c|}{}	&À l'hôtel 	&En club 	&En croisière 	&Total\\ \hline 
%En France				& 14 		&26 		&20 			&60\\ \hline 
%À l'étranger 			&266 		&34 		&40 			&340 \\ \hline
%Total 					&280 		&60 		&60 			&400\\ \hline 
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
\textbf{A.} %On choisit un employé au hasard : la probabilité que cet employé préfère un séjour à l'hôtel est : 

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}~~$0,28$&\textbf{b.}~~$0,7$&\textbf{c.}~~$0,35$\\
%\end{tabularx}
280 employés sur 400 préfèrent l'hôtel ; la probabilité est donc égale à $\dfrac{280}{400} = \dfrac{70}{100} = 0,7 = 70\,\%.$ Réponse  \textbf{b.}
\medskip
 
\textbf{B.} %On choisit un employé au hasard : la probabilité que cet employé ne souhaite pas partir en club est :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}~~$0,65$&\textbf{b.}~~$0,75$&\textbf{c.}~~$0,85$\\
%\end{tabularx}
340 employés sur 400 préfèrent partir ailleurs qu'en club ; la probabilité correspondante est donc égale à : $\dfrac{340}{400} = \dfrac{85}{100} = 0,85 = 85\,\%$. Réponse \textbf{c.}
\medskip 
 
\textbf{C.} %On choisit un employé au hasard parmi ceux qui ont décidé de partir à l'étranger. La probabilité qu'il préfère un séjour en club est :
Sur les 340 employés préférant partir à l'étranger, 34 préfèreraient aller en club soit 

$\dfrac{34}{340} = \dfrac{1}{10} = 0,1 = 10\,\%$. Réponse \textbf{b.}
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}~~$0,3$&\textbf{b.}~~$0,1$&\textbf{c.}~~$0,85$\\
%\end{tabularx}

\end{enumerate} 

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %On considère l'équation différentielle 

%\[(\text{E}) ~~ : y'= -0,046y,\]
 
%où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$ dérivable sur $\R$.

%Résoudre l'équation (E).
On sait que les solutions de l'équation (E) sont de la forme : $f(t) = K\text{e}^{-0,046t}$, avec $K \in \R$. 
\item %Une contamination accidentelle des aliments dans un élevage de porcs a provoqué une intoxication aigüe chez les animaux. On étudie alors l'élimination de la toxine incriminée chez un porc prélevé dans le cheptel. On sait que la concentration de la toxine dans le sang varie en fonction du temps $t$ suivant la relation : 

%\[f(t) = C\text{e}^{-0,046t},\]
 
%où $f(t)$ est la concentration exprimée en $\mu$g/L, à l'instant $t$ exprimé en jours. 
	\begin{enumerate}
		\item %Sachant que cinq jours après l'intoxication la concentration est de 23,8$\mu$g/L, déterminer la constante $C$ (on arrondira le résultat à l'unité).
On a donc $f(5) = 23,8 \iff  C\text{e}^{-0,046\times 5} = 23,8 \iff C\text{e}^{-0,23} = 23,8 \iff C = 23,8 \times \text{e}^{0,23} \approx 29,95$ soit 30 à une unité près.

On a donc : $f(t) = 30\text{e}^{-0,046t}$.
		\item %Déterminer alors la concentration initiale de la toxine dans le sang de l'animal.
La concentration initiale de la toxine dans le sang correspond à $t = 0$, soit $f(0) = 30$~$\mu$g/L.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : 

%\[f(t) = 30\text{e}^{-0,046t}.\]
 
%On appelle $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative.
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer la limite de $f(t)$ quand $t$ tend vers $+\infty$.
Comme $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} -0,046t  = - \infty,~\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{-0,046t} = 0$, d'o\`u finalement $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 0$.
\item %En déduire l'existence d'une asymptote (que l'on précisera) à la courbe $(\mathcal{C})$.
Le résultat précédent signifie que l'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe $(\mathcal{C})$ au voisinage de plus l'infini. 
\item %Pour tout nombre positif $t$, calculer $f'(t)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
La fonction est une solution de l'équation différentielle initiale, donc $f'(t) = -0,046 f(t) = -0,046 \times 30 \text{e}^{-0,046t} = -1,38\text{e}^{-0,046t}$. 
\item %Étudier le signe de $f'(t)$ et en déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
Comme $\text{e}^u > 0$, quel que soit le réel $u$, on a $f'(t) < 0$, donc la fonction est décroissante sur $[0~;~+\infty[$ de 30 à 0. 
\item %On considère un repère orthonormal d'unités graphiques 1~cm pour 2~jours en abscisses et 1~cm pour 2~$\mu$g/L en ordonnées. 
	\begin{enumerate}
		\item %Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir les résultats à $10^{-1}$ près) :
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0 	&5 		&10 	&15 	&20 	&25\\ \hline
$f(t)$	&30	&23,8	&18,9	&15,0	&12,0	&9,5\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

%Placer dans le repère les points correspondants.
Voir plus bas. 
		\item %Déterminer une valeur arrondie à $10^{-1}$ près du coefficient directeur de la tangente $(T)$ à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $15$. Tracer alors cette tangente dans le repère précédent.
Le coefficient directeur de la tangente $(T)$ à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $15$ est le nombre dérivé $f'(15) = -1,38 \text{e}^{-0,046 \times 15} \approx - 0,7$ à $10^{-1}$ près.
		\item %Construire la courbe $(\mathcal{C})$ dans le même repère.
Voir plus bas.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
%On admet que la fonction $f$ étudiée dans la partie B modélise de façon satisfaisante la concentration de la toxine dans le sang de l'animal étudié. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer par le calcul la concentration mesurée une semaine après l'intoxication. On arrondira le résultat à l'unité. 
		Au bout de 7 jours la concentration sera égale à $f(7) = 30\text{e}^{-0,046 \times 7} = 30\text{e}^{-0,332} \approx 22$ à 1 près.
		\item %Vérifier graphiquement le résultat précédent, en faisant apparaître les traits de construction utiles sur le graphique de la partie B.
On construit la droite $x = 7$ qui coupe $(\mathcal{C})$ en un point dont l'ordonnée est à peu près égale à 22. Voir plus bas.
	\end{enumerate} 
		\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}
		
%\medskip
%		
%On considère que la toxine n'est plus dangereuse pour le porc lorsque sa concentration atteint 10\,\% de la valeur initiale.
% 
%Déterminer le nombre de jours nécessaires pour annoncer que le porc est hors de danger. 
10\,\% de la valeur initiale représente $0,10 \times 30 = 3$. Il faut donc résoudre l'équation $f(t) = 3$.

$f(t) = 3 \iff 30\text{e}^{-0,046t} = 3 \iff $

$\text{e}^{-0,046t} = \dfrac{3}{30} \iff \text{e}^{-0,046t} = 0,1 \iff $

$-0,046t = \ln 0,1 \iff t = \dfrac{\ln  0,1}{-0,046} \approx 50,05$.

Le porc sera donc hors de danger au bout de 51 jours.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=0.5cm}
\begin{center}
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