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%tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL Biochimie - Génie biologique}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{ juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Polynésie juin 2006~\decofourright\\[4pt] Biochimie--Génie biologique}} 
    
%\vspace{0,8cm}
%
%Calculatrice autorisée 
%
%\vspace{0,5cm}
%
%Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2
%
%La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
%
% L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel, distribué par le centre d'examen, est autorisé

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 9 points}

\medskip

%Le thème de l'exercice est l'évolution de l'épidémie de SRAS de 2003. Le tableau suivant donne les nombres de cas déclarés $\left(N_{i}\right)$, relevés aux dates suivantes : 4, 8, 11, 15,  18, 23 et 28 avril 2003 :
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%$x_{i}$&4			&8			& 11		& 15		&18			&23					&  28\\ \hline
%$N_{i}$& \np{2322}& \np{2671}	& \np{2890}	& \np{3235}	& \np{3461}	& \np{4288}	& \np{5050}\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%On pose $y_{i} = \ln  N_{i}$ ($\ln$ désigne le logarithme népérien).
\begin{enumerate}
\item %Recopier et compléter le tableau suivant en donnant les résultats arrondis à 0,01 près.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&4	&8	& 11& 15&18	&23	& 28\\ \hline
$y_{i}$&7,75&7,89 	&7,97 	&8,08 	&8,15 	&8,36 	& 8,53\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item %Représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques : 0,5 cm pour 1 jour sur l'axe des abscisses et 10 cm pour 1 sur l'axe des ordonnées.

%On graduera l'axe des ordonnées à partir de 7.
Voir à la fin.
\item %Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage obtenu (résultats arrondis à 0,01 près).
On trouve G$(15,29~;~8,10)$
\item %Soit $d$ la droite passant par le premier et le dernier point du nuage.

%Une équation de $d$ est $y =  \np{0,0325}x + 7,62$.

%Le point G appartient-il à $d$ ?

G$(15,29~;~8,10) \in d \iff 8,10 = \np{0,0325} \times 15,29 + 7,62 \iff 8,10 \approx 8,12$. Donc G n'appartient pas à $d$.

%Placer G et $d$   sur le dessin précédent.
Voir plus bas.
\item %On admet que $d$ constitue un ajustement convenable du nuage de points.
	\begin{enumerate}
		\item  %En utilisant l'équation de $d$, déterminer la valeur de $y$ correspondant à $x = 38$.
$y = \np{0,0325} \times 38 + 7,62 = 8,855$.

On a donc $y \ln N = 8,855 \iff N = \text{e}^{8,855}\approx \np{7009}$.

Le 38\up{e}jour après le 1\up{er} avril, soit le 8 mai, il y aura  \np{7009} cas déclarés. 		
%En déduire une estimation du nombre de cas prévisibles le 8 mai.
		\item %À l'aide de l'ajustement affine $y = \np{0,0325}x + 7,62$ et de la relation $y = \ln  N$, exprimer $N$ en fonction de $x$. Déterminer, en utilisant ce modèle, à partir de quelle valeur entière de $z,~ N$ est supérieur ou égal à \np{10000}.
$y = \np{0,0325}x + 7,62 = \ln N \iff$ (par croissance de la fonction exponentielle) $N = \text{e}^{\np{0,0325}x + 7,62}$.

Il faut résoudre l'inéquation $\text{e}^{\np{0,0325}x + 7,62} \geqslant \np{10000} \iff $ (par croissance de la fonction logarithme népérien) $\np{0,0325}x + 7,62 \geqslant \ln \np{10000} \iff \np{0,0325}x \geqslant \ln \np{10000} - 7,62 \iff$

$ x \geqslant \dfrac{\ln \np{10000} - 7,62}{\np{0,0325}} \approx 48,9$. Il faut attendre 49 jours, soit le 19 mai au moins.
	\end{enumerate}
\item %Le nombre de cas répertoriés a été, en réalité, de \np{7053} le 8 mai.

%Le modèle étudié dans cet exercice est-il adapté pour décrire la situation le 8 mai (on considère que le modèle est adapté si l'écart entre la valeur réelle et la valeur donnée par le modèle est inférieur à 50 unités) ?
La différence entre la valeur réelle et la valeur donnée par le modèle est égale à $\np{7053} - \np{7009} = 44$, donc inférieure à 50. Conclusion : le modèle est adapté à la situation.
\end{enumerate}

\medskip
\psset{xunit=0.3cm,yunit=4.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(32,1.6)
\multido{\n=0+2}{17}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,1.6)}
\multido{\n=0.0+0.1}{17}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](0,\n)(32,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=7,Dy=0.2,Dx=2,comma=true]{->}(0,0)(32,1.6)
\uput[d](32,0){$x$}\uput[l](0,32){$y$}
\psdots(4,0.75)(8,0.89)(11,0.97)(15,1.08)(18,1.15)(23,1.36)(28,1.53)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](15.29,1.1)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{32}{0.0325 x mul 0.62 add}
\uput[d](15.29,1.1){G}
\end{pspicture}
\end{center}
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 11 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 3] par 
%
%\[f(x) = 6 - 5x\text{e}^{-2x +2}.\]
%
%On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques : 4~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle [0 ; 3],  $f'(x) = 5(2x - 1)\text{e}^{-2x +2}$.
$f$ est dérivable sur [0 ; 3] et sur cet intervalle, 

$f'(x) = - 5\text{e}^{-2x +2} - 5x \times  (- 2) \text{e}^{-2x +2} = \text{e}^{-2x +2}(- 5 + 10x) = 5(2x - 1)\text{e}^{-2x +2}$.
		\item %Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [0 ; 3].
Comme $\text{e}^{-2x +2} > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de $f'(x)$ est celui de $(2x - 1)$.

$2x - 1 > 0 \iff x > \dfrac{1}{2}$ : sur $\left[\frac{1}{2}~;~3\right]$ la dérivée est positive, donc la fonction est croissante.

$2x - 1 < 0 \iff x < \dfrac{1}{2}$ : sur $\left[0~;~\frac{1}{2}\right]$ la dérivée est négative, donc la fonction est décroissante.

$f\left(\frac{1}{2}\right)$ est donc un minimum égal à $6 - 5\times \dfrac{1}{2}\text{e}^{-2\times \frac{1}{2} +2} = 6 - \dfrac{5}{2}\text{e}^1 = 6 - \dfrac{5\text{e}}{2}$.
		\item %Déterminer les valeurs exactes de $f(0),~f(0,5),~f(3)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
$f(0) = 6 \quad f(0,5) = 6 - 2,5\text{e} \quad f(3) = 6 - 15 \text{e}^{-4}$.

\medskip

\psset{unit=1cm}

\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2)(8,2)\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.4){$x$} \uput[u](2.1,2.4){$0$} \uput[u](5,2.4){$\frac{1}{2}$}\uput[u](7.5,2.4){$3$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$} \rput(3.5,2.25){$-$}\rput(5,2.25){$0$}
\rput(1,1){$f(x)$} \uput[d](2.2,2){$6$} \uput[d](7.3,2){$6 - 15 \text{e}^{-4}$}\uput[u](5,0){$6 - 2,5\text{e}$}
\psline{->}(2.6,1.5)(4.5,0.5) \psline{->}(5.5,0.5)(7.2,1.5) \rput(6.4,2.25){$+$}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item ~%Donner les valeurs arrondies au dixième de $f(x)$ pour les valeurs suivantes de $x$ :

%\[0,25~;~0,5~;~1~;~1,5~;~2~;~2,5~;~3.\]

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0,25	&0,5	&1	&1,5	&2	&2,5	&3\\ \hline
$f(x)$	&0,4	&$-0,8$	&1	&3,2	&4,6&5,4	&5,7\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
		\item %Calculer le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}$ aux points d'abscisses $x_{1} = 0,75,~ x_{2} = 1$ et $x_{3} =  1,25$. (On donnera des valeurs approchées à $10^{-2}$ près). Pour laquelle de ces abscisses, le coefficient directeur est-il le plus grand ?
Les coefficients directeurs des tangentes sont respectivement les nombres dérivés :
		
$f'\left(x_{1}\right) = 5(2\times 0,75 - 1)\text{e}^{-2\times 0,75 +2} = 2,5\text{e}^{0,5} \approx 4,12$ ;

$f'\left(x_{2}\right) = 5(2\times 1 - 1)\text{e}^{-2\times 1 +2} = 5$ ;

$f'\left(x_{3}\right) = 5(2 \times 1,25 - 1)\text{e}^{-2\times 1,25 +2} = 7,5\text{e}^{-0,5} \approx 4,55$.

Le plus grand coefficient est obtenu pour $x_{2} = 1$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Tracer les tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ aux points d'abscisses $x_{1},~x_{2}$ et $x_{3}$.
Voir à la fin.
		\item %Tracer la courbe $\mathcal{C}$.
Voir à la fin.		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%On considère que la courbe $\mathcal{C}$ donne un modèle de la variation de la température de l'eau en fonction de la profondeur près de l'estuaire d'un grand fleuve un jour d'hiver. La température est exprimée en degrés Celsius et la profondeur en centaines de mètres.
\begin{enumerate}
\item %À quelle profondeur la température de l'eau est-elle minimale ?
On a vu que le minimum est $f(0,5)$ soit une profondeur de $0,5 \times 100 = 50$~m.
\item %Déterminer graphiquement pour quelles profondeurs la température est comprise entre 0 \degres C et 4 \degres C. Faire figurer les constructions utiles.
On trace les droites d'équations respectives $y = 0$ et $y = 4$ qui coupent la courbe en deux points dont on trouve les abscisses en les projetant sur l'axe des abscisses.

On trouve que la température est comprise entre 0 \degres C et 4 \degres C entre 6 et 30 mètres et entre 80 et 173 mètres.
\item %En utilisant la question A. 2., indiquer au voisinage de quelle profondeur, entre 50 m et 300 m, la température de l'eau augmente le plus rapidement.
On a vu que sur [0,5~;~3] le coefficient directeur de la tangente le plus grand était obtenu pour $x = 1$, soit pour une profondeur de 100~mètres.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=4cm,yunit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-1)(3,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,comma=true]{->}(0,0)(0,-1)(3,7)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3}{6 5 x mul 2.71828 2 x mul 2 sub exp div sub}
\psplot{0.5}{2}{4.12 x mul 3.273 sub}\uput[dl](0.3,0){0,3}
\psplot{0.6}{2}{5 x mul 4 sub}\uput[d](1.73,0){1,73}\uput[d](0.06,0){0,06}
\psplot{0.7}{2}{4.55 x mul 3.48 sub}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(0,4)(0.06,4)(0.06,0)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(0,4)(1.73,4)(1.73,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=green]{|-|}(0.06,0)(0.3,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=green]{|-|}(0.8,0)(1.73,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document} 