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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL Biochimie - Génie biologique}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Polynésie  juin 2007} \decofourright\\[4pt] \textbf{Biochimie--Génie biologique}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 1}  \hfill 8 points}

\medskip

%On lâche une balle à une hauteur de 1 mètre. Celle-ci effectue alors plusieurs rebonds sur le sol avant de s'immobiliser. On note la hauteur (exprimée en centimètres) par rapport au sol de chaque rebond.
%
%Le tableau ci-dessous donne les résultats obtenus :
%
%\medskip
%	
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}||*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\begin{tabular}{l}Numéro du\\ rebond : $n_{i}$\\ \end{tabular}&	1&	2&	3&	4&	5&	6&	7&	8\\ \hline
%\begin{tabular}{l}Hauteur du\\ rebond : $h_{i}$\\ \end{tabular}&	55&	30&	17&	9&	5&	3&	1,5&	0,8\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~ %Tracer le nuage de points $M_{i}\left(n_{i}~;~h_{i})$. Un ajustement affine paraît-il justifié ?
\psset{xunit=1.25cm,yunit=0.125cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,60)
\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,60)}
\multido{\n=0+10}{7}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(8,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10]{->}(0,0)(8.3,60)
\psdots[linecolor=blue](1,55)(2,30)(3,17)(4,9)(5,5)(6,3)(7,1.5)(8,0.8)
\uput[d](8.3,0){$n$}\uput[l](0,60){$h$}

\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

%\textbf{Dans la suite de l'exercice, toutes les valeurs numériques seront arrondies au dixième.}

\item  ~%Recopier et compléter le tableau suivant.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c||*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n_{i}$&1&	2&	3&	4&	5&	6&  7&	8\\ \hline
$y_{i} = \ln \left(h_{i}\right)$&4,0&3,4 &2,8&2,2&1,6&1,1&0,4&$-0,2$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item ~ %Tracer dans un repère orthonormé (unité graphique : 2 cm) le nuage de points	$P_{i}\left(n_{i}~;~y_{i}\right)$. Un ajustement affine paraît-il justifié ?
\psset{unit=1.5cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(8,5)
\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,5)}
\multido{\n=0+0.5}{11}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(8,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(0,0)(8,5)
\psdots(1,4)(2,3.4)(3,2.8)(4,2.2)(5,1.6)(6,1.1)(7,0.4)(8,-0.2)
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5](2.5,3.1)(6.5,0.7)
\uput[dl](2.5,3.1){G$_{1}$}\uput[dl](6.5,0.7){G$_{2}$}
\uput[d](8.3,0){$n$}\uput[l](0,5){$\ln h$}
\psplot[linecolor=blue]{0}{8}{4.6 0.6 x mul sub}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(2.5,3.1)(6.5,3.1)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(6.5,3.1)(6.5,0.7)
\uput[u](4.5,3.1){$4,5$}\uput[r](6.5,1.9){$-2,4$}
\end{pspicture}
\end{center}

Les points sont à peu près alignés : un ajustement affine paraît justifié.

\medskip

\item  %Recherche d'un ajustement affine
\begin{enumerate}
\item  %On note G$_{1}$ le point moyen du sous-nuage formé par les points $P_{1},~P_{2},~P_{3}$ et $P_{4}$ et G$_{2}$ le point moyen du sous-nuage formé par les points $P_{5},~P_{6},~P_{7}$ et $P_{8}$. Déterminer les coordonnées des points G$_{1}$ et G$_{2}$.
On a G$_{1}(2,5~;~3,1)$ et G$_{2}(6,5~;~0,7)$.
\item  %Placer les points G$_{1}$ et G$_{2}$ sur le graphique et construire la droite $\left(\text{G}_{1}\text{G}_{2}\right)$.
Voir la figure plus haut.
\item  %Lire graphiquement sur le graphique l'ordonnée à l'origine et le coefficient directeur de $\left(\text{G}_{1}\text{G}_{2}\right)$ (mettre en évidence sur le graphique les éléments qui ont permis cette lecture).
On lit comme ordonnée à l'origine : $4,6$ et comme coefficient directeur $\dfrac{- 2,4}{4,5} \approx - 0,6$.
\end{enumerate}
\item  %En utilisant le résultat de la question 4. c., exprimer, en fonction de son numéro $n$, la hauteur estimée du $n$-ième rebond.
On suppose donc que les points $\left(n_{i}~;~y_{i}\right)$ sont alignés et que ces coordonnées vérifient d'après la question précédente la relation : 

$y = -0,6n + 4,6$. Or $y = \ln h \iff h = \text{e}^{y} = \text{e}^{-0,6n + 4,6}$.
\item  %À partir de quel rebond, la hauteur estimée de celui-ci est-elle inférieure à un millimètre ?
Il faut donc résoudre l'inéquation :

$h < 0,1 \iff \text{e}^{-0,6n + 4,6} < 0,1 \iff $ (par croissance de la fonction logarithme népérien) $-0,6n + 4,6 < \ln 0,1 \iff 4,6 - \ln 0,1 < 0,6n \iff \dfrac{4,6 - \ln 0,1}{0,6} < n$.

Or $\dfrac{4,6 - \ln 0,1}{0,6} \approx 11,5$.

Le 12\up{e} rebond sera inférieur à 1 mm.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 2}  \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie 1 :  lecture graphique}

\medskip

%Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ et sa tangente au point d'abscisse 2.
\medskip

\psset{unit=1.333cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-2)(8.5,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt,gridcolor=orange](0,-2)(8,3) 
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](8.3,0){$x$}\uput[l](0,3){$y$}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-2)(8.5,3)
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.01}{8}{x ln x 2 add ln sub 2 x mul 3 div sub 4 add}
\psline{<->}(0.5,2.6)(3.5,1.4)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(0,1)(0.12,1)(0.12,0)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(0,1)(3.85,1)(3.85,0)
\end{pspicture}

\bigskip
%
%Déterminer, à l'aide de lectures graphiques, en justifiant par une phrase chaque réponse:
\begin{enumerate}
\item  %$f(3)$ et $f(4,5)$ ; 
On lit $f(3) \approx 1,5$, $f(4,5) \approx 0,6$.
\item  %le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ puis une valeur approchée de chacune d'elles ;
La courbe coupe l'axe des abscisses en deux points : l'un d'abscisse à peu près nulle et l'autre approximativement égale à 5,5. 
\item  %l'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) \leqslant  1$ ;
On trace la droite d'équation $y = 1$ qui coupe la courbe en deux points dont les abscisses sont les extrémités de l'intervalle solution : on lit à peu près $]0,12~;~3,85[$ 
\item  %$f'(2)$, nombre dérivé de $f$ en 2 ;
Le nombre dérivé $f'(2)$ est égal au coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 2 ; on lit à peu près : $- 0,4$.
\item  %le nombre de solution(s) de l'équation $f'(x) = 0$ puis une valeur approchée de chacune d'elle(s) ;
$f'(x) = 0$ correspond à un extremum : il y en a un seul pour $x = 1$. 
\item  %l'ensemble des solutions de l'inéquation $f'(x) \geqslant  0$ ;
$f'(x) \geqslant  0$ correspond à un intervalle o\`u la fonction est décroissante, soit ici $[1~ ;~+ \infty[$. 
\item  %une estimation de $f'(5)$.
À partir de $x = 4$ les points sont pratiquement alignés. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $5$ est à peu près : $\dfrac{- 1,5}{2,5} = - 0,6$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 2 : étude d'une fonction}

\medskip

%On admet que la fonction $f$ représentée dans la partie 1 est définie par

%\[f(x) = \ln (x) - \ln (x + 2) - \dfrac{2}{3}x + 4.\]

\begin{enumerate}
\item  %Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 0 \atop x > 0} f(x)$. Que peut-on en déduire ?
On a $\displaystyle\lim_{x \to 0 \atop x > 0} \dfrac{2}{3}x = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0 \atop x > 0}\ln (x + 2) = \ln 2$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to 0 \atop x > 0} \ln x = - \infty$, on a par somme de limites : 

$\displaystyle\lim_{x \to 0 \atop x > 0} f(x) = - \infty$.
\item  %Déterminer	$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln \left(\dfrac{x}{x + 2}\right)$. En déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x}{x + 2} = 1$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln \left(\dfrac{x}{x + 2}\right) = 0$.

Comme $f(x) = \ln \left(\dfrac{x}{x + 2}\right) - \dfrac{2}{3}x + 4$ et d'après le résultat précédent $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.
\item  %$p$ est la fonction définie sur $\R$ par	$p(x) = x^2 + 2x - 3$. Étudier le signe de $p(x)$.
$p(x)$ est un trinôme du second degré.

Comme $\Delta = 4 + 12 = 16 = 4^2 > 0$, l'équation a deux racines : $\dfrac{- 2 + 4}{2} = 1$ et $\dfrac{- 2 - 4}{2} = - 3$.

On sait que le trinôme est positif sauf entre les racines :

$p(x) < 0$ sur $]0~;~1[$ ;

$p(x) > 0$ sur $]1~;~+ \infty[$ ;

$p(- 3) = p(1) = 0$.
\item  %Calculer $f'(x)$ puis montrer que $f'(x) = \dfrac{-2 p(x)}{3 x(x + 2)}$.
$f$ est dérivable sur $]0~;~ +\infty [$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 2}- \dfrac{2}{3} = \dfrac{3(x + 2) - 3x - 2x(x + 2)}{3x(x + 2)} = \dfrac{3x + 6 - 3x - 2x^2 - 4x}{3x(x + 2)} =$

$\dfrac{- 2x^2 - 4x + 6}{3x(x + 2)} = \dfrac{-2\left(x^2 + 2x - 3 \right)}{3x(x + 2)} = \dfrac{-2 p(x)}{3 x(x + 2)}$.
\item  %Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]0~;~ +\infty [$. En déduire le sens de variation de $f$.
Comme $3x(x + 2) > 0$, (car $x > 0$),  le signe de $f'(x)$ est l'opposé de celui de $p(x)$ soit, 

$f'(x) < 0$ sur $]0~;~1[$ ; la fonction est décroissante ;

$f'(x) > 0$ sur $]1~;~+ \infty[$ ; la fonction est croissante ;

$f'(1)  = 0$. La tangente à la courbe représentative de $f$ en ce deux point est horizontale, ce qui confirme le résultat de la partie 1.

D'autre part $f'(2) = \dfrac{-2\left(2^2 + 2 \times 2 - 3 \right)}{3\times 2(2 + 2)} = \dfrac{- 10}{24} \approx - 0,42$.
\end{enumerate}
\end{document}