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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL Biochimie}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Polynésie   \decofourright}\\[4pt] \textbf{juin 2008 Biochimie--Génie biologique}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 8 points}

\medskip

%Les 32 élèves d'une classe de lycée doivent traiter un exercice de probabilités. Pour organiser les données, ils disposent de deux méthodes : un tableau ou un schéma. Trois quarts d'entre eux utilisent un tableau et parmi ceux-ci 12,5\,\% ont fait une erreur. Tous les autres ont fait un schéma et 1 seul d'entre eux a fait une erreur.
\begin{enumerate}
\item %Reproduire en le complétant le tableau ci-dessous afin de faire la synthèse de ces données :
%
%\medskip
%
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\backslashbox{bilan}{choix}&	tableau &	schéma &	total\\ \hline
avec erreur	&3	&1	&4 \\ \hline
sans erreur	&21	&7	&28  \\ \hline 
total		&24	&8	& 	32\\ \hline
\end{tabularx}
%
\medskip

\item 	%On choisit dans cette classe un élève au hasard. On note T l'évènement : \og l'élève a utilisé un tableau \fg{} et on note E l'évènement : \og l'élève a fait une erreur \fg{}; $\overline{\text{T}}$ et $\overline{\text{E}}$ désignent les évènements contraires respectifs de T et E.
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer $\overline{\text{T}}$ à l'aide d'une phrase affirmative (sans négation).
$\overline{\text{T}}$ : \og L'élève a utilisé un schéma \fg.
		\item %Exprimer par une phrase les évènements suivants :
%\[\text{T} \cap \text{E},\quad  \text{T} \cup \text{E},\quad \text{T} \cap \overline{\text{E}},\quad \overline{\text{T}}  \cap \overline{\text{E}}.\]
$\text{T} \cap \text{E}$ : \og L'élève a utilisé un tableau et a commis une erreur \fg{} ;

$\text{T} \cup \text{E}$ : \og L'élève a utilisé un tableau ou a commis une erreur \fg{} ;

$\text{T} \cap \overline{\text{E}}$ : \og L'élève a utilisé un tableau et n'a pas commis d'erreur \fg{} ;

$\overline{\text{T}}  \cap \overline{\text{E}}$ : L'élève a utilisé un schéma et n'a pas commis d'erreur \fg
		\item %Calculer la probabilité des quatre évènements de la question b. (on donnera les résultats sous forme d'une fraction irréductible).
$p\left(\text{T} \cap \text{E} \right) = \dfrac{3}{32}$.

$p\left(\text{T} \cup \text{E} \right) = \dfrac{25}{32}$.

$p\left(\text{T} \cap \overline{\text{E}} \right) = \dfrac{21}{32}$.

$p\left(\overline{\text{T}}  \cap \overline{\text{E}} \right) = \dfrac{7}{32}$.
		\end{enumerate}
\item %Quel est, dans cette classe, le pourcentage d'élèves ayant réussi  l'exercice sans erreur ?
4 élèves sur 32 ont commis une erreur ; donc 28 sur 32 n'ont pas commis d'erreur soit un pourcentage de : $\dfrac{24}{32} \times 100 = \dfrac{3}{4} \times 100 = 75$~(\%). 
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%Sur la page annexe, on a représenté, dans le plan muni d'un repère orthonormal, la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie sur D = $[0~;~+ \infty[$.
%
% Cette courbe passe par le point A$(0~;~-2)$. On note B le point de coordonnées $(3~;~- 0,5)$.
% 
%\textbf{Les questions 1 à 3 doivent être traitées par lecture graphique.}

\begin{enumerate}
\item %Donner la valeur de $f(0)$.
$f(0) = - 2$.
\item %Donner un encadrement d'une solution de l'équation $f(x) = 0$ d'amplitude 0,25 (\emph{on ne demande pas de justifier l'encadrement}).
On lit $2,75 < x_{0} < 3,00$ si $x_{0}$ est la solution de l'équation $f(x) = 0$.
\item %Résoudre l'inéquation $f(x) \leqslant  -1$. Laisser les traits de  construction.
On trace la droite d'équation $y = - 1$ qui coupe $\mathcal{C}$  en un point dont on trouve l'abscisse en le projetant sur l'axe des abscisses. On lit \`a peu près $2,9$.

L'ensemble solution est donc l'intervalle [0~;~2,9].
\item %Déterminer une équation de la droite (AB).
L'équation étant de la forme $y = ax + b$, on écrit que les coordonnées de A et de B vérifient cette équation, soit :

$\left\{\begin{array}{l c l}
-2 &=& 0 + b\\
-0,5&=&3a + b
\end{array}\right.\Rightarrow b = - 2$ puis $3a = -0,5 - (- 2) = 1,5 \iff a = 0,5$.

Une équation de la droite (AB) est donc : $y = 0,5x - 2$.
\item %On admet que la droite (AB) est tangente à $\mathcal{C}$ en A. Que vaut $f'(0)$ ?
Si la droite (AB) est tangente à $\mathcal{C}$ en A, son coefficient directeur 0,5 est le nombre dérivé de la fonction $f$ e, $0$ ; donc $f'(0) = 0,5$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans toute la suite de l'exercice on considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle 

D = $[0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = x - 3 + \dfrac{2}{\text{e}^x + 1}\] 

\begin{enumerate}
\item %Calculer $f(0)$.
$f(0) = 0 - 3 + \dfrac{2}{\text{e}^0 + 1} = - 3 + \dfrac{2}{1 + 1} = - 2$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(x)$.
$f$ est dérivable sur D et sur cet intervalle :

$f'(x) = 1 - \dfrac{2\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1 \right)^2}$.
		\item %En déduire $f'(0)$.
On en déduit $f'(0) = 1 - \dfrac{2\text{e}^0}{\left(\text{e}^0 + 1 \right)^2} = 1 - \dfrac{2}{2^2} = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$.
		
%Donner l'équation réduite de la tangente T à la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal au point A d'abscisse $0$.
On sait qu'une équation de la  tangente T à la courbe représentative de la fonction $f$ au point A d'abscisse $0$ est $y = f(0) + f'(0)(x - 0) = - 2 + \dfrac{1}{2}x$.
	\end{enumerate}
\item %Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle D, puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
$f'(x) > 0 \iff 1 - \dfrac{2\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1 \right)^2} > 0 \iff 1 > \dfrac{2\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1 \right)^2} \iff \left(\text{e}^x + 1 \right)^2 > 2\text{e}^x \iff \text{e}^{2x} + 1 + 2\text{e}^x > 2\text{e}^x \iff \text{e}^{2x} + 1 > 0$. 

Or cette inéquation est vérifiée par tout réel, donc $f'(x) > 0$ sur D. La fonction $f$ est donc strictement croissante de $f(0) = - 2$ \`a plus l'infini (voir \`a la fin).


\item %Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans D.
On a $f(0) = - 2 < 0$ et $f(3) = \dfrac{2}{\text{e}^3 + 1} \approx 0,09 > 0$.

La fonction étant strictement croissante sur l'intervalle [0~ ;~3], il existe une valeur unique $\alpha$ telle que $f(\alpha) = 0$.

(La calculatrice donne $2,8 < \alpha < 2,9$).
\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{2}{\text{e}^x + 1} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} (x - 3) = + \infty$.
\end{enumerate}
		
\newpage
		
\begin{center}

\end{center}		
\textbf{ANNEXE (Exercice 2)}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(6,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwith=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(-2,-3)(6,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-3)(6,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O} \qdisk(3,-0.5){2pt} \qdisk(0,-2){2pt}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,-2)(3,-0.5)
\uput[dr](0,-2){A} \uput[r](3,-0.5){B}
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\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt,arrowsize=2pt 3]{->}(0,-1)(1.6875,-1)(1.6875,0)
\end{pspicture}
\end{document}