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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL Biochimie}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Biochimie Polynésie  juin 2010 \decofourright}\\[4pt] \textbf{Biochimie--Génie biologique}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 8 points}

\medskip

%Une enquête est effectuée dans un établissement de \np{1250} élèves afin de connaître leur groupe sanguin.
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] Aucun élève n'est du groupe sanguin AB. 
%\item[$\bullet~$] Il y a 650 garçons. et 66\,\% d'entre eux sont du groupe A. 
%\item[$\bullet~$] 42\,\% des élèves sont du groupe O et parmi ceux-là, il y a deux fois plus de filles que de garçons. 
%\item[$\bullet~$]Il y a 12 filles du groupe B. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item %Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
		&A 		&B 		&O 		&Total\\ \hline 
Garçons	&429	&46		&175	&650\\ \hline  
Filles	&238	&12		&350	&600\\ \hline  
Total 	&667	&58		&525	&\np{1250}\\ \hline 
\end{tabularx} 

\medskip
 
\item %On choisit au hasard un des élèves parmi les \np{1250}~élèves de l'établissement. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la probabilité de l'évènement $F$ : \og l'élève choisi est une fille \fg{}  est égale à $0,48$.
		$p(F) = \dfrac{600}{\np{1250}} = \dfrac{12}{25} = \dfrac{48}{100} = 0,48$. 
		\item %Calculer la probabilité de l'évènement $H$ : \og l'élève choisi est du groupe A \fg.
$p(H) = \dfrac{667}{\np{1250}}\approx 0,53$.		 
Le résultat sera arrondi à $0,01$ près. 
		\item %Définir par une phrase les évènements $F \cap H,~F \cup H,~ \overline{F} \cap  \overline{H}$ puis calculer chacune de leur probabilité. Les résultats seront arrondis à $0,01$ près.
$F \cap H$ : \og l'élève choisi est une fille du groupe A \fg{} ;

$p(F \cap H) = \dfrac{238}{\np{1250}} \approx 0,19$.

$F \cup H$ : \og l'élève choisi est une fille ou est du groupe A \fg{} ;

$p(F \cup H) = \dfrac{600 + 667 - 238}{\np{1250}} = \dfrac{\np{1029}}{\np{1250}} \approx 0,82$.

$\overline{F} \cap  \overline{H}$ : \og l'élève est un garçon qui n'est pas du groupe A \fg{} ;

$p\left(\overline{F} \cap  \overline{H}\right) = \dfrac{46 + 175}{\np{1250}} = \dfrac{221}{\np{1250}} \approx 0,18$.
	\end{enumerate} 
\item %\textbf{On choisit au hasard un élève du groupe B.}
 
%Calculer alors la probabilité de l'évènement $G$ : \og l'élève choisi est un garçon \fg.

%Le résultat sera arrondi à $0,01$ près.
Sur les 58 élèves du groupe B, il y a 46 garçons.

Donc $p(G) = \dfrac{46}{58} = \dfrac{23}{29} \approx 0,79$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~8] par : 

%\[f(t) = 14 - t - 10\text{e}^{-0,8t}.\]
 
\begin{enumerate}
\item  %Vérifier que la fonction dérivée $f'$ de $f$ vérifie pour tout réel $t$ de l'intervalle [0~;~8]

%\[f'(t) = -1 + 8\text{e}^{-0,8t}.\]
$f$ est dérivable sur [0~;~8] et sur cet intervalle :

$f'(t) =  - 1 - 10 \times (- 0,8)\text{e}^{-0,8t} = - 1 + 8\text{e}^{-0,8t}$.
\item %Résoudre l'équation :
 
%\[-1 +8\text{e}^{-0,8t} = 0.\]
$-1 +8\text{e}^{-0,8t} = 0 \iff 8\text{e}^{-0,8t} = 1 \iff \text{e}^{-0,8t} = \dfrac{1}{8} \iff$ (par croissance de la fonction logarithme népérien) $-0,8t = \ln \left(\dfrac{1}{8} \right) \iff - 0,8t = - \ln 8 \iff$

$0,8t = \ln 8 \iff \dfrac{\ln 8}{0,8}$ ou $t = \dfrac{3\ln 2}{0,8}$. 
%Donner la valeur exacte $t_{0}$ de la solution de cette équation, puis une valeur arrondie au dixième.

La solution de l'équation est donc 
$t_{0} =  \dfrac{3\ln 2}{0,8} \approx 2,6$.
\item %Résoudre sur l'intervalle [0~;~8] l'inéquation :
 
%\[-1 +8\text{e}^{-0,8t} > 0.\]
On résout de façon analogue :

$-1 +8\text{e}^{-0,8t} > 0 \iff 8\text{e}^{-0,8t} > 1 \iff \text{e}^{-0,8t} > \dfrac{1}{8} \iff - 0,8t > - \ln 8 \iff$

$\ln 8 > 0,8t \iff 0,8t < \ln 8 \iff t < \dfrac{\ln 8}{0,8}$.

L'ensemble solution est donc l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\ln 8}{0,8}\right]$.

On aurait de même $-1 + 8\text{e}^{-0,8t} < 0$ sur $\left[\dfrac{\ln 8}{0,8}~;~8\right]$.  
%En déduire le signe de la dérivée de la fonction $f$ sur cet intervalle et dresser son tableau de variations.
On a donc le signe de la dérivée $f'(t)$ d'où on peut déduire le tableau de variations :

\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,2)(8,2)\psline(0,2.5)(8,2.5)
\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$t$}\uput[u](2.1,2.5){$0$}\uput[u](5,2.3){$\frac{\ln 8}{0,8}$}\uput[u](7.8,2.5){$8$}
\rput(1,2.25){$f'(t)$}\rput(3.5,2.25){+}\rput(6.5,2.25){$-$}\rput(5,2.25){$0$} \rput(1,1){$f(t)$}
\psline{->}(2.5,0.5)(4.5,1.5)\psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.5) 
\end{pspicture}
\end{center} 
\item %Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative $(\mathcal{C})$ de la fonction $f$  au point d'abscisse $0$.
Une équation de la tangente à la courbe représentative $(\mathcal{C})$ de la fonction $f$  au point d'abscisse $0$ est : $y = f(0) + f'(0)(t - 0)$.

$f(0) =  14 - 0 - 10\text{e}^{-0,8\times 0} = 14 - 10 = 4$ ;

$f'(0) = - 1 + 8\text{e}^{-0,8 \times 0} = - 1 + 8 = 7$.

Une équation est donc $y = 7t + 4$.
\item %Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir les résultats à $0,01$ près) :

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.7}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t$		&0	&1	&2	&2,6&3	&4		&5	&6	&7	&8\\ \hline
$f(t)$	&4	&8,51	&9,98	&10,15	&10,09	&9,59	&8,82	&7,92	&6,96	&5,98\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item ~%Dans un repère orthogonal, en prenant 2~cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées, construire les tangentes aux points d'abscisses $0$ et $t_{0}$ ainsi que la courbe $(\mathcal{C})$.

\medskip

\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.7cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(8,11)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,-.5)(8,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.1,labels=none]{->}(0,0)(0,-.5)(8,11)
\psplot{0}{1}{7 x mul 4 add}
\psline{<->}(1.6,10.15)(3.6,10.15)
\psline[linestyle=dashed](2.6,0)(2.6,10.15)(0,10.15)
\uput[d](2.6,0){$t_{0}\approx 2,6$}\uput[l](0.1,10.35){$f(t_{0}) \approx 10,15$}\uput[d](0.55,0){0,55}\uput[d](6.95,0){6,95} \uput[d](5.4,0){5,4}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8}{14 x sub 10 2.71828 0.8 x mul exp div sub}
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(0,8.5)(5.365,8.5)(5.365,0)
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(0,7)(0.54,7)(0.54,0)
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(0,7)(6.96,7)(6.96,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
%On injecte une substance médicamenteuse dans le sang d'une personne et on surveille le taux de cette substance pendant 8 heures.
% 
%On considère que le taux de cette substance $\left(\text{en mg.l}^{-1}\right)$ en fonction du temps $t$ (en heures) est modélisé par la fonction $f$ définie dans la partie A.
 
\begin{enumerate}
\item %À quel instant $t$ ce taux est-il maximum ? Exprimer cet instant en heures et minutes en utilisant la valeur approchée obtenue dans la partie A.
D'après la partie précédente le taux maximum est obtenu pour $t_{0}\approx 2,6$~h  soit environ 2~h 36~min.
%Quelle est alors la valeur du taux maximum de cette substance dans le sang du patient ?
Ce taux maximum est $f\left(t_{0}\right) \approx 10,15$~$\left(\text{en mg.l}^{-1}\right)$. 
\item %Pour les deux questions suivantes, on fera apparaître les traits de construction utiles et les résultats seront arrondis à la demi-heure près. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer graphiquement l'instant $t$ où le taux redevient inférieur à 8,5~mg.l$^{-1}$. 
		On trace la droite d'équation $y = 8,5$ qui coupe la courbe $(\mathcal{C})$ en deux points. On obtient l'abscisse du second point en le projetant sur l'axe des abscisses. Voir la figure ci-dessus. On lit environ 5,4~h soit 5~h 24~min.
		\item %On considère que cette substance est active lorsque le taux est supérieur à 7~mg.l$^{-1}$.
On trace la droite d'équation $y = 7$ qui coupe la courbe $(\mathcal{C})$ en deux points dont les abscisses délimitent l'intervalle de temps pendant lequel la substance est active.
		 
%Déterminer graphiquement la durée pendant laquelle cette substance est active.
On trouve que la substance est active sur l'intervalle [0,55~;~6,95] soit de 0~h 33~min à 6~h 57~min.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}