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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Biochimie}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL 
Polynésie septembre 2007~\decofourright\\[4pt]Biochimie--Génie biologique }} 
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice autorisée 

\vspace{0,5cm}

Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 9 points}

\medskip

%Un corps C à la température $y$ est placé dans une enceinte dont la température est supposée constante égale à 20\,\degres C. La température $y$ du corps C est relevée en fonction du temps $t$ mesuré en minutes.
%
%On a obtenu les résultats suivants :
%
%\medskip
%
%\renewcommand{\arraystretch}{1.75}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Temps $t_{i}$ (en min)&0& 10&	15&20&30& 	40\\ \hline
%Température $y_{i}$ (en \,\degres C)& 70& 50& 43,5& 38& 31,1& 27\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 	%Reproduire et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de $z$ au centième le plus proche.

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.75}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_{i}$ (en min)					&0		&10		&15		&20		&25		&30\\ \hline
Température $y_{i}$ (en \degre C)	&70		&50		&43,5	&38		&34		&31,1\\ \hline
$z_{i} = \ln \left(y_{i} 
- 20\right)$						&3,91	&3,40	&3,16	&2,89	&2,64	&2,41\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item ~%Dans un repère orthogonal, représenter le nuage de points formé par les points $M\left(t_{i},~z_{i}\right)$. (On prendra comme unités graphiques :

%1 cm pour 5 minutes en abscisse

%1 cm pour une unité en ordonnée.)
\psset{xunit=0.2cm,yunit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(30,4.5)
\multido{\n=0+5}{7}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,4)}
\multido{\n=0.0+0.5}{9}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(30,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5]{->}(0,0)(30,4.5)
\uput[d](30,0){$t$ (min)}\uput[l](0,4.5){$z$}
\psdots(0,3.91)(10,3.4)(15,3.16)(20,2.89)(25,2.64)(30,2.41)
\psplot{0}{30}{ 3.91 1.5 x mul 30 div sub}

\end{pspicture}
\end{center}
\item Pour déterminer un ajustement affine de $z$ en $t$, on considère la droite D passant par le premier point et le dernier point du nuage.
	\begin{enumerate}
		\item  %Tracer la droite D.
Voir la figure.
		\item  %Déterminer une équation de la droite D.
Une équation de D est $z = at + b$. Les coordonnées du premier et du dernier point vérifient l'équation soit :

$\left\{\begin{array}{l c l}
3,91&=&0a + b\\
2,41&=&30a + b
\end{array}\right. \Rightarrow$ (par différence) $-1,5 = 30a \iff a = - \dfrac{1,5}{30} = - 0,05$ et $b = 3,91$.

Une équation de D est : $z = - 0,05t + 3,91 
	 \end{enumerate}
\item %Sachant que $z = \ln(y - 20)$, écrire $y$ en fonction de $z$.
On a donc $z = \ln(y - 20) = - 0,05t + 3,91 \iff $ (par croissance de la fonction exponentielle) $ y - 20 =  \text{e}^{- 0,05t + 3,91} \iff y = 20 + \text{e}^{- 0,05t + 3,91}$.
\item %En utilisant l'ajustement affine déterminé en 3., calculer au bout de combien de temps le corps C a une température inférieure ou égale à 21\,\degres C.
Si $y = 21,~z = \ln (y - 20) = \ln 1 = 0$.

Il faut donc résoudre : $0 = - 0,05t + 3,91 \iff 0,05t = 3,91 \iff t = 78,2$~(min) soit environ 1~h 18~min  12~s.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 11 points}

\medskip
	
%Un médicament dosé à $5$~mg de principe actif est absorbé par voie orale. Le principe actif passe dans le sang puis est éliminé. On appelle $Q(t)$ la quantité de principe actif présente dans le sang exprimée en mg à l'instant $t (t \geqslant 0$  exprimé en heure).
%
%\medskip
%
%Une étude a permis de déterminer que :
%
%\[\text{pour}~t \geqslant 0, \quad 	Q(t) = 5\left(\text{e}^{-0,5t} - \text{e}^{-t}\right).\]

\begin{enumerate}
\item 	%Déterminer la limite de $Q(t)$ quand $t$ tend vers $+\infty$. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de $Q$ ?
On sait que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}\text{e}^{-t} = $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}\text{e}^{- 0,5t} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}Q(t) = 0$.

Ce résultat signifie graphiquement que l'axe des abscisses d'équation $y = 0$ est asymptote \`a la représentation graphique de la fonction $Q$.  
\item 	%Montrer que pour $t \geqslant 0,~~ Q'(t) = 5\text{e}^{-0,5t}\left(-0,5 + \text{e}^{-0,5t}\right)$.
$Q$ est dérivable sur $[0~ ;~+ \infty[$ et sur cet intervalle :

$Q'(t) = 5\left(-0,5\text{e}^{-0,5t} - ( - 1)\text{e}^{-t}   \right) = 5\left(-0,5\text{e}^{-0,5t} + \text{e}^{-t}   \right) =$

$5\left(-0,5\text{e}^{-0,5t} + \text{e}^{-0,5t}\text{e}^{-0,5t}   \right) = 5\text{e}^{-0,5t}\left(- 0,5 + \text{e}^{-0,5t} \right)$. 
\item 	%Étudier le signe de $Q'(t)$ pour $t \geqslant 0$. En déduire le tableau de variations de $Q$.
On sait que $5\text{e}^{-0,5t} > 0$ quel que soit le réel $t$, donc le signe de $Q'(t)$ est celui de la parenthèse $- 0,5 + \text{e}^{-0,5t}$.

Or  $- 0,5 + \text{e}^{-0,5t} > 0 \iff \text{e}^{-0,5t} > 0,5 \iff -0,5t > \ln 0,5 \iff - \ln 0,5 > 0,5t \iff - 2\ln 0,5 > t \iff t < - 2\ln 0,5$.

En fait $- 2 \ln 0,5 = - 2 \ln \frac{1}{2} = - 2 (- \ln 2) = 2\ln 2$.

Conclusion : sur $[0~ ;~2\ln 2]$, la dérivée est positive donc la fonction $Q$ est croissante.

De la m\^eme fa\c{c}on on obtient que la fonction $Q$ est décroissante sur l'intervalle $[2\ln 2~;~+ \infty[$.

On a donc un maximum $Q(2\ln2) = 5\left(\text{e}^{- \ln 2} - \text{e}^{-2\ln 2} \right) = 5\left(\dfrac{1}{\text{e}^{\ln 2}} - \dfrac{1}{\text{e}^{2\ln 2}} \right) =$

$5 \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} \right) = 5 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4} = 1,25$.

D'o\`u le tableau de variations : 

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)\psline(0,2)(8,2)\psline(0,2.5)(8,2.5)\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$t$} \uput[u](2.1,2.5){$0$} \uput[u](5,2.5){$2\ln 2$} \uput[u](7.5,2.5){$+ \infty$} 
\rput(1,2.25){$Q'(t)$}\rput(3.5,2.25){+}\rput(5,2.25){$0$}\rput(6.5,2.25){$-$}
\psline{->}(2.5,0.5)(4.5,1.5)\psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.5)
\rput(1,1){$Q(t)$} \uput[u](2.1,0){0} \uput[d](5,2){$\frac{5}{4}$}\uput[u](7.5,0){$0$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item~ 	%Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant :

%(On donnera des valeurs approchées arrondies au centième.)

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0	&0,5&1	&1,5&2	&3	&4	&6	& 8\\ \hline
$Q(t)$	&0	&0,86	&1,19	&1,25	&1,16	&0,87	&0,59	&0,24	&0,09\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item %Tracer la courbe représentative de $Q$ dans un repère orthogonal

%(Unités graphiques : $2$~cm pour une heure en abscisse et $10$~cm pour 1 mg en ordonnée.)
Voir \`a la fin.
\item %Le médicament est efficace lorsque la quantité de principe actif présente dans le sang est supérieure ou égale à $0,8$ mg.

%À l'aide du graphique obtenu à la question 5, déterminer la durée pendant laquelle le médicament est efficace.
On trace la droite d'équation $y = 0,8$ qui coupe la courbe représentative de $Q$ en deux points dont on trouve l'abscisse en les projetant sur l'axe des abscisses. On lit \`a peu près : 0,45 et 3,2 soit : le médicament est efficace  entre 27 min et 3~h 12~min.
\end{enumerate}
\medskip

\psset{xunit=1.5cm,yunit=7.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-0.1)(8,1.3)
\multido{\n=0.0+0.5}{17}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,1.3)}
\multido{\n=0.00+0.25}{6}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(8,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(0,0)(8,1.3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.1,Dy=0.5,comma=true,labels=none]{->}(0,0)(0,0)(8,1.3)
\uput[d](8,0){$t$ (h)} \uput[r](0,1.3){$Q(t)$ (mg)}
\uput[d](1.38,-0.08){$2\ln 2 \approx 1,38$}\uput[l](0,0.8){0,8}
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed](1.38,0)(1.38,1.25)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(0,0.8)(0.45,0.8)(0.45,0)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(0,0.8)(3.2,0.8)(3.2,0)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8}{2.71828 0.5 x mul neg exp 2.71828 x neg exp sub 5 mul}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}