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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL Biochimie - Génie biologique}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL La Réunion juin 2006~\decofourright\\[4pt]  Biochimie--Génie biologique}} 
    
%\vspace{0,8cm}
%
%Calculatrice autorisée 
%
%\vspace{0,5cm}
%
%Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2
%
%\vspace{0,5cm}
%
%Ce sujet nécessite deux feuilles de papier millimétré.

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 8 points}

\medskip

%Le tableau ci-dessous donne l'évolution du prix semestriel moyen du baril de pétrole, en dollars, depuis le début de l'année 2002 (\emph{cours du Brent}).
%
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|l|*{8}{c|}}\cline{2-9}
%\multicolumn{1}{c|}{}&Janvier&	Juin&Janvier&Juin&Janvier&Juin&Janvier&Juin \\
%\multicolumn{1}{c|}{}&2002&2002&2003&2003&2004&2004&2005&2005 \\\hline
%\begin{tabular}{l}Rang $x_{i}$ du\\
%semestre\\
%\end{tabular}&	1&	2&	3&	4&	5&	6&	7&	8\\ \hline
%Prix $y_{i}$ du&	&	&	&	&	&	&	&\\
%baril en	&	20&	24&	29&	27&	30&	38&	44&	53\\
%dollars&	&	&	&	&	&	&	&	\\ \hline
%\end{tabular} \end{center}
%
%On pose $z_{i} =  \ln \left(y_{i}\right)$, où ln désigne la fonction logarithme népérien.
\begin{enumerate}
\item~ %Recopier et compléter le tableau suivant, avec des valeurs arrondies à $10^{-2}$ près.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x_{i}$&	1&	2&	3&	4&	5&	6&	7	&8 \\ \hline
$z_{i} =  \ln \left(y_{i}\right)$&3,00	&3,18	&3,37	&3,30	&3,40	&3,64	&3,78	&3,97\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item %Construire le nuage de points $\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$, dans un repère d'unités graphiques : 

%1 cm en abscisse, 5 cm en ordonnée.
Voir à la fin.
\item %On désigne par G$_{1}$ le point moyen des quatre premiers points du nuage et par G$_{2}$ le point moyen des quatre derniers.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer les coordonnées de G$_{1}$ et de G$_{2}$ (\emph{on arrondira les résultats à} $10^{-2}$). Tracer la droite (G$_{1}$G$_{2}$) sur le graphique.
On trouve G$_{1}(2,5~;~3,26)$ et G$_{2}(6,5~;~3,70)$. Voir le tracé plus bas.
		\item %Calculer une équation de la droite (G$_{1}$G$_{1}$) sous la forme $z = ax + b$. (\emph{On arrondira les résultats à} $10^{-2}$).
Une équation de la droite (G$_{1}$G$_{2}$) est de la forme $y = ax + b$. On écrit que les coordonnées de G$_{1}$ et de G$_{2}$ vérifient cette équation soit :

$\left\{\begin{array}{l c l}
3,26 &=& 2,5a + b\\
3,70&=&6,5a + b
\end{array}\right. \Rightarrow $ (par différence) $0,44 = 4a \iff a = 0,11$, d'où 

$b = 3,26 - 2,5 \times 0,11 = 3,26 - 0,275 = 2,985 \approx 2,99$.

Une équation de la droite (G$_{1}$G$_{2}$) est $y = 0,11x + 2,99$.
	\end{enumerate}
\item %On admet que cette droite réalise un ajustement utilisable du nuage.

%Si la tendance se confirme, prévoir, à partir de cet ajustement, le prix en dollars du baril de pétrole en janvier 2008.
Janvier 2008 correspond à $x = 13$. On trace la droite d'équation $x = 13$ qui coupe la droite d'ajustement en un point dont on trouve l'ordonnée en le projetant sur l'axe des ordonnées. On lit à peu près $z \approx 4,42 = \text{e}^{y} \iff y = \text{e}^{4,42} \approx 83$.

Si la tendance se poursuit le baril de pétrole sera en 2013 à 83~dollars
\end{enumerate}

\medskip
\psset{xunit=0.8cm,yunit=4.cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(14,2)
\multido{\n=0.0+0.5}{29}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,2)}
\multido{\n=0.0+1}{15}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,2)}
\multido{\n=0.0+0.1}{21}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](0,\n)(14,\n)}
\multido{\n=0+1}{3}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(14,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=3]{->}(0,0)(14,2)
\uput[d](14,0){$x_{i}$}\uput[l](0,2){$z_{i}$}
\psdots(1,0.00)(2,0.18)(3,0.37)(4,0.3)(5,0.4)(6,0.64)(7,0.78)(8,0.97)
\psplot[linecolor=blue]{0.1}{14}{0.11 x mul 0.01 sub}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](2.5,0.26)(6.5,0.7)
\uput[d](2.5,0.26){G$_{1}$}\uput[d](6.5,0.7){G$_{2}$}
\uput[l](0,1.42){1,42}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(13,0)(13,1.42)(0,1.42)
\end{pspicture}
\end{center}
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 12 points}

\medskip

%On étudie l'hydrolyse d'un ester en fonction du temps.
%
%\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%La concentration $y$ d'un ester, exprimée en moles par litre, en fonction du temps $t$, exprimé en heures, est solution de l'équation différentielle :

%\[y' = -0,61y \quad  \text{avec} \quad  y(0) = 1,5.\]
%Résoudre cette équation différentielle.
On sait que les solutions de l'équation différentielle sont de la forme $y(t) = C\text{e}^{-0,61t}$, avec $C \in \R$.

Or $y(0) = 1,5 \iff C\text{e}^{-0,61 \times 0} = 1,5 \iff C = 1,5$.

Finalement : $y(t) = 1,5\text{e}^{-0,61t}$.
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par
%
%\[f(t) =  1,5 \text{e}^{-0,61t}.\]
%
%$\mathcal{C}$ est la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques : 2 cm pour 1 heure en abscisse, 10 cm pour 1 unité en ordonnée.

\begin{enumerate}
\item  %Calculer la limite de $f$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$.
On a $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} -0,61t = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{-0,61t} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 0$.
%En déduire l'existence d'une asymptote à $\mathcal{C}$, dont on donnera une équation.

Graphiquement ce résultat signifie que l'axe des abscisses d'équation $y = 0$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(t)$, où $f'$  désigne la dérivée de $f$ et étudier son signe sur $[0~;~+ \infty[$.
$f$ est dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle :

$f'(t) = 1,5 \times (- 0,61)\text{e}^{-0,61t} = - 0,915\text{e}^{-0,61t}$.

On sait que $\text{e}^{-0,61t} > 0$ quel que soit le réel $t$, donc $f'(t) < 0$ : la fonction est décroissante sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item %Établir le tableau de variations de $f$.
On a donc le tableau de variations suivant :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2)(8,2)\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$t$} \uput[u](2.1,2.5){$0$} \uput[u](7.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(1,2.25){$f'(t)$} \rput(5,2.25){$-$}
\rput(1,1){$f(t)$} \uput[d](2.2,2){$1,5$} \uput[u](7.8,2){$0$}
\psline{->}(2.5,1.5)(7.5,0.5)\uput[u](7.8,0){$0$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\item ~%Tracer la courbe $\mathcal{C}$.

%(On placera les points d'abscisses 0 ; 0,5 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5).
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0	&0,5	&1		&2		&3		&4		&5\\ \hline
$f(t)$	&1,5&1,11	&0,82	&0,24	&0,13	&0,07	&0,07\\ \hline
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\bigskip
\psset{xunit=1.1cm,yunit=5.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,1.5)
\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,1.5)}
\multido{\n=0.00+0.05}{31}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](0,\n)(8,\n,1)}
\multido{\n=0+0.5}{4}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(8,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(8,1.6)
\uput[d](8,0){$t$~(h)}\uput[r](0,1.55){$f(t)$~(moles par litre)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8}{1.5 2.71828 0.61 x mul exp div}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(1.5,0)(1.5,0.6)(0,0.6)\uput[d](1.5,0){1,5}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(0,0.3)(2.6,0.3)(2.6,0)\uput[l](0,0.3){0,3}\uput[l](0,0.6){0,6}\uput[d](2.6,0){2,6}
\multido{\n=0.00+0.25}{33}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,1.5)}
\end{pspicture}
\end{center}
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

%On admet que $f(t)$ représente la concentration de l'ester, en moles par litre, en fonction du temps $t$, exprimé en heures.
\begin{enumerate}
\item  %En faisant apparaître les constructions utiles, déterminer graphiquement :
	\begin{enumerate}
		\item %la concentration de l'ester au bout de 1 h 30 ;
On trace la droite d'équation $t = 1,5$ qui coupe $\mathcal{C}$ en un point dont on trouve l'ordonnée en le projetant sur l'axe des ordonnées ; on lit environ 0,6~moles par litre.
		\item %au bout de combien de temps la concentration de l'ester devient inférieure à 0,3 mole par litre.
On trace la droite d'équation $y = 0,6$ qui coupe $\mathcal{C}$ en un point dont on trouve l'abscisse en le projetant sur l'axe des abscisses. On lit à peu près 2,6~h ou encore 2~h 36~min.

La concentration de l'ester devient inférieure à 0,3 mole par litre au bout de 2~h 36~min.
\end{enumerate}
\item %Retrouver le résultat du \textbf{1. b.} par le calcul.

%(On donnera la valeur approchée par excès du résultat en heures et minutes).
Il faut résoudre l'inéquation $f(t) < 0,3 \iff 1,5\text{e}^{-0,61t} < 0,3$

$\iff 5\text{e}^{-0,61t} < 1 \iff \text{e}^{-0,61t} < \dfrac{1}{5} \iff \text{e}^{-0,61t} < 0,2 \iff $ (par croissance de la fonction logarithme népérien) $-0,61t < \ln 0,2 \iff t > \dfrac{\ln 0,2}{-0,61} \iff t > 2,638$~(h) soit environ 2~h 38,305~min soit en arrondissant à la minute :
2~h 39~min (résultat plus précis).
\end{enumerate}
\end{document} 