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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL Biochimie}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL La Réunion~\decofourright\\[4pt]juin 2008  Biochimie--Génie biologique}} 
    
%\vspace{0,8cm}
%
%Calculatrice et formulaire autorisés 

\vspace{0,5cm}

%Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

\end{center}

%\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 9 points}

\medskip

%Le tableau suivant donne les concentrations plasmatiques (en $\mu$g/ml) en fonction du temps (en minutes) chez un sujet ayant reçu par voie intraveineuse une dose de 1~mg/kg d'un médicament.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Temps (min) : $t_{i}$&0& 10& 20& 30& 40& 50& 60\\ \hline
%Concentration ($\mu$g/ml) : $c_{i}$&18,2&14,9&12,2&11,0&9&8,2&5,5\\ \hline
%\end{tabularx}

\medskip
\begin{enumerate}
\item~  %Recopier et compléter le tableau suivant

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_{i}$				&0	& 10& 20&30	&40	&50	&60\\ \hline
$y_{i} = \ln c_{i}$	&2,9&2,7&2,5&2,4&2,2&2,1&1,7\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip	

%\emph{Dans cette question, les valeurs numériques seront arrondies au dixième.}

\item~ %Tracer dans le repère orthogonal le nuage de points $M_{i}\left(t_{i}~;~y_{i}\right)$.
\psset{xunit=0.17cm,yunit=4.25cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-0.1)(65,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5]{->}(0,0)(65,3)
\uput[d](65,0){$t$}\uput[r](0,3){$y = \ln c$}
\psdots(0,2.9)(10,2.7)(20,2.5)(30,2.4)(40,2.2)(50,2.1)(60,1.7)
\psplot{0}{65}{100.5 35 div .6 x mul 35 div sub}
\multido{\n=0.0+2.5}{27}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,3)}
\multido{\n=0.0+0.1}{31}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(65,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

%On prendra : en abscisses $1$~cm pour $5$~minutes, en ordonnées $5$~cm pour $1$~unité. Un ajustement affine paraît-il justifié ?
Les points sont sensiblement alignés : un ajustement affine paraît justifié.
\item %Recherche d'un ajustement affine:
	\begin{enumerate}
		\item %On note G$_{1}$ le point moyen du sous-nuage formé par les points M$_{1}$, M$_{2}$ et M$_{3}$ et G$_{2}$ le point moyen du sous-nuage formé par les points M$_{4}$, M$_{5}$, M$_{6}$ et M$_{7}$.
On trouve G$_{1}(10~;~2,7)$ et G$_{2}(45~;~2,1)$		
%Déterminer les coordonnées des points G$_{1}$ et G$_{2}$.
		\item %Placer ces points sur le graphique et tracer la droite $\left(\text{G}_{1}\text{G}_{2}\right)$.
Voir le graphique
		\item %Déterminer une équation de la droite $\left(\text{G}_{1}\text{G}_{2}\right)$.
		
Une équation de la droite est $y = at + b$. Les coordonnées de G$_{1}$ et de G$_{2}$ vérifient l'équation, soit :
		
$\left\{\begin{array}{l c l}
2,7&=&10a + b\\
2,1&=&45a + b
\end{array}\right. \Rightarrow $ (par différence) $ -0,6 = 35a \iff a  = - \dfrac{0,6}{35}$ puis $b = 2,7 - 10a = 2,7 - 10 \times \left(- \dfrac{0,6}{35}\right) = \dfrac{100,5}{35}$.

Une équation de la droite $\left(\text{G}_{1}\text{G}_{2}\right)$ est donc $y = - \dfrac{0,6}{35}t + \dfrac{100,5}{35}$ ou en arrondissant au dixième  $y = - 0,02t + 2,9$.
	\end{enumerate}
\item %Dans cette question on utilisera l'ajustement affine d'équation \mbox{$y = - 0,02t + 2,9$}. Calculer
	\begin{enumerate}
		\item %le temps nécessaire pour atteindre une concentration plasmatique de $4~\mu$g/ml (\emph{on arrondira le résultat à la minute près}).
Si $c = 4$, alors $y = \ln c = \ln 4$. Il faut résoudre l'équation :

 $\ln 4 = - 0,02t + 2,9 \iff 0,002t = 2,9 - \ln 4 \iff t = \dfrac{2,9 - \ln 4}{0,02} \approx 76$~(min) soit environ 1~h  16~min.
		\item %la concentration plasmatique au bout de 1 h 10 min (\emph{on arrondira le résultat à $10^{-1}$ près}).
1 h 10 min correspond à $t = 70$ ; donc $y = - 0,02 \times 70 + 2,9 = - 1,4 + 2,9 = 1,5 = \ln c$.

Donc $c = \text{e}^{1,5} \approx 4,5$ à 0,1 près.

La concentration plasmatique au bout de 1 h 10 min sera environ de 4,5~$\mu$g/ml.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A : lecture graphique}

\medskip

%Le graphique ci-dessous donne la courbe représentant une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$, et ses tangentes aux points d'abscisses $0,~0,5$ et $3$. On note $f'$ la dérivée de $f$.
%
%Chacune des questions de cette partie A sera traitée graphiquement. Aucune justification n'est demandée.
\begin{enumerate}
\item %Donner une approximation de $f(1)$ à $0,1$ près.
n lit à peu près $f(1)  \approx - 1,7$ à 0,1 près.
\item %Donner le nombre de solutions de l'équation $f(x) = -3$, puis une valeur approchée à $0,1$ près de chacune d'elles.
La droite d'équation $y = -3$ coupe la courbe en trois points dont les abscisses sont à peu près : $- 0,2 \quad 2,2 \quad 3,7$ à 0,1 près.

Ce sont les trois solutions de l'équation $f(x) = - 3$.
\item %Déterminer $f'(0),~f'(0,5)$ et $f'(3)$.
On a $f'(0,5) = 0$ et $f'(3) = 0$.

La tangente en $(0~;~-2)$ contient aussi le point (1~;~1) ; son coefficient directeur est égal à $\dfrac{1 - (-2)}{1 - 0} = 3$, donc $f'(0) = 3$.
\item %Résoudre l'inéquation $f'(x) \leqslant 0$.
Si $f'(x) \leqslant 0$, la fonction est décroissante ; or $f$ n'est décroissante que sur l'intervalle $]0,5~ ;~3[$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-5)(6,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=5,subgridwidth=0.25pt,griddots=15,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-1,-5)(6,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-5)(6,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psplot{-1}{1.666}{x 3 mul 2 sub}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{-0.46}{5.93}{x 2 exp x 1 add ln 12 mul add 9 x mul sub 2 sub}
\psline{<->}(0,-1.384)(1,-1.384) \psline{<->}(2.5,-3.364)(3.5,-3.364)
\end{pspicture}
\end{center}
	
\medskip

\textbf{Partie B : étude d'une fonction}

\medskip

%On admet que la fonction $f$ représentée dans la partie A est définie par
%
%\[f(x) = x^2 -9x - 2 + 12 \ln (x + 1).\]

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de $f$ en $-1$. On admettra que la limite de $f$ en $+\infty$  est $+ \infty$.
$\displaystyle\lim_{x \to -1} (x + 1) = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to -1}\ln (x + 1) = - \infty$ et comme $\displaystyle\lim_{x \to -1}x^2 - 9x = 10$,

 $\displaystyle\lim_{x \to -1} f(x) = - \infty$.
\item  %Calculer $f'(x)$, puis montrer que $f'(x) = \dfrac{2x^2 - 7x + 3}{x + 1}$.
$f$ est dérivable sur $]-1~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = 2x - 9 + 12 \dfrac{1}{x + 1} = \dfrac{(2x - 9)(x + 1) + 12}{x + 1} = \dfrac{2x^2 + 2x - 9x - 9 + 12}{x + 1} = \dfrac{2x^2 - 7x + 3}{x + 1}$.
\item %Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]-1~;~+\infty[$.
Sur l'intervalle $]-1~;~+\infty[,~(x + 1) > 0$, donc le signe de $f'(x)$ est celui du numérateur $2x^2 - 7x + 3$ qui est un trin\^ome.

$\delta = (- 7)^2 - 4 \times 2 \times 3 = 25 = 5^2$.

Les deux racines réelles sont donc :

\[\dfrac{7 + 5}{ 2 \times 2} = 3 \quad \text{et} \quad \dfrac{7 - 5}{2 \times 2} = 0,5.\]

Le trin\^ome est positif sauf sur $]0,5~ ;~3[$, ce qui correspond bien au graphique : $f$ est croissante sauf sur $]0,5~ ;~3[$ 
\item %En déduire le tableau de variations de $f$.
On en déduit le tableau de variations suivant :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(11,3)
\psframe(11,3) \psline(0,2)(11,2)\psline(0,2.5)(11,2.5)\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.25,2.5){$-1$} \uput[u](5,2.5){$0,5$} \uput[u](8,2.5){$3$} \uput[u](10.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$} \rput(3.5,2.25){$+$}\rput(5,2.25){$0$}\rput(8,2.25){$0$}\rput(6.5,2.25){$-$}\rput(9.5,2.25){$+$} 
\rput(1,1){$f(x)$} \psline{->}(2.5,0.5)(4.5,1.5) \psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.5)
\psline{->}(8.5,0.5)(10.5,1.5)
\uput[u](2.5,0){$- \infty$} \uput[d](5,2){$\approx -1,4$}\uput[u](8,0){$\approx -3,4$}\uput[d](10.5,2){$+ \infty$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item %Montrer qu'il existe une seule solution $\alpha$ de l'équation $f(x) =  0$ dans l'intervalle [5~;~6] et donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.
Sur l'intervalle [5~;~6] la fonction est strictement croissante. De plus : 

$f(5) = 5^2 - 9 \times 5 - 2 + 12 \ln (5 + 1) = - 22 + 12\ln 6 \approx -0,5 < 0$ et

$f(6) = 6^2 - 9 \times 6 - 2 + 12 \ln (6 + 1) = - 20 + 12 \ln 7 \approx 3 > 0$.

Donc l'équation $f(x) = 0$ admet une seule solution $\alpha \in [5~;~6]$.

La calculatrice donne $f(5,1) \approx -0,19$ et $f(5,2) \approx 0,13$, donc $\alpha \approx 5,2$ à 0,1 près.
\end{enumerate}
\end{document}