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%tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Biochimie - Génie biologique}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL La Réunion~\decofourright\\[4pt]juin 2009 Biochimie--Génie biologique}} 
    
%\vspace{0,8cm}
%
%Calculatrice et formulaire autorisés 

\vspace{0,5cm}

%Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

\end{center}

%\vspace{0.5cm} Attention : Le texte encadré ci-dessous est commun aux exercices indépendants 1 et 2
%
%\vspace{0.5cm} 
%
%\begin{tabular}{|p{13.5cm}|}\hline
%\emph{L'Artemia salina} est un petit crustacé qui fait partie du plancton marin. Ses qualités nutritionnelles en font une nourriture de choix pour la plupart des écloseries de poissons dans le monde.\\ \hline
%\end{tabular}

%\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 8 points}

\medskip

%Dans des conditions physico-chimiques appropriées (pH, température, oxygénation, éclairage), un magasin d'aquariophilie fait l'élevage des Artemia.
%
%\medskip
%
%À l'aide d'un appareil à imagerie numérique (Zooscan), on a pu mesurer, pour des temps $t_{i}$ exprimés en jours, le nombre $N_{i}$ d'\emph{Artemia} exprimé en centaines :
%
%\medskip
%
%\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%$t_{i}$& 0& 3& 6& 9& 12 &15& 18& 21& 24\\ \hline
%$N_{i}$& 5& 20& 50& 150& 370& 610& 740& 800& 820\\ \hline
%
%\end{tabularx}
%\renewcommand{\arraystretch}{1}
%\medskip

\begin{enumerate}
\item~  %On pose : $y_{i} = \ln \left(\dfrac{825}{N_{i}} - 1 \right)$.

%Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs à $10^{-1}$ près :

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_{i}$& 0	& 3& 6& 9& 12 &15& 18& 21& 24\\ \hline
$y_{i}$& 5,1&3,7&2,7&1,5&0,2&$-1$&$-2,2$&$-3,5$&$-5,1$\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand{\arraystretch}{1}

\medskip

\item
	\begin{enumerate}
		\item ~%Représenter le nuage de points $M_{i}\left(t_{i}~;~ y_{i}\right)$ dans un repère orthonormé d'unité graphique 1~cm.
\psset{unit=0.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-6)(24,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=3](0,0)(0,-6)(24,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=3]{->}(0,0)(1,1)
\psdots(0,5.1)(3,3.7)(6,2.7)(9,1.5)(12,0.2)(15,-1)(18,-2.2)(21,-3.5)(24,-5.1)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5,linecolor=red](12,0.2)
\uput[u](12,0.2){G}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{24}{5.1 0.4 x mul sub}
\end{pspicture}
\end{center}
		\item %Calculer les coordonnées, arrondies à $10^{-1}$ près, du point moyen G du nuage de points $M_{i}\left(t_{i}~;~y_{i}\right)$.
G(12~;~0,2)
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Tracer la droite (D) passant par G et le point A(0~;~5,1).
Voir la figure
		\item %Déterminer son équation sous la forme $y = at + b$. On donnera les valeurs de $a$ et de $b$ arrondies à $10^{-1}$ près.
		On écrit que les coordonnées de G et de A vérifient l'équation $y = at + b$, soit :
		
$\left\{\begin{array}{l c l}
0,2&=&12a + b\\
5,1&=&0a + b
\end{array}\right. \Rightarrow 12a = 0,2 - 5,1 \iff 12a = - 4,9 \iff a = - \dfrac{4,9}{12} \approx - 0,4$.

Une équation de la droite (GA) est donc $y = -0,4t + 5,1$.
 	\end{enumerate}
\item %On admet que la droite (D) constitue un ajustement convenable du nuage de points $M_{i}\left(t_{i}~;~y_{i}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer le nombre d'Artemia que l'on peut prévoir au bout de 10 jours d'élevage.
Avec $t = 10$, on a $y = -0,4 \times 10 + 5,1 = - 4 + 5,1 = 1,1$.

On a donc $y = \ln \left(\dfrac{825}{N} - 1 \right) = 1,1 \iff$ (par croissance de la fonction exponentielle) 

$\dfrac{825}{N} - 1 = \text{e}^{1,1} \iff \dfrac{825}{N} = 1 + \text{e}^{1,1} \iff N = \dfrac{825}{1 + \text{e}^{1,1}} \approx 206$~(centaines d'\emph{Artemia})
		\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		
%En utilisant l'équation de la droite (D) et la relation $y = \ln\left(\dfrac{825}{N} - 1\right)$,  démontrer que le nombre $N$ d'Artemia que l'on peut prévoir après $t$ jours d'élevage est donné en centaines par la formule : $N(t) = \dfrac{825}{1 + \text{e}^{-0,4t + 5,1}}$.
On a $y = - 0,4t + 5,1 = \ln \left(\dfrac{825}{N} - 1 \right) \iff $ (par croissance de la fonction exponentielle) $\text{e}^{- 0,4t + 5,1} = \dfrac{825}{N} - 1 \iff \dfrac{825}{N} = 1 + \text{e}^{- 0,4t + 5,1} \iff N = \dfrac{825}{1 + \text{e}^{- 0,4t + 5,1}}$.
	\end{enumerate} 
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 12 points}

\medskip

%Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par :
% 
%\[f(t) = \dfrac{825}{1 + 164\text{e}^{-0,4t}}.\]
%
%On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
%
%\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f(0)$.
$f(0) = \dfrac{825}{1 + 164\text{e}^{-0,4 \times 0}} = \dfrac{825}{165} = \dfrac{173}{33} \approx 5,24$.
		\item %Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
Comme $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} -0,4t = - \infty$, on a $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}	\text{e}^{-0,4 \times 0} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 825$.	
%En déduire l'existence d'une asymptote $(\Delta)$ pour la courbe ($\mathcal{C}$) de $f$.
Graphiquement ce résultat signifie que la droite d'équation $y = 825$ est asymptote à la courbe ($\mathcal{C}$) au voisinage de plus l'infini.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
	\item %Montrer que $f'(t) = \dfrac{\np{54120}\text{e}^{-0,4t}}{\left(1 + 164\text{e}^{-0,4t}\right)^2}$, où $f'$ désigne la dérivée de $f$.
$f$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et sur cet intervalle :

$f'(t) = - \dfrac{u'}{u^2} = - \dfrac{825 \times (- 0,4) \times 164\text{e}^{-0,4t}}{\left(1 + 164\text{e}^{-0,4t} \right)^2} = \dfrac{\np{54120}\text{e}^{-0,4t}}{\left(1 + 164\text{e}^{-0,4t} \right)^2}$.
	\item %Étudier le signe de $f'(t)$ sur $[0~;~+\infty[$.
Tous les termes du quotient étant supérieurs à zéro, $f'(t) > 0$, donc la fonction est strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$ de $\dfrac{173}{33}$ à 825.	
%En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur 
$[0~;~+\infty[$.
    \end{enumerate}	
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer le coefficient directeur de la tangente (T) à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse 12,75. On arrondira cette valeur à l'unité.
Le coefficient directeur de la tangente (T) à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse 12,75 est égal au nombre dérivé $f'(12,75) = \dfrac{\np{54120}\text{e}^{-0,4 \times 12,75}}{\left(1 + 164\text{e}^{-0,4\times 12,75} \right)^2}  = 82,5 \approx 83$.
		\item~  %Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir le résultat à l'unité):
		
\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_{i}$& 0	& 3	& 6	& 9	&12	&15	& 18&21	& 24\\ \hline
$y_{i}$& 5	&16	&52	&151	&351	&587	&735	&796	&816\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

	\item  %Construire dans un même repère la courbe $(\mathcal{C})$, l'asymptote $(\Delta)$ et la tangente (T) en prenant 1~cm pour 1~unité en abscisse et 1~cm pour 50~unités en ordonnée.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.015cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(24,850)
\multido{\n=0+3}{9}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,850)}
\multido{\n=0+50}{18}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(24,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=3,Dy=100]{->}(0,0)(24,850)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=100,labels=none]{->}(0,0)(24,850)
\uput[d](24,0){$t$}\uput[l](0,850){$f(t)$}
\psline(0,825)(24,825)\uput[u](12,825){$(\Delta)~y = 825$}
\psplot{9.75}{15.75}{82.5 x mul 639.3 sub}\uput[l](15.75,660.1){(T)}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt,arrowsize=2pt 3]{->}(0,412.5)(12.75,412.5)(12.75,0)
\uput[l](0,412.5){412,5}\uput[ur](12.75,0){12,75}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.3pt,linecolor=blue]{0}{24}{825 1 164 2.71828 0.4 x mul exp div add div}\uput[d](21,790){$(\mathcal{C})$}

\end{pspicture}
\end{center}	
\medskip
	
\textbf{Partie B}  %On modélise l'évolution de la population d'\emph{Artemia salina} par la fonction $f$.
	
\medskip

\begin{enumerate}
\item  %En utilisant la courbe $(\mathcal{C})$ déterminer au bout de combien de temps la population aura atteint \np{41250}~individus.
On trace la droite d'équation $y = 412,50$ (centaines) qui coupe la courbe $(\mathcal{C})$ en un point dont on obtient l'abscisse en le projetant sur l'axe des abscisses. Voir la figure. On lit environ 

$t \approx 12,75$ soit vers le 13\up{e} jour.
\item  %Retrouver par le calcul ce résultat. On donnera la valeur exacte de la solution puis une valeur arrondie à $10^{-2}$.
Il faut résoudre l'équation dans $[0~;~+ \infty[$ :

$f(t) = 412,5 \iff  \dfrac{825}{1 + 164\text{e}^{-0,4t}} = 412,5 \iff \dfrac{825}{412,5} = 1 + 164\text{e}^{-0,4t} \iff$

$\dfrac{825}{412,5} - 1 = 164\text{e}^{-0,4t} \iff 1 = 164\text{e}^{-0,4t} \iff \dfrac{1}{164} = \text{e}^{-0,4t} \iff$ (par croissance de la fonction logarithme népérien) $ \ln\left(\dfrac{1}{164} \right) = -0,4t \iff - \ln 164 = - 0,4t \iff$

$\ln 164 = 0,4t \iff t = \dfrac{\ln 164}{0,4} \approx 12,75$.

On retrouve le même résultat.
\item  %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

%Comment interprétez-vous les résultats des questions A. 1. a. et A. 1. b. ?
$f(0)$ correspond à la population initiale (500) et la limite en plus l'infini à la population plafond (\np{82500}).
\end{enumerate}
\end{document}