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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL Biochimie}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Biochimie~\decofourright\\[4pt] La Réunion
 juin 2010}}\\

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

%Un laboratoire a mis au point un test de dépistage d'une maladie non contagieuse, et souhaite en évaluer l'efficacité. Une étude est alors menée sur une population de \np{10000} individus dont on sait que 15\,\% sont touchés par la maladie.
% 
%On obtient les résultats suivants :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] 36 individus sont atteints par la maladie et présentent un test négatif 
%\item[$\bullet~$] 0,34\,\% de la population étudiée présente un test positif et n'est pas malade.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item~ %Recopier et remplir le tableau d'effectifs suivant :

\medskip

\hspace*{-0.38cm}\begin{tabularx}{1.05\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4} 
\multicolumn{1}{c|}{}&Individu malade &Individu sain &Total\\ \hline 
Test positif &\np{1464}&340&\np{1804}\\ \hline
Test négatif &36&\np{8160}&\np{88196}\\ \hline 
Total&\np{1500}&\np{8500}& \np{10000}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item~ %On note :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] $M$ l'évènement : \og l'individu est malade. \fg 
%\item[] $\overline{M}$ l'évènement : \og l'individu est sain. \fg 
%\item[] $T_{+}$ l'évènement : \og le test est positif. \fg 
%\item[] $T_{-}$ l'évènement : \og le test est négatif. \fg
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
%On choisit au hasard une personne de cette population, chaque personne ayant la même probabilité d'être choisie.
% 
%Les résultats des probabilités seront donnés sous forme décimale exacte.
 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité $p(M)$ de l'évènement $M$ , puis la probabilité $p\left(T_{+}\right)$ de l'évènement $T_{+}$.
$p(M) = \dfrac{\np{1500}}{\np{10000}} = 0,15$.

$p\left(T_{+}\right) = \dfrac{\np{1804}}{\np{10000}} = \np{0,1804}$.		 		\item %Définir à l'aide d'une phrase l'évènement $M \cap T_{+}$ et l'événement $M \cup T_{+}$, et calculer la probabilité de chacun d'entre eux.

$M \cap T_{+}$ : \og l'individu est malade et est positif \fg{} ;

$p\left(M \cap T_{+}\right) = \dfrac{\np{1464}}{\np{10000}} = \np{0,1464}$ ;

$M \cup T_{+}$ : \og l'individu est malade ou est positif \fg{} ;

$p\left(M \cup T_{+}\right) = \dfrac{\np{1500} + \np{340} }{\np{10000}} = \dfrac{1840}{\np{10000}} = \np{0,184}$.
	\end{enumerate} 
\item %On choisit au hasard un individu malade, chaque individu malade ayant la même probabilité d'être choisi.
 
%Quelle est la probabilité $p$ que son test soit négatif ? 
Sur \np{1500} malades 36 ont un test négatif, donc la probabilité est égale à $\dfrac{36}{\np{1500}} \approx 0,024$.
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

%\medskip
 
%En conclusion de l'étude, le test est déclaré efficace lorsque moins de 3\,\% des individus malades présentent un test négatif, et que plus de 97\,\% des individus sains présentent un test négatif.
 
%Ce test sera-t-il déclaré efficace ?
On a environ 2,4\,\% de malades ayant un un test négatif : ce pourcentage est inférieur à 3\,\% ;

Sur les \np{8500} personnes saines \np{8466} ont un test négatif ce qui représente 

$\dfrac{\np{8160}}{\np{8500}}\times 100 = 96\,\%$ donc moins de 97\,\%.

L'une des deux conditions n'est pas remplie : le test est déclaré inefficace. 
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}

\medskip
 
%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :
 
%\[f(t) = 67 - \dfrac{300}{\text{e}^{0,18t} +5 }\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$.
On a $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} 0,18t = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{0,18t} = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}\dfrac{300}{\text{e}^{0,18t} +5 } = 0$, donc $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}f(t) = 67$.
		\item %Que peut-on en déduire pour la représentation graphique de la fonction $f$ ?
		Le résultat précédent signifie que la droite d'équation $y = 67$ est asymptote à la représentation graphique de la fonction $f$ au voisinage de plus l'infini.
	\end{enumerate} 
\item %Soit $f'$ la dérivée de la fonction $f$, définie sur $[0~;~+\infty[$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(t)$ et démontrer que pour tout réel $t$ positif ou nul : 
		
%\[f'(t) = \dfrac{54\text{e}^{0,18t}}{\left(\text{e}^{0,18t} + 5 \right)^2}\]
$f$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et 

$f'(t) = - \left(- \dfrac{300 \times 0,18\text{e}^{0,18t}}{\left(\text{e}^{0,18t} +5 \right)^2} \right) = \dfrac{54\text{e}^{0,18t}}{\left(\text{e}^{0,18t} +5 \right)^2}$.	 
		\item %Déterminer le signe de $f'(t)$.
Tous les termes du quotient sont supérieurs à zéro, donc $f'(t) > 0$ : la fonction est croissante sur $[0~;~+\infty[$ 
		\item %En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
La fonction est croissante de $f(0) = 67 - \dfrac{300}{6} = 67 - 50 = 17$ à 67.
	\end{enumerate}
\item~  %Recopier et compléter le tableau suivant (les valeurs de $f(t)$ seront arrondies à $0,1$ près) :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0	&3	&5	&8	&10	&12	&14		&17	&20		&24	&28\\ \hline
$f(t)$	&17	&22,3	&26,8	&34,5	&39,9	&45,1	&49,8	&55,6	&59,8	&63,3	&65,1\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
 
\item~ %Construire la courbe représentative $(\mathcal{C})$ de la fonction $f$ dans un repère orthogonal (unités graphiques : 1~cm pour 2~unités en abscisses et 1~ cm pour 10~ unités en ordonnées).

\medskip
\psset{xunit=0.45cm,yunit=0.1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(28,70)
\multido{\n=0+5}{6}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,68)}
\multido{\n=0+5}{15}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(28,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(28,70)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=2.5,labels=none]{->}(0,0)(28,70)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{28}{67 300 2.71828 0.18 x mul exp 5 add div sub}
\psline(0,67)(28,67)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(0,62.6)(23.03,62.6)(23.03,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Application}

\medskip
 
%Pour préserver l'environnement, les français trient depuis de nombreuses années leurs déchets, en particulier le verre. Le tableau suivant donne l'évolution depuis 1985 du taux de recyclage du verre en France exprimé en pourcentage:

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Année								&1985&1990&1995&1999&2005\\ \hline 
%Taux de recyclage du verre (en\,\%)	&16,7&26,8&39,5&49,7&59,7\\ \hline
%\multicolumn{6}{r}{\emph{Source INSEE}}
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
%On admet que la fonction $f$ de la partie A modélise de façon satisfaisante le taux (exprimé en pourcentage) de recyclage du verre en France lorsque $t$ représente le nombre d'années qui s'écoulent depuis l'année 1985 (année qui correspond donc à $t = 0$).
% 
%Répondre aux questions suivantes en utilisant la fonction $f$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer le taux de recyclage du verre en France pour l'année 2011 (on arrondira le résultat à $0,1$\,\% près).
2011 correspond à $t = 26$ et $f(26) \approx 64,3$~(\,\%). 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer par le calcul l'année ou le taux de recyclage du verre en France sera de $62,6$\,\%.
Il faut résoudre l'équation :

$f(t) = 62,6 \iff  67 - \dfrac{300}{\text{e}^{0,18t} +5 } = 62,6 \iff 4,4 = \dfrac{300}{\text{e}^{0,18t} +5 } \iff 4,4\left(\text{e}^{0,18t} +5\right) = 300 \iff 4,4\text{e}^{0,18t} + 22 = 300 \iff 4,4\text{e}^{0,18t} = 278 \iff \text{e}^{0,18t} = \dfrac{278}{4,4} \iff $ (par croissance de la fonction logarithme népérien) $ \ln \left(\dfrac{278}{4,4} \right)  = 0,18t \iff t = \dfrac{\ln \left(\frac{278}{4,4} \right)}{0,18} \approx 23,03$.

$t = 23$ correspond à 2008.
		\item %Vérifier graphiquement le résultat précédent, en faisant apparaître sur le graphique de la partie A les traits de construction utiles.
		On trace la droite d'équation $y = 64,3$ qui coupe la courbe en un point dont on trouve l'abscisse en le projetant sur l'axe des abscisses. Voir la figure ci-dessus
	\end{enumerate} 
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
%Selon le modèle précédent, le taux de recyclage du verre en France sera-t-il un jour de 70\,\% ? Justifier votre réponse.
La réponse est non puisque d'après ce modèle le pourcentage maximal est de 67\,\%.

Graphiquement : la droite d'équation $y = 70$ ne coupe pas la courbe représentative de $f$. 
\end{enumerate}
\end{document}