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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : Jean-Claude Souque
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\def\e{\text{e}}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL Biotechnologies}  
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2013}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~ Corrigé du baccalauréat STL Biotechnologies  Polynésie \decofourright\\ juin 2013}}
\end{center}

{\scriptsize

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
 
Le candidat doit traiter les quatre exercices. Il est invité à faire figurer sur la copie
toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
 
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour 
une part importante dans l'appréciation des copies. 

\vspace{0.25cm}
}
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\smallskip
{\footnotesize
\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au centième.}

\smallskip

On s'intéresse à la désintégration radioactive de l'iode 131. 

On désigne par $N_0$ le nombre d'atomes d'iode 131 à l'instant 0 et par $N$ le nombre d'atomes d'iode 131 à l'instant $t$ 

($t$ étant exprimé en jours).
 
Les mesures à différents instants de $\frac{N}{N_0}$ ont donné les résultats suivants: 

\smallskip

\renewcommand\arraystretch{1.3}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps $t$ (en jours)&0 	&2 &4 &6 	&8 		&10 &12 &14 &16 \\\hline		
$\frac{N}{N_0}$		& 1	&0,82 &0,69	&0,61 &0,49 &0,43 &0,36&0,30&0,26\\ 
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
}
\smallskip	

\begin{enumerate}					
\item  Complétons le tableau suivant: 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Temps $t$ (en jours)&	0 &	2 &	4 &	6 &	8 &	10 & 12 &14& 16 \\
 \hline									
z=$\ln\left(\frac{N}{N_0}\right)$&$0$&$-\np{0.20}$&$-\np{0.37}$&$-\np{0.49}$&$-\np{0.71}$&$-\np{0.84}$&$-\np{1.02}$&$-\np{1.20}$&$-\np{1.35}$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center} 									
\item Représentons le nuage de points de coordonnées $(t_i,z_i)$ dans le plan muni d'un repère orthogonal. 
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-1.51)(17.2,0.2)

\multido{\n=-1.5+0.1}{17}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(17,\n)}
\multido{\n=0+1}{18}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-1.5)(\n,0.1)}
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=0.1]{->}(0,0)(-0.5,-1.5)(17.2,0.15)
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=0.1](0,0)(-0.5,-1.51)(17.2,0.15)
\psdots[dotstyle=SolidSquare,dotscale=1.2,dotangle=45](0,0)(2,-0.2)(4,-0.37)(6,-0.49)(8,-0.71)(10,-0.84)(12,-1.02)(14,-1.20)(16,-1.35)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{0}{17}{ x 0.083796 neg  mul 0.0178 sub}
\psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.4,dotangle=45](8,-0.68667)
\uput[u](8,-0.68){G}\rput (15,-1.22){$\mathcal{D}$}
\uput[ur](0,0.12){$z$}\uput[u](17.1,0){$t$}
\end{pspicture}
\end{center}
%On prendra comme unités 1 cm pour 2 jours sur l'axe des abscisses et 10 cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées. 
\item  Soit $G$ le point moyen du nuage, calculons les coordonnées de $G$.
 Les coordonnées de G sont ($\overline{t}~;~\overline{z}$)
\[
\overline{t_G}=\frac{0+2+\dots+14+16}{9}=8 \quad \overline{z_G}=\frac{0-\np{0.20}-\np{0.37}-\dots-\np{1.35}}{9}\approx -\np{0.69}\]
G $\left( 8~;~-\np{0.69} \right)$ est placé  sur le graphique précédent.
\item À l'aide de la calculatrice, les coefficients étant arrondis  au centième, une équation de la droite $\mathcal{D}$ d'ajustement de $z$ en $t$ par la méthode des moindres carrés est $z=-\np{0.08}t-\np{0.02}$.
\item  $\mathcal{D}$ est tracée dans le repère précédent. 
\item  Nous savons que $z=\ln \frac{N}{N_0}$ par conséquent $\frac{N}{N_0}=\e^z $ et en remplaçant $z$ par sa valeur nous obtenons :

 pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[ $, $\frac{N}{N_0} = \e^{ -0,08t-0,02}$.
\item  Calculons le rapport $\frac{N}{N_0}$ au bout de 20 jours.  Remplaçons $t$ par 20 dans l'expression précédente. 

$\frac{N}{N_0}=\e^{-\np{0.08}\times 20-\np{0.02}}\approx \np{0.20}$
\item   La quantité initiale a été divisée par 10 lorsque $\frac{N}{N_0}=\np{0.1}$.  $z$ vaut alors $\ln \np{0.1}$.  Résolvons $\ln \np{0.1}=-\np{0.08}t-\np{0.02}$.

$t= \dfrac{\ln \np{0.1}+\np{0.02}}{-\np{0.08}}\approx \np{28.53}$.

Au bout de vingt neuf jours, la quantité initiale aura été divisée par 10. 

\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points}

 {\footnotesize
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des 
quatre réponses est exacte. 

Recopier le numéro de chaque question et préciser la réponse choisie. Aucune justification n'est 
demandée. 

Une réponse exacte rapporte 1 point; une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève 
aucun point. 
}

\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant ($N$ désigne un entier naturel) 
{\footnotesize
\begin{center}
\begin{minipage}{0.55\linewidth}
\begin{tabular}{|>{\itshape}l>{\itshape}l|}
\hline
Entrée :&  Saisir la valeur de N \\
Initialisation :& Affecter à i la valeur 0 \\
&Affecter à A la valeur 25 \\
Traitement :& Tant que i < N \\
&Affecter à i la valeur de i + 1 \\
&Affecter à A la valeur de 1,05 $\times$ A $-$ 0, 1 \\
&Fin Tant que \\
Sortie :&Afficher A \\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\end{center}
}
Pour $N = 4$, l'arrondi à $10^{-2}$ du nombre affiché est: 
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{a.}~~  26,15}&	\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{b.}~~ 28,63 } &\ovalbox{\textbf{c.}~~ 29,96}& \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{d.}~~ 30,82.}\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item L'ensemble des solutions dans ]0~;~$+\infty$[ de l'inéquation $(1-x)\ln x \leqslant 0$ est: 
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{a.}~~ ]0~;~1] } &\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{	\textbf{b.}~~ [l~;~$+\infty$[ }&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{c.}~~ ]0~;~\e]} &\ovalbox{ \textbf{d.}~~]0~;~$+\infty$[}.  \\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Soit $I=\displaystyle \int _0^1\left(\e^{2x}-x\right)\mathrm{d}x$.
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\ovalbox{\textbf{a.}~~ $I = \dfrac{\e^{2}-2}{2}$}  &	\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{b.}~~ $I=\dfrac{2-\e^{2}}{2}$} &\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{c.}~~ $I=\e^{2}-2$} &\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ \textbf{d.}~~ $I=\e^{2}-\dfrac{3}{2}$}.\\
\end{tabularx}
\end{enumerate} 

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\medskip

{\footnotesize 
\emph{Dans cet exercice, on appelle \og poids de naissance \fg, la masse, exprimée en grammes, d'un nouveau né.}

\emph{\textbf{Les résultats seront arrondis au centième pour les probabilités et à l'entier pour les poids de naissance donnés en grammes. \\
Les trois parties sont indépendantes. }}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie A }\end{center}

\smallskip

On s'intéresse au poids de naissance (exprimé en grammes) des enfants dans une région donnée. On note 
X la variable aléatoire qui, à un enfant choisi au hasard dans une maternité, associe son poids de 
naissance. On admet que X suit la loi normale d'espérance \np{3300} et d'écart type 600. 

\smallskip
}
On choisit un enfant au hasard dans cette maternité. 
\begin{enumerate}
\item 	Déterminons la probabilité que cet enfant ait un poids de naissance compris entre \np[g]{2700} et \np[g]{3900}.

Calculons, à l'aide de la calculatrice, $P(\np{2700}\leqslant X\leqslant \np{3900})$. 
$P(\np{2700}\leqslant X\leqslant \np{3900})\approx \np{0.68}$. 
\item 	 L'entier $h$ tel que $P(\np{3300}-h \leqslant  \text{X} \leqslant \np{3300}+h)$ soit égale à 0,95 à $10^{-2}$ près, correspond à 2 écarts type donc $h=\np{1200}$. 

\item 	La probabilité que cet enfant ait un poids de naissance inférieur à \np[g]{2100} est 

$P(X\leqslant 2100)\approx \np{0.02}$ 
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie B }\end{center}

\smallskip
{\footnotesize
Dans cette partie, on considèrera l'hypotrophie sévère qui concerne les enfants dont le poids de naissance 
est inférieur ou égal à \np[g]{2170}. On admet que la probabilité qu'un enfant choisi au hasard soit concerné par 
une hypotrophie sévère est égale à 0,03. 

Dans une maternité naissent 100 enfants par mois. Le nombre de naissances dans cette maternité est 
suffisamment important pour que le choix d'un enfant soit assimilé à un tirage avec remise. On appelle $Y$ 
la variable aléatoire qui, à un mois donné, associe le nombre d'enfants concernés par une hypotrophie 
sévère. }
\begin{enumerate}
\item La loi de probabilité de $Y$ est une loi binomiale car il s'agit d'une répétition de $100$ séries indépendantes  et identiques caractérisées par  deux issues (a une hypotrophie ou non) de probabilité respective  $\np{0.03}$ et $q=\np{0,97}$. 

 Nous avons donc une loi binomiale de paramètres (100;\ \np{0.03}) par conséquent $P(X=k)=\binom{100}{k}(\np{0.03})^k(\np{0.97})^{100-k}$
\item Déterminons la probabilité qu'au moins un enfant soit concerné par une hypotrophie sévère au cours d'un mois donné. Calculons $P(Y\geqslant 1)$.

$P(Y \geqslant  1)=1-P(Y = 0) = 1 - \np{0,97}^{100}\approx \np{0,95}$.
\end{enumerate} 

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie C} \end{center}

\smallskip
{\footnotesize
Dans une autre région, on s'intéresse à la proportion $p$ des enfants qui ont un poids de naissance compris 
entre \np[g]{2600} et \np[g]{4000}. 

En prenant un échantillon de 500 enfants nés dans cette région, on observe que 370 enfants ont un poids 
de naissance compris entre \np[g]{2600} et \np[g]{4000}. 
}

Donnons une estimation de $p$ par un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95\,\%.
 
La fréquence  observée $f$ est $\dfrac{370}{500}=\np{0.74}$
 
L'intervalle au niveau de confiance de 95 \,\% calculé à partir de la fréquence observée  $f$ est :

 $\Bigg[f -1,96 \sqrt{\dfrac{f (1- f )}{n}} , f - 1,96 \sqrt{\dfrac{f (1- f )}{n}})\Bigg]$
 $\Bigg[\np{0.74} -1,96 \sqrt{\dfrac{\np{0,74} (1- \np{0,74} )}{500}} , \np{0,74} +1,96 \sqrt{\dfrac{\np{0.74} (1- \np{0,74} )}{500}})\Bigg]\approx [\np{0,70}~;~\np{0,78}]$

La proportion $p$ appartient à l'intervalle [\np{0,70}~;~\np{0.78}]au niveau de confiance de  95\,\%.

%\newpage
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\medskip

\emph{Les deux premières parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. Plusieurs questions de la partie C peuvent être traitées de façon indépendante.} 

\smallskip

Lors de l'administration d'un analgésique au moyen d'une perfusion à débit continu, on désigne par  $y(t)$ la quantité (en $\mu$g) d'analgésique présente dans l'organisme d'un patient en fonction de l'instant $t$ 
(en min).

\smallskip

 On admet que $y$ est une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, solution de 
l'équation différentielle (E) suivante: $y^\prime + 0,14 y = 2$ où $y'$ est la fonction dérivée de $y$. 

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie A : Résolution de l'équation différentielle (E) }\end{center}

\begin{enumerate}
\item Résolvons l'équation différentielle (E). 

Les solutions de  l'équation différentielle $y'+ay=b$ sur  $\R$ sont les fonctions $y$ définies par  $y(x)=C\e^{-ax}+\dfrac{b}{a}$ où $C$ est une constante quelconque.

$a=\np{0.14}\ b=2$ par conséquent $y(t)=C \e^{-\np{0.14}t}+\dfrac{2}{\np{0.14}}$ où $C$ est une constante quelconque.
\item Déterminons la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, solution de l'équation différentielle (E) qui vérifie $f(0)=0$. 

$f(0)=C \e^{-\np{0.14}\times 0}+\dfrac{2}{\np{0.14}}=C +\dfrac{2}{\np{0.14}}=0$ d'où $C=-\dfrac{2}{\np{0.14}}\approx -\np{14.29}$.

Il en résulte $f(t)=-\np{14.29}\e^{-\np{0.14}t}+\np{14.29}$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie B : Étude d'une fonction \mathversion{bold}${f}$ }\end{center}

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par: 
\[f(t) = 14,29 \left(1 - \e^{-\np{0,14}t}\right) \]
On désigne par $C$ la courbe représentative de la fonction $f$  dans un repère orthogonal. 

On prendra comme unités 1 cm pour 2 min sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 1 $\mu$g sur l'axe des ordonnées. 
\begin{enumerate}
\item Déterminons $\displaystyle \lim_{t \to +\infty} f(t)$. Nous savons que $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \e^{-x}= 0$.

$\displaystyle \lim_{t \to +\infty} f(t)=\np{14,29}+\lim_{t \to +\infty}(-14,29\e^{-\np{0,14}t})=\np{14,29}$

 La droite $D$ d'équation $y = 14,29$ est asymptote à la courbe $C$ au voisinage de $+\infty$.
\item \begin{enumerate}
\item   Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $[0~;~+\infty[$. 

Montrons que pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, $f'(t) = 2,0006\e^{-0,14t}$. 

$f'(t) = \np{14.29}\left(   0-(-\np{0,14}\e^{-\np{0.14}t}\right)=\np{14,29}\times\np{0.14}\e^{-\np{0,14}t}=\np{2,0006}\e^{-\np{0,14}t}$
\item étudions le sens de variation de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.

 Pour tout $x\in \R,\ e^x>0 $ par conséquent  $f'(t) > 0$ pour tout $t \in [0~;~+\infty[$ comme produit de réels strictement positifs.

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est  strictement croissante sur $I$.  Il en résulte que $f$ est strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\item Déterminons une équation de la tangente $T$ à la courbe $C$ au point d'abscisse 0. 
 
L'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$ est $y=f^\prime(a)(x-a)+f(a)$.

 $f(0)= 0 \quad f^\prime (0)=\np{2,0006}\e^0=\np{2,0006}$

Une équation de la tangente $T$ à $C$ au point d'abscisse $0$ est $y=\np{2,0006}x$.  
 

\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  Complétons le tableau de valeurs suivant:  
	
 %\begin{center}
\begin{tabular}{|c|*{6}{>{\centering\arraybackslash}p{0.6cm}|}}
 \hline
$t$& 0& 5& 10& 15& 20 &30\\
\hline
$f(t)$&0 &\np{7.2}&10,8&\np{12.5}&\np{13.4}&\np{14.1}\\
\hline
 \end{tabular}
% \end{center}

{\scriptsize les	valeurs sont arrondies au dixième.} 

		\item Les droites $T$ et $D$ ainsi que la courbe représentative $C$  sont  tracés ci dessous dans un repère orthogonal. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(31,16)
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=2,Dy=1]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(31.5,15.5)
\multido{\n=0+1}{16}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(31,\n)}
\multido{\n=0+1}{32}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,15)}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0}{31}{ 1 2.71828 x 0.14 mul neg exp sub 14.29 mul}
\psline[linecolor=cyan,linewidth=0.7pt](0,14.29)(31,14.29)
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0}{5}{x 2.0006 mul}
\uput[u](30.2,0.1){t en min}\uput[ur](0.1,14.9){quantité  en $\mu g$}
\psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.4,dotangle=45](25,13.8585)
\psline[linecolor=green,linewidth=0.7pt](0,7.145)(4.95105,7.145)\psline[linecolor=green,linewidth=0.7pt](4.95105,0)(4.95105,7.145)
\uput[ul](0,7.145){$Q/2$}\uput[d](5.1,0){$\approx 5$}
\uput[ul](5,9.3){$T $} \uput[ur](30,14.3){$D$}\uput[dr](30,14.1){$C$}
\end{pspicture}
\end{center}

 \medskip
  
\begin{center}\textbf{Partie C : Exploitation des résultats de la partie B }\end{center}

La fonction $f$ étant la fonction définie dans la partie B, on admet que, pour tout $t$ de l'intervalle [0~;~30], 
$f(t)$ représente, à l'instant $t$, la quantité d'analgésique présente dans l'organisme au cours d'une perfusion. 

La quantité $Q = \np[\mu g]{14,29}$  s'appelle \og quantité d'analgésique à l'équilibre \fg. 
\begin{enumerate}
\item Cette quantité $Q$ peut-elle être atteinte ? Non, puisque cette quantité est la valeur limite au voisinage de l'infini. 
\item À l'aide de la courbe $C$, déterminons graphiquement le temps au bout duquel la quantité d'analgésique présente dans l'organisme du patient atteint la moitié de $Q$. Lisons l'abscisse du point d'intersection de  la courbe avec la droite  d'équation $y=\np{7.145}$. Nous lisons  approximativement 5. 
\item  Au bout de 25 minutes, la quantité d'analgésique est  d'environ $\np{13,86}\,\mu g $. $\dfrac{\np{13,86}}{\np{14,29}}\approx \np{0,97}$.

La quantité d'analgésique représente environ 97\,\%  de la quantité $Q$. 
\end{enumerate}
\end{document}


Résolvons $\e^{-0,08t-0,02}=\np{0.1}$
\begin{multicols}{2}
\begin{align*}
\e^{-0,08t-0,02}&=\np{0.1}\\
\dfrac{1}{\e^{\np{0.08}t+\np{0.02}}}&=\np{0.1}\\
 1&=\np{0.1}\times\e^{\np{0.08}t+\np{0.02}}\\
\end{align*}
\begin{align*}
\e^{\np{0.08}t+\np{0.02}}&=10\\
\np{0.08}t+\np{0.02}&=\ln 10 \\
t&=\dfrac{\ln 10-\np{0.02}}{\np{0.08}}\\ 
t&\approx \np{28.53}
\end{align*}
\end{multicols}

















