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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Métropole juin 2012~\decofourright\\[4pt]Chimie de laboratoire et de procédés industriels}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les solutions de l'équation différentielle $y'' + \omega^2y = 0$ sont les fonctions $x \longmapsto A \cos (\omega x) + B \sin (\omega x)$, avec $A$ et $B$ réels quelconques. Ici $\omega^2 = \frac{1}{4}$, donc réponse \textbf{c.}
\item On a E$(X) = 0 \times 0,12 + 2 \times 0,7 + 5 \times 0,18 = 1,4 + 0,9 = 2,3$ et l'écart-type est environ 1,42 : réponse \textbf{c.}
\item Il faut que $x + 3 > 0 \iff x > - 3$ et que $2x - 1 > 0 \iff x > \frac{1}{2}$, donc finalement que $x > \frac{1}{2}$.

L'équation est équivalente à $\ln (x + 3)(2x - 1) = \ln 9 \iff (x + 3)(2x - 1) =  9 \iff 2x^2 + 5x - 12 = 0$ ; $\Delta = 25 + 96 = 121 = 11^2$ ; il y a deux solutions $x_1 = \frac{- 5 + 11}{4} = \frac{3}{2}$ et $x_2 = \frac{- 5 - 11}{4} = - 4$. Comme $- 4$ n'est pas dans l'ensemble de définition la seule solution est $\frac{3}{2}$. Réponse \textbf{d.}
\item $I = \displaystyle\int_0^{\ln 2}\text{e}^{- x}\:\text{d}x = \left[- \text{e}^{- x}\right]_0^{\ln 2} = - \text{e}^{- \ln 2} + \text{e}^{0} = 1 - \frac{1}{\text{e}^{\ln 2}} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Réponse \textbf{b.}
\item Avec $u(x) = \text{e}^x + 1$, la dérivée de $f(x) = 2\ln u(x)$ est $f'(x) = 2u'(x) \times \dfrac{1}{u(x)} = \dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}$. Réponse \textbf{b.}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\Delta = 36 - 52 = - 16 = (4\text{i})^2$. Il y a donc deux racines complexes :

$z_1 = \dfrac{6 + 4\text{i}}{2} = 3 + 2\text{i}$ et  $z_2 = \dfrac{6 - 4\text{i}}{2} = 3 - 2\text{i}$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item $P(1) =  1 - 7 + 19 - 13 = 20 - 20 = 0$ ; 1 est donc racine de $P$.
		\item $P(z) = (z - 1)\left(az^2 + bz + c\right) = az^3 + bz^2 + cz - az^2 - bz - c =$
		
$az^3 + z^2(b - a) + z(c  - b) - c = z^3 - 7z^2 + 19z - 13$.
		
Par identification on a donc le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
a		&=&1\\
b - a 	&=& - 7\\
c - b	&=&19\\
- c		&=&- 13
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
a&=&1\\
b - 1 	&=& - 7\\
13 - b	&=&19\\
c		&=&13
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
a		&=&1\\
b 		&=& - 6\\
13 - b	&=&19\\
c		&=&13
\end{array}\right.$

On a donc $P(z) = (z - 1)\left(z^2 - 6z + 13\right)$. 
		\item	$P(z) = 0 \iff 	(z - 1)\left(z^2 - 6z + 13\right) \iff \left\{\begin{array}{l c l}
z - 1			&=&0\\
z^2 - 6z + 13	&=&0
\end{array}\right.$, soit d'après la question \textbf{1.} :

\[S = \{3 - 2\text{i}~;~3 + 2\text{i}~;~1\}\] 
\end{enumerate}
 
\item Voir à la fin de l'exercice
\item
	\begin{enumerate}
		\item On a AB$^2 = (3 - 3)^2 + (- 2 - 2)^2 = 16$ ; donc AB $ = 4$ ;
		
AC$^2 = (1 - 3)^2 + (0 - 2)^2 = 4  + 4 = 8$ ; donc AC $ = \sqrt{8}$ ;

BC$^2 =  (1 - 3)^2 + (0 + 2)^2 = 4  + 4 = 8$ ; donc AC $ = \sqrt{8}$.

$\sqrt{8} = \sqrt{8} \iff \text{AC} = \text{BC}$ montre que ABC est isocèle en C ;

$8 + 8 = 16 \iff \text{AC}^2 + \text{BC}^2 = \text{AB}^2$ montre d'après la réciproque du théorème de Pythagore que ABC est rectangle en C.		
		\item Soit 	D$(x~;~y)$ le point tel que ABCD est un parallélogramme  ; le milieu de [AC] est donc le même que celui de [BD], d'où :
		
$\left\{\begin{array}{l c l}
\dfrac{3 + 1}{2}&=&\dfrac{3 + x}{2}\\
\dfrac{2 + 0}{2}&=&\dfrac{- 2 + y}{2}
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
4	&=&3 + x\\
2	&=&- 2 + y
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
1	&=&x\\
4	&=& y
\end{array}\right.$

D$(1~;~- 4)$. 
	\end{enumerate} 
\item 
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-3)(4,4.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1,-3)(4,4.5)
\psdots(3,2)(3,-2)(1,0)(1,4)
\uput[r](3,2){A}\uput[r](3,-2){B}\uput[ul](1,0){C}\uput[dl](0,0){O}
\uput[l](1,4){D}
\pspolygon(3,2)(3,-2)(1,0)
\psline(1,0)(1,4)(3,2)
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip

\[f(x) = (- 2x + 6)\text{e}^{- 0,5x}\]

\begin{center}
\textbf{Partie A\\Interprétations graphiques}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item $f$ semble être décroissante sur $]- \infty~;~5]$, puis croissante sur $[5~;~+ \infty[$.
\item Sur $]- \infty~;~3[$, \: $f(x) > 0$ ;

Sur $]3~;~+ \infty[$,\:$f(x) < 0$ ;

$f(3) = 0$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} - 0,5x = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\text{e}^{- 0,5x}  = + \infty$.

$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} (- 2x + 6) = + \infty$ donc par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item $f(x) = - 2x\text{e}^{- 0,5x} + 6\text{e}^{- 0,5x}$.
		
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\text{e}^{- 0,5x} = 0$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{- 0,5x} = 0$, donc par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = 0$.
		\item Le résultat précédent montre que l'axe des abscisses est asymptote horizontale à $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini.	 
	\end{enumerate}
 
\item
	\begin{enumerate}
		\item On dérive $f$ comme un produit : pour tout réel 
		
		$f'(x) = - 2\text{e}^{- 0,5x} + (- 2x + 6) \times (- 0,5)\text{e}^{- 0,5x} = \text{e}^{- 0,5x}[- 2 + x - 3] = (x - 5)\text{e}^{- 0,5x}$.
		\item On sait que quel que soit $x \in \R, \:\: \text{e}^{- 0,5x} > 0$, donc le signe de $f'(x)$ est celui de $x - 5$.
		
$\bullet~~$ si $x > 5,\: f'(x) > 0$ : la fonction $f$ est croissante sur $]5~;~+ \infty[$ ;

$\bullet~~$ si $x < 5,\: f'(x) < 0$ : la fonction $f$ est décroissante sur $]- \infty~;~5 [$ ;

$\bullet~~$ est le minimum de la fonction $f$ sur $\R$.		 
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Les résultats précédents confirment bien les interprétations graphiques de la partie A.
		\item $f(5) = (- 10 + 6)\text{e}^{- 2,5} = - 4\text{e}^{- 2,5} \approx - 0,328$			
		\item Dans $\R$, \: $f(x) = 0 \iff (- 2x + 6)\text{e}^{- 0,5x} = 0 \iff (- 2x + 6) = 0 \iff 6 = 2x \iff 3 = x$, (car $\text{e}^{- 0,5x} > 0$). La fonction $f$ ne s'annule que pour $x = 3$.	 
	\end{enumerate} 
\item Les résultats précédents confirment bien les interprétations graphiques de la partie A.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie C}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Voir à la fin du problème.
\item $F(x) = (4x - 4)\text{e}^{-0,5x}$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle :

$F'(x) = 4\text{e}^{- 0,5x} + (4x - 4) \times (- 0,5)\text{e}^{- 0,5x} = \text{e}^{- 0,5x}(4 - 2x + 2) = (- 2x + 6)\text{e}^{- 0,5x}  = f(x)$, donc $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
\item On a vu que sur [1~;~3], $f$ est positive, donc l'aire de la la portion de plan $\mathcal{P}$ comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 3$ est en unité d'aire égale à l'intégrale :

$\displaystyle\int_1^3 f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_1^3 = F(3) - F(1) = (4\times 3 - 4)\text{e}^{-0,5\times 3} - (4\times 1 - 4)\text{e}^{-0,5\times 1} = 8\text{e}^{-1,5} - 0 = 8\text{e}^{-1,5}$~(u. a.) soit environ 1,79~u.a.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(10,12)
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}
\psline(1,0)(1,2.4)
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\end{pspicture}
\end{center} 
\end{document}