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%tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du Baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de  procédés industriels}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL  Antilles--Guyane~\decofourright\\[4pt]juin 2008 Chimie de laboratoire et de  procédés industriels}} \end{center}
    
\vspace{0,4cm}

%Calculatrice et formulaire autorisés \hfill 3 heures 
%
%\vspace{0,4cm}
%
%\begin{center}
%
%Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4
%
%\end{center}
%
%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 1~cm).
%
%On considère trois points A, B et C d'affixes respectives : 
%
%\[z_{\text{A}} = 6\text{e}^{\frac{\text{i}\pi}{6}}\quad ;\quad  	z_{\text{B}} = 4\text{e}^{-\frac{\text{i}\pi}{2}}\quad ;  \quad z_{\text{C}} = 5\sqrt{3} - 5\text{i}.\] 

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $z_{\text{A}} = 3\sqrt{3} + 3\text{i}$  et écrire   $z_{\text{B}}$ sous forme algébrique.
$z_{\text{A}} = 6\left( \cos \frac{\pi}{6} + \text{i}\sin \frac{\pi}{6}\right) = 6\left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\frac{1}{2}\right) = 3\sqrt{3} + 3\text{i}$.

$z_{\text{B}} = 4\text{e}^{-\frac{\text{i}\pi}{2}} = 4\left(\cos \frac{- \pi}{2} + \text{i}\sin \frac{- \pi}{2} \right) = 4\left(-1\text{i} \right) = - 4\text{i}$. 
\item %Déterminer la forme trigonométrique de $z_{\text{C}}$.
$z_{\text{C}} = 5\sqrt{3} - 5\text{i} = 10 \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \text{i}\frac{1}{2} \right) = 10 \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\frac{-1}{2} \right) = 10\left(\cos \frac{-\pi}{6} + \text{i}\sin \frac{-\pi}{6}\right)$.
\item %Placer les points A, B et C sur une figure.
On place A avec le cercle centré en O de rayon 6 et la droite d'équation $y = 3$.

B se place facilement sur l'axe des imaginaires.

C se place avec le cercle centré en O de rayon 10 et la droite d'équation $y = -5$. 
\item %\emph{Dans cette question toute trace de recherche même incomplète ou d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%Quelle est la nature du triangle ABC ?
AB$^2  = \left|z_{\text{B}} - z_{\text{A}}\right|^2 = - 3\sqrt{3} - 7\text{i}|^2 = 27 + 49 = 76$.

AC$^2  = \left|z_{\text{C}} - z_{\text{A}}\right|^2 = 2\sqrt{3} - 8\text{i}|^2 = 12 + 64 = 76$.

BC$^2 = \left|z_{\text{C}} - z_{\text{B}}\right|^2 = 5\sqrt{3} - \text{i}|^2 = 75 + 1 = 76$.

On a donc AB$^2 = \text{AC}^2 = \text{BC}^2 \iff \text{AB} = \text{AC} = \text{BC}\iff $ ABC est un triangle équilatéral.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=0.3cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-10,-10)(10,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-10,-10)(10,10)
\uput[dl](0,0){O}
\pscircle(0,0){6}\pscircle(0,0){10}
\psline[linestyle=dashed](0,3)(6,3)\psline[linestyle=dashed](0,-5)(10,-5)
\psdots(5.196,3)(0,-4)(8.66,-5)
\uput[ur](5.196,3){A} \uput[ul](0,-4){B}\uput[dr](8.66,-5){C}
\pspolygon[linewidth=1.25pt](5.196,3)(0,-4)(8.66,-5)
\end{pspicture}
\end{center}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

%On considère deux  urnes notées respectivement U et V.
% 
%L'urne U contient trois boules marquées respectivement : 0, 1 et 2.
%
%L'urne V contient quatre boules marquées respectivement : 0, 1, 2 et 3. 
% 
%Ces boules sont indiscernables au toucher. 
% 
%Une expérience aléatoire consiste à tirer au hasard une boule de l'urne U puis une boule de l'urne V.
% 
%On considère que tous les tirages de ces deux boules sont équiprobables. 

\begin{enumerate}
\item

	\begin{enumerate}
		\item~ %Représenter tous les tirages possibles dans un tableau à double entrée.
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\backslashbox{Tirage 1}{Tirage 2}&0&1&2&3\\
\hline
0&00&01&02&03\\ \hline
1&10&11&12&13\\ \hline
2&20&21&22&23\\ \hline
\end{tabularx}		 
		\item %Montrer que la probabilité d'obtenir deux boules portant le même nombre est égale à $\dfrac{1}{4}$.
Trois cas favorables sur 12 : 00, 11, 22, donc une probabilité de $\dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$.
	\end{enumerate} 
\item %Un jeu consiste à tirer au hasard une boule de l'urne U, puis une boule de l'urne V.

%Le joueur doit miser 1~\euro.
  
%L'organisateur du jeu remet alors au joueur un montant (en \euro) égal au produit des deux nombres figurant sur les deux boules tirées (ce montant peut être nul).
% 
%On appelle $X$ la variable aléaloire qui, à chaque jeu, associe le gain algébrique (c'est-à-dire positif, nul ou négatif) du joueur.
% 
%Par exemple, si le joueur tire 2 dans l'urne U, puis 3 dans l'urne V, le gain algébrique du joueur est alors 5 ; si le joueur tire 0 dans l'urne U, puis 2 dans l'urne V, le gain algébrique du joueur est alors $- 1$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire $X$.
$X \in \{-1~;~0~;~1~;~2~;~3~;~5  \}$ 
		\item~ %Présenter dans un tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$X$&$-1$&0&1&2&3&5\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$p(X = x_{i})$&$\dfrac{6}{12}$&$\dfrac{1}{12}$&$\dfrac{2}{12}$&$\dfrac{1}{12}$&$\dfrac{1}{12}$&$\dfrac{1}{12}$\\ \hline
\end{tabularx} 
		\item %Calculer la probabilité que le gain du joueur soit strictement supérieur à 2.
		Il faut gagner 3 ou 4~\euro, donc la probabilité est égale à $\dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}$. 
		\item %On note E($X$) l'espérance mathèmatique de la variable aléatoire $X$. Calculer E($X$).
		
E($X) = -1 \times \dfrac{6}{12} + 0 \times \dfrac{1}{12}+ 1 \times \dfrac{2}{12}+ 2 \times \dfrac{2}{12}+ 3 \times \dfrac{1}{12}+ 5 \times \dfrac{1}{12} = \dfrac{-6 + 2 + 4 + 3 + 5}{12} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$.
%On dit qu'un jeu est équitable si l'espérance de gain est nulle. Ce jeu est-il équitable ?

L'espérance de gain est positive, donc le jeu est favorable au joueur. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points} 

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels  par 
%
%\[f(x) = \left(- x + \dfrac{7}{4} \right)\text{e}^{2x}\]
%
%On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un  repère orthonormal \Oij{} (unités graphiques : 2~cm sur l'axe des abscisses, 1~cm sur l'axe des ordonnées).
%
%\bigskip
 
\textbf{Partie I}

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} - x + \dfrac{7}{4} = - \infty$ et   
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{2x} = + \infty$, donc par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que, pour tout nombre réel $x,~f(x) = \left(- x\text{e}^x + \dfrac{7}{4}\text{e}^x\right)\text{e}^x$.
On factorise  $ \left(- x\text{e}^x + \dfrac{7}{4}\text{e}^x\right)\text{e}^x  = \text{e}^x\left(- x + \dfrac{7}{4}\right)\text{e}^x = \left(- x + \dfrac{7}{4}\right)\text{e}^{2x} = f(x).$		 
		\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$. En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet pour asymptote une droite $\mathcal{D}$. Donner une équation de cette droite $\mathcal{D}$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x = 0$ donc par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$.

Graphiquement ce résultat signifie que l'axe des abscisses d'équation $y = 0$ est asymptote à $\mathcal{C}$ au voisinage de moins l'infini.
 
		\item %Calculer $f\left(\dfrac{7}{4}\right)$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
$f\left(\dfrac{7}{4}\right) = \left(- \dfrac{7}{4} + \dfrac{7}{4} \right)\text{e}^{\frac{7}{4}} = 0$.

Ceci signifie que la courbe $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses pour $x  = \dfrac{7}{4}$.
	\end{enumerate}
\item %On note $f'$ la  fonction dérivée de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que pour tout nombre réel $x,~ f'(x) =  \left(- 2x + \dfrac{5}{2}\right)\text{e}^{2x}$.
		$ f$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = -1\text{e}^{2x} + 2\left(- x + \dfrac{7}{4} \right)\text{e}^{2x} = \left(- 2x + \dfrac{5}{2} \right)\text{e}^{2x}$. 
		\item  %Étudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
Comme $\text{e}^{2x} > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de $f'(x)$ est celui de la différence $- 2x + \dfrac{5}{2}$.

$- 2x + \dfrac{5}{2} > 0 \iff \dfrac{5}{2} > 2x \iff \dfrac{5}{4} > x \iff x < \dfrac{5}{4}$.

Donc $f'(x) > 0$ sur $\left]- \infty~;~\dfrac{5}{4}\right[$ et de m\^eme $f'(x) < 0$ sur $\left]\dfrac{5}{4}~;~+ \infty\right[$.
	\end{enumerate} 
\item %Établir le tableau  de variations de la fonction $f$. On reportera dans ce tableau les limites et la valeur du maximum.
On en déduit donc le tableau de variations de la fonction avec un maximum en $x = \dfrac{5}{4}$ qui est égal à $f\left(\dfrac{5}{4} \right) =  \left(- \dfrac{5}{4} + \dfrac{7}{4} \right)\text{e}^{2\times \frac{5}{4}} =  \left(\dfrac{1}{2}\right)\text{e}^{\frac{5}{2}} \approx 6,09$.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,2)(8,2) \psline(0,2.5)(8,2.5)
\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$}  \uput[u](2.4,2.5){$- \infty$}  \uput[u](5,2.4){$\frac{5}{4}$}  \uput[u](7.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$}\rput(3.5,2.25){+} \rput(5,2.25){$0$} \rput(6.5,2.25){$-$}
\rput(1,1){$f(x)$}\uput[d](5,2){$\left(\frac{1}{2}\right)\text{e}^{\frac{5}{2}}$}\rput(6.5,1){$0$} \uput[u](6.5,2.4){$\frac{7}{4}$}
\psline{->}(2.5,0.5)(4.5,1.5) \psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.5)
\uput[u](7.5,0){$- \infty$}  \uput[u](2.1,0){$0$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item %On note $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.
 
%Donner le coefficient directeur de la droite $\mathcal{T}$.
Le coefficient directeur de la tangente  $\mathcal{T}$ est égal au nombre dérivé 

$f'(0) = \left(- 2 \times 0 + \dfrac{5}{2} \right)\text{e}^{2 \times 0} = \dfrac{5}{2}$
\item %Construire la tangente $\mathcal{T}$ et la courbe $\mathcal{C}$.
Voir à la fin.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie II} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item %On note $F$ la  fonction définie sur $\R$ par 

%\[F(x) =  \left(- \dfrac{x}{2} + \dfrac{9}{8}\right)\text{e}^{2x}.\]
 
%On note $F'$ la fonction dérivée de la fonction $F$. 

%Calculer $F'(x)$.
$F$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle :

$F'(x) = - \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} + 2\left(- \dfrac{x}{2} + \dfrac{9}{8}\right)\text{e}^{2x} = \left(- \dfrac{1}{2} - 2x + \dfrac{9}{4} \right) \text{e}^{2x} = \left(- x + \dfrac{7}{4}\right)\text{e}^{2x} = f(x)$.

On a $'(x) = f(x)$, donc $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
%Que peut-on en déduire pour la fonction $F$ ? 
\item %On note $\mathcal{D}$ le domaine limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, les droites d'équations respectives $x = 0$  et $x = \dfrac{7}{4}$.
 
	\begin{enumerate}
		\item  %Hachurer $\mathcal{D}$ sur le graphique représentant la tangente $\mathcal{T}$ et la courbe $\mathcal{C}$.
Voir à la fin. 
		\item  %Calculer l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, du domaine $\mathcal{D}$. En donner la valeur arrondie au centième.
Le tableau de variations montre que sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{7}{4}\right],~f(x) \geqslant 0$. Donc l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, est égale à l'intégrale :

$\displaystyle\int_{0}^{\frac{7}{4}} f(x) \:\text{d}x = \left[F(x)  \right]_{0}^{\frac{7}{4}} = F\left(\frac{7}{4} \right) - F(0) = \left(- \dfrac{\frac{7}{4}}{2} + \dfrac{9}{8}\right)\text{e}^{2 \times \frac{7}{4}} - \left[\left(- \dfrac{0}{2} + \dfrac{9}{8}\right)\text{e}^{2 \times 0}  \right] = \left(- \frac{7}{8} + \frac{9}{8} \right)\text{e}^{ \frac{7}{2}} - \dfrac{9}{8} = \dfrac{1}{4}\text{e}^{ \frac{7}{2}} - \dfrac{9}{8}$~(u. a.)

Comme une unité d'aire est égale à $2 \times 1 = 2$~cm$^2$, on a :

$\mathcal{A} = 2\left[\dfrac{1}{4}\text{e}^{ \frac{7}{2}} - \dfrac{9}{8}  \right] = \dfrac{1}{2}\text{e}^{ \frac{7}{2}} - \dfrac{9}{4} \approx 14,31$~cm$^2$.		 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\psset{xunit=1.8cm,yunit=0.9cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-7)(3,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-7)(3,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\uput[u](3,0){$x$}\uput[r](0,7){$y$}\uput[dl](0,0){$0$}
\psplot{-1}{1}{2.5 x mul 1.75 add}\uput[dr](-1,-0.8){$\mathcal{T}$}
\uput[r](2,-6.8){\blue $\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{1.905}{1.75 x sub 2.71828 x 2 mul exp mul}
\multido{\n=-3+0.5}{13}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-7)(\n,7)}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.75}{1.75 x sub 2.71828 x 2 mul exp mul}
\psline(1.75,0)(0,0)
}

\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}