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%tapuscrit : Denis Vergès Merci à Roger Queille pour le sujet
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Antilles}}
\rfoot{\small{17 juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Antilles 17 juin 2010~\decofourright\\[4pt] Chimie de laboratoire et de procédés industriels}} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer les deux nombres complexes $z$ et $z'$ tels que : $\left\{\begin{array}{l c l}
%3z - z'&=&4\sqrt{3}\\ 
%z + z' &=& 4\text{i}
%\end{array}\right.$. 
Par somme on obtient $4z = 4\sqrt{3} + 4\text{i} \iff z = \sqrt{3} + \text{i}$, puis la seconde équation donne $z' = 4\text{i} - z = 4\text{i} - \sqrt{3} - \text{i} = - \sqrt{3} + 3\text{i}$.
\item  %On considère les nombres complexes $z_{1},~z_{2},~z_{3}$ donnés par
%: 

%\[z_{1} =  \sqrt{3} + \text{i}, \quad z_{2} = - \sqrt{3} + 3\text{i}, \quad z_{3} = \dfrac{z_{2}}{z_{1}}.\]
On remarque que $z_{1}$ et $z_{2}$ sont les deux solutions du système ci-dessus.

	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_{1},~z_{2},~z_{3}$.
$\bullet~$On a $\left|z_{1} \right|^2 = 3 + 1 = 4 \iff \left|z_{1} \right| = 2$.

Donc $z_{1} = 2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i} \right) = 2 \left(\cos \frac{\pi}{6} + \text{i}\sin \frac{\pi}{6} \right)$.

Un argument de $z_{1}$ est $\dfrac{\pi}{6}$.

$\bullet~$De même $\left|z_{2} \right|^2 = 9 + 3 = 12 \iff \left|z_{2} \right| = 2\sqrt{3}.$

On peut donc écrire $z_{2} = 2\sqrt{3}\left(- \dfrac{1}{2} + \text{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2\sqrt{3}\left(\cos \frac{2\pi}{3} + \text{i}\sin   \frac{2\pi}{3} \right)$.

Un argument de $z_{2}$ est $\dfrac{2\pi}{3}$.

$\bullet~$ $\left|z_{3}\right| = \dfrac{\left|z_{2} \right|}{\left|z_{1} \right|} = \sqrt{3}$.

De plus arg $z_{3} = \text{arg}~z_{2} - \text{arg}z_{1} = \dfrac{2\pi}{3} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{4\pi}{6} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}$. 
		\item %Déterminer la forme algébrique de $z_{3}$.
De la question précédente on en déduit avec l'écriture exponentielle que 

$z_{3} = \dfrac{- \sqrt{3} + 3\text{i}}{\sqrt{3} + \text{i}} = \sqrt{3}\text{i}$ tout simplement. 
	\end{enumerate} 
\item %Le plan complexe est rapporté à un repère \Ouv. On prendra pour unité graphique 2~cm.
 
	\begin{enumerate}
		\item %Placer les points A et B d'affixes respectives $z_{1}$ et $z_{2}$.
Voir à la fin. 
		\item %Montrer que OAB est un triangle rectangle.
$\bullet~$ D'après la question 2., $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}\right) = \text{arg} z_{\text{B}} - \text{arg} z_{\text{A}} = \dfrac{2\pi}{3} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}$. Le triangle OAB est donc rectangle en O.

$\bullet~$ Autre méthode : on peut aussi utiliser la réciproque du théorème de Pythagore. 
		\item %Déterminer l'affixe du milieu K du segment [AB].
On a K$(0~;~2)$. 
		\item %On note C le point d'affixe $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}z_{3}$.

$z_{\text{C}} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}z_{3} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3} \times \sqrt{3}\text{i} = 4\text{i}$. On a donc C(0~;~4).
 		
%Démontrer que les points O, A, B et C appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
On sait déjà que K est équidistant de A et de B. Comme AB$^2
 = \left(-\sqrt{3} - \sqrt{3} \right)^2 + (3 - 1)^2 = 12 + 4 = 16 = 4^2$, AB = 4 et KA = KB = 2.
 
Il est évident que KO = KC = 2.

Conclusion le point K est équidistant des quatre points O, A, B et C. Ces quatre points appartiennent au cercle de centre K et de rayon 2. 
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-4,-0.5)(4,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-0.5)(4,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\uput[dl](0,0){O}
\pscircle(0,2){2}
\pspolygon(0,0)(1.732,1)(-1.732,3)
\uput[dl](0,0){O} \uput[dr](1.732,1){A} \uput[ul](-1.732,3){B} \uput[ur](0,4){C} \uput[ur](0,2){K} 
\end{pspicture}
\end{center}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 6 points}

\medskip
 
%On estime que les émissions mondiales de CO$_{2}$ se sont élevées en l'an 2000 à 6,8~milliards de tonnes, et que, depuis, l'augmentation de ces émissions est chaque année de 3\:\%.
 
\begin{enumerate}
\item %On note $E_{0}$ la quantité de CO$_{2}$ émise en l'an 2000 et, pour $n$ entier naturel, $E_{n}$ la quantité émise en  l'an $2000 + n$. Justifier que, selon le modèle envisagé, on peut estimer $E_{n}$ par l'égalité : 

%\[E_{n} = 6,8 \times 1,03^n.\]
Au départ l'émission est de 6,8~milliards de tonnes et chaque année cette émission est augmentée de 3\:\%, donc est multipliée par $1,03$.

La suite des émissions est donc une suite géométrique de premier terme $E_{0} = 6,8$ et de raison $1,03$.

Quel que soit le naturel $n$, on a donc pour l'année $2000 + n$ :

\[E_{n} = 6,8 \times 1,03^n.\] 
\item %Selon ce modèle, quelle quantité de CO$_{2}$ serait-elle émise en 2010 ? On donnera le résultat, exprimé en milliards de tonnes, arrondi au dixième.
2010 correspond à $n = 10$ et $E_{10} = 6,8 \times 1,03^{10} \approx 9,1$~milliards de tonnes.	
\item %Quelle serait, selon le modèle envisagé, la somme des émissions produites entre le 1\up{er} janvier 2000  et le 31 décembre 2010 ?
Du  1\up{er} janvier 2000  au 31 décembre 2010, il se sera écoulé $11$ années. Il faut donc calculer :

\[S_{0} + S_{1} + \cdots + E_{11} = 6,8 \times \dfrac{1,03^{11} - 1}{1,03 - 1} \approx 87,1.\]

\item %Toujours selon le modèle envisagé, en quelle année la production de CO$_{2}$ atteindrait-elle le double de ce qu'elle fut en 2000 ?
Il faut résoudre l'inéquation : $6,8 \times 1,03^n \geqslant 2 \times 6,8 \iff 1,03^n \geqslant 2$.

La calculatrice donne $n \geqslant 24$. Réponse : 2024.

Autre méthode : 

$1,03^n \geqslant 2 \iff n \ln 1,03 \geqslant \ln 2 \iff n \geqslant \dfrac{\ln 2}{\ln 1,03} \iff n \geqslant 23,44.$ 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 8 points}

%\medskip

%Le plan est rapporté au repère orthonormal \Oij. On prendra pour unité graphique 2~cm.

%On note H le point de coordonnées $(\ln 3~;~\ln 3)$.

\medskip
 
%On se propose à présent d'étudier la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 

%\[f(x) = x + 2 - \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}.\]
  

\begin{enumerate}
\item %Vérifier, pour tout $x$ réel, l'égalité : $f(x) = x - 2 + \dfrac{12}{\text{e}^x + 3}.$ 
On peut écrire  $f(x) = x - 2 + 2 + 2 - \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 3} = x - 2 + 4 - \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 3} = x - 2 + \dfrac{4\left(\text{e}^x + 3  \right) - 4\text{e}^x}{\text{e}^x + 3} =$

$ x - 2 + \dfrac{12}{\text{e}^x + 3}$.
\item %Déterminer les limites de la fonction $f$ en $+\infty$ et en $- \infty$.
$\bullet~$ Limite en $+ \infty$ : en utilisant l'écriture précédente, $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{12}{\text{e}^x + 3} = 0$ et comme  

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} (x - 2) = + \infty$, ~$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.

$\bullet~$ Limite en $- \infty$ On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \dfrac{12}{\text{e}^x + 3} = 4$ (car $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} et \text{e}^x = 0$), et comme $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} (x- 2) = - \infty$, on a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$.
\item %Démontrer que les droites $D_{1}$ d'équation $y = x - 2$ et $D_{2}$ d'équation $y = x + 2$ sont asymptotes à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ courbe représentative de la fonction $f$.
Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = f(x) - (x - 2) = \dfrac{12}{\text{e}^x + 3}$. Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{12}{\text{e}^x + 3} = 0$,

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) - (x - 2) = 0$, ce qui signifie que la droite $D_{1}$ est asymptote à $\mathcal{C}_{f}$ au voisinage de plus l'infini.

De même soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = f(x) - (x + 2) = -\dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 3} = 0$, $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) - (x + 2) = 0$, ce qui signifie que la droite $D_{2}$ d'équation $y = x + 2$ est asymptote à $\mathcal{C}_{f}$ au voisinage de moins  l'infini.  
\item %Préciser les positions relatives de $\mathcal{C}_{f}$ et des droites $D_{1}$ et $D_{2}$.
On a $g(x) = \dfrac{12}{\text{e}^x + 3}$ qui est une fonction positive : on a donc $f(x) - (x - 2) > 0 \iff f(x) > x - 2$, ce qui signifie que $\mathcal{C}_{f}$ est au dessus de $D_{1}$.

De même $h(x) = -\dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}$ : cette fonction est négative : on a donc $f(x)  - (x - 2) < 0 \iff $

$f(x) < x - 2$ ce qui signifie que $\mathcal{C}_{f}$ est au dessous de $D_{2}$.
\item %Montrer que, pour tout réel $x$ : 

%\[f'(x) = \dfrac{\left(\text{e}^x - 3 \right)^2}{\left(\text{e}^x + 3 \right)^2}.\]
En partant de $f(x) = x - 2 + \dfrac{12}{\text{e}^x + 3}$ et en dérivant chaque terme, le dernier étant de la forme $\dfrac{1}{u}$ qui a pour dérivée $- \dfrac{u'}{u^2}$ :

$f'(x) = 1 - 12\dfrac{\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 3 \right)^2} = \dfrac{\left(\text{e}^x + 3 \right)^2 - 12\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 3 \right)^2} = \dfrac{\text{e}^{2x} + 9 - 6\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 3 \right)^2} =  \dfrac{\left(\text{e}^x - 3 \right)^2}{\left(\text{e}^x + 3 \right)^2}$.

%Présenter le tableau de variation de $f$.
$f'(x)$ est un carré donc un nombre positif : la fonction $f$ est croissante sur $\R$ de moins l'infini à plus l'infini. 
\item %Montrer que H est un point de $\mathcal{C}_{f}$. Tracer sur un même graphique la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et les droites $D_{1}$ et $D_{2}$ ainsi que la tangente en H à $\mathcal{C}_{f}$.
Soit $f(\ln 3) =  \ln 3 + 2 - \dfrac{4\text{e}^{\ln 3}}{\text{e}^{\ln 3} + 3} = 
\ln 3 + 2 - \dfrac{12}{3 + 3} = \ln 3 + 2 - 2 = \ln 3$.

Conclusion H$(\ln 3~;~\ln 3) \in \mathcal{C}_{f}$.

On a $f'(\ln 3) = \left(\dfrac{\text{e}^{\ln 3} - 3}{\text{e}^{\ln 3} + 3}  \right)^2 = \left(\dfrac{3 - 3}{3 + 3}  \right)^2 = 0$. La tangente en H est horizontale.

Graphique : plus bas.
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution, qu'on notera $x_{0}$, sur $\R$. Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de cette solution. 
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires : on a vu que la fonction $f$ est croissante de moins l'infini à plus l'infini sur $\R$ : il existe donc un réel unique $x_{0}$ tel que

 $f\left(x_{0}\right) = 0$.

La calculatrice donne : $f(- 2) \approx -0,17$ et $f(- 1) \approx 0,56$, donc : $-2 < x_{0}< -1$, puis :

$f(- 1,8) \approx -0,009$ et $f(- 1,7) \approx 0,07$, donc : $- 1,8 < x_{0}< -1,7$, puis :

$f(- 1,79) \approx \np{-0,0009}$ et $f(- 1,78) \approx 0,007$, donc : $-1,79 < x_{0}< - 1,78$, la valeur la plus proche étant donc $-1,79$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-2)(8,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.3pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-4,-2)(8,7) 
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\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}