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\begin{document}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Métropole septembre 2006~\decofourright\\[4pt]Chimie de laboratoire et de procédés industriels}} 
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice autorisée \hfill 3 heures 

Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

Soit (E) l'équation différentielle $y''+ 4y = 0$, où $y$ est une fonction deux fois dérivable de la variable réelle $x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Résoudre l'équation différentielle (E).
On sait que les solutions sont de la forme :

$f(x) = A \cos 2x + B \sin 2x$, avec $A$,\: $B$ réels quelconques.
\item %Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij.

%Déterminer la fonction $f$ solution de l'équation différentielle (E), dont la courbe représentative passe par le point A de coordonnées $\left(\dfrac{\pi}{2}~;~- \sqrt{3}\right)$ et admet en ce point une tangente de coefficient directeur $2$.
Il faut trouver les réels $A$ et $B$ tels que :

$\left\{\begin{array}{l c l}
f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)&=&- \sqrt{3}\\
f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)&=&2
\end{array}\right.$

Or $f'(x) = - 2A \sin 2x + 2N \cos 2x$. Le système s'écrit donc :

$\left\{\begin{array}{l c l}
A\cos \pi + B \sin \pi&=&- \sqrt{3}\\
- 2A\sin \pi - 2B \cos \pi&=&2
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
- A&=&- \sqrt{3}\\
2B&=&2
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
A&=& \sqrt{3}\\
B&=&1
\end{array}\right.$

On a donc : $f(x) = \sqrt{3}\cos 2x + \sin 2x$.
\item 	%Vérifier que, pour tout nombre réel $x,~ f(x) = 2 \cos \left(2x  + \dfrac{\pi}{6}\right).$
On a $2 \cos \left(2x  + \dfrac{\pi}{6}\right) = 2\cos 2x\cos \frac{\pi}{6} - 2 \sin 2x \sin \frac{\pi}{6} = 2\times \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x - 2 \times \frac{1}{2}\sin 2x = \sqrt{3}\cos 2x + \sin 2x = f(x).$
\item 	%Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0~ ;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.
La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0~ ;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ est égale à :

$\dfrac{1}{\frac{\pi}{2} - 0}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x)\:\text{d}x = 
\dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[\sqrt{3}\cos 2x + \sin 2x \right]\:\text{d}x = \dfrac{2}{\pi}\left[\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x - \dfrac{1}{2}\cos 2x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} =$

$ \dfrac{2}{\pi}\left[\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin \pi -  \dfrac{1}{2}\cos \pi - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 0 + \dfrac{1}{2}\cos 0\right] = \dfrac{2}{\pi}\left[\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \right] = \dfrac{2}{\pi}$.
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation	$\dfrac{1}{2}z^2 + z + 1 =  0$.
		
		On a $\Delta = 1 - 4 \times \dfrac{1}{2}  = - 1 = \text{i}^2$.
		
		Il y a donc deux solutions complexes conjuguées :
		
		$z_1 = \dfrac{- 1 + \text{i}}{2\times \frac{1}{2}} = - 1 + \text{i}$ et $z_2 = - 1 - \text{i}$.
		\item  %On note $z_{1},\:  z_{2},~ z_{3}$ et $z_{4}$ les nombres complexes définis par :
%\[z_{1} = -1+ \text{i},\quad 	z_{2}= \overline{z_{1}},\quad 	z_{3} = - 2 \quad  	\text{et}~ z_{4}= -2z_{1}.\]
%Écrire $z_{2}$ et $z_{4}$ sous forme algébrique.
On retrouve bien $z_1$ et $z_2$ de la question précédente.

$z_2 = - 1 - \text{i}$ ; $z_4 = - 2(- 1 + \text{i}) = 2 - 2\text{i}$.
	\end{enumerate}
\item %Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique: 1 cm).

%On désigne par A, B, C et D les points d'affixes respectives $z_{1},~ z_{2},~ z_{3}$ et $z_{4}$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Placer les points A, B, C, D dans le repère \Ouv.
Voir à la fin de l'exercice.
		\item  %On note I le milieu du segment [CD]. Déterminer l'affixe du point I.
		On a I$(0~;~-1)$ 
		\item  %Montrer que le triangle ACD est rectangle.
		On a : AC$^2 = (- 2 + 1)^2 + +(0 - 1)^2 = 1 + 1 = 2$ ;
		
		AD$^2 = (2 + 1)^2 + (- 2 - 1)^2 = 9 + 9 = 18$ ;
		
		CD$^2 = (2 + 2)^2 +  (- 2 + 0)^2 = 16 + 4 = 20$.
		
		$2 + 18 = 20 \iff \text{AC}^2 + \text{AD}^2 = \text{CD}^2 \iff $ ACD est un triangle rectangle en A d'hypoténuse [CD] 
		\item  %Préciser le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle ACD.
		On sait que le triangle rectangle en A, ACD est inscrit dans le cercle de diamètre [CD] donc de centre I et de rayon $\dfrac{\text{CD}}{2} = \dfrac{\sqrt{20}}{2} = \sqrt{5}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-3.3)(3,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3,-3.3)(3,2)
\psdots[linecolor=red](-1,1)(-1,-1)(-2,0)(2,-2)(0,-1)
\uput[ul](-1,1){A}\uput[d](-1,-1){B}\uput[dl](-2,0){C}\uput[dr](2,-2){D}\uput[l](0,-1){I}
\pspolygon(-1,1)(-2,0)(2,-2)
\pscircle[linecolor=blue](0,-1){2.23607}
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\medskip
	
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par
 
\[f (x) = \left(3 - x^2\right) \text{e}^x.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthononnal \Oij.

Une partie de la courbe $\mathcal{C}$ est représentée sur la feuille annexe, à rendre avec la copie.

\medskip

\textbf{Partie I : étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Étudier la limite de $f$ en $+ \infty$.
De $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 3 - x^2 = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x = + \infty$, on déduit par produit de limites que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.
		\item  %Étudier la limite de $f$ en $- \infty$. On pourra utiliser le résultat suivant : $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x^n\text{e}^x = 0 ~;~ n \in \N$.
		On a $f(x) = 3\text{e}^x - x^2\text{e}^x$.
		
Comme $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\text{e}^x = 0$ et que l'on nous dit que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}x^2\text{e}^x = 0$, on a par somme de limites : $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}f(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\item 	%On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(x)$.
		$f$ produit de fonctions dérivables sur $\R$ est dérivable sur $\R$ :
		
		$f'(x) - 2x\text{e}^x + \left(3 - x^2\right) \text{e}^x = \text{e}^x\left(- x^2 - 2x + 3 \right) = \left(- x^2 - 2x + 3 \right)\text{e}^x$.
		\item %Étudier le signe de $f'$ sur $\R$.
Comme $\text{e}^x > 0$, quel que soit e réel $x$, le signe de $f'(x)$ est celui du trinôme $- x^2 - 2x + 3$.

Celui-ci a une racine évidente : 1 ; il peut donc s'écrire :

$- x^2 - 2x + 3 = (x - 1)(- x - 3)$. L'autre racine est donc $- 3$.

On sait que ce trinôme est négatif sauf entre les racines soit sur l'intervalle $]- 3~;~1[$.
		\item %Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
De la question précédente on déduit que :
		
$\bullet~~$$f'(x) > 0$ sur $]- 3~;~1[$ : $f$ est croissante sur cet intervalle ;
		
$\bullet~~$$f'(x) < 0$ sur	$]- \infty~;~-3[$ et sur $]1~;~+ \infty[$.

$\bullet~~$$f'(- 3) = f'(1) =  0$  ; $f(- 3) = -6\text{e}^{-3} \approx - 0,3$ et $f(1) = 2\text{e} \approx 5,44$ sont les extremums de cette fonction. D'où le tableau de variations :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,2.5)
\psframe(7,2.5) \psline(0,1.5)(7,1.5) \psline(0,2)(7,2)\psline(1,0)(1,2.5)
\uput[u](0.5,1.9){$x$} \uput[u](1.5,1.9){$- \infty$} \uput[u](3,1.9){$- 3$}\uput[u](5,1.9){$1$}\uput[u](6.5,1.9){$+ \infty$}
\rput(0.5,1.75){$f'(x)$}\rput(0.5,0.75){$f(x)$} 
\uput[d](1.5,1.5){0} \uput[u](3,0){$-6\text{e}^{-3}$} \uput[d](5,1.5){$2\text{e}$} \uput[u](6.5,0){$- \infty$}
\psline{->}(1.5,1)(2.5,0.5) \psline{->}(3.5,0.5)(4.5,1) \psline{->}(5.5,1)(6.5,0.5) 
\end{pspicture}
\end{center}	
	\end{enumerate}
\item	%Déterminer les coordonnées des points A et B, points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.
Les points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses ont des abscisses qui vérifient : 

$f(x) = 0 \iff \left(3 - x^2\right) \text{e}^x \iff 3 - x^2 = 0 \iff x = \sqrt{3}$ ou $x = - \sqrt{3}$.

Donc A$\left(- \sqrt{3}~;~0\right)$ et B$\left(0~;~\sqrt{3}\right)$.
\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Partie II: Tracé d'une parabole}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\mathcal{P}$ la parabole d'équation $y =  6 - 2x^2$.

%Vérifier que les points A et B, définies à la question 3 de la partie I, appartiennent à la parabole $\mathcal{P}$.
On a : $6 - 2\left(- \sqrt{3}\right)^2 = 6 - 2\times 3 = 0$ et $6 - 2\left( \sqrt{3}\right)^2 = 6 - 2\times 3 = 0$.

Les points A et B appartiennent à la parabole $\mathcal{P}$.
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  %Vérifier que, pour tout nombre réel $x$,
		
$\left(6 - 2x^2\right) - f(x) =  \left(6 - 2x^2\right) - \left(3 - x^2\right) \text{e}^x = 2\left(3 - x^2\right) - \left(3 - x^2\right) \text{e}^x = \left(3 - x^2\right)\left(2 - \text{e}^x \right)$.
		\item  %Montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left[- \sqrt{3}~;~ \ln 2\right]$,
		
% \[\left(3- x^2\right)\left(2- \text{e}^x\right) \geqslant 0.\]

$\bullet~~$$3 - x^2 \geqslant 0$ sur l'intervalle $\left[- \sqrt{3}~;~\sqrt{3}\right]$ donc a fortiori sur l'intervalle $\left[- \sqrt{3}~;~ \ln 2\right]$ ;

$\bullet~~$$2 - \text{e}^x \geqslant 0 \iff 2 \geqslant \text{e}^x \iff \ln 2 \geqslant x \iff x \leqslant \ln 2$ ; donc $2 - \text{e}^x \geqslant 0$ sur l'intervalle $\left[- \sqrt{3}~;~ \ln 2\right]$.

Conclusion : sur l'intervalle $\left[- \sqrt{3}~;~ \ln 2\right]$, \: $\left(3- x^2\right)\left(2- \text{e}^x\right) \geqslant 0$.
		\item 	%En déduire que, sur l'intervalle $\left[- \sqrt{3}~;~ \ln 2\right]$, la parabole $\mathcal{P}$ est au-dessus de la courbe $\mathcal{C}$.
		Le résultat précédent montre que sur l'intervalle $\left[- \sqrt{3}~;~ \ln 2\right]$, \: $\left(6 - 2x^2\right) - f(x) \geqslant 0$, ce qui signifie géométriquement que la parabole $\mathcal{P}$ est au-dessus de la courbe $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\item %Tracer la parabole $\mathcal{P}$ sur la feuille annexe, à rendre avec la copie.
Voir à la fin en rouge.
\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Partie III : Calcul d'aires}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %On considère la fonction $G$ définie sur $\R$ par
 
\[G(x) = \left(x^2 - 2x + 2\right)\text{e}^x.\] 

	\begin{enumerate}
		\item  %On note $G'$ la fonction dérivée de la fonction $G$. Calculer $G'(x)$.
		On a $G'(x) = (2x - 2)\text{e}^x + \left(x^2 - 2x + 2\right)\text{e}^x =  \text{e}^x\left(2x - 2 +  x^2 - 2x + 2\right) = x^2\text{e}^x$.
		\item  %En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$.
		Puisque $f(x) = 3\text{e}^x - x^2\text{e}^x$, d'après le résultat précédent, une primitive sur $\R$ de $f$ est la fonction $F$ définie par :
		
		$F(x) = 3\text{e}^x - \left(x^2 - 2x + 2\right)\text{e}^x = \left(- x^2 + 2x +1\right)\text{e}^x$.
	\end{enumerate}
\item 	%On considère le domaine du plan limité par les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$, les droites d'équations	respectives $x= -\sqrt{3}$ et $x = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item %Hachurer le domaine sur la feuille annexe, à rendre avec la copie.
Voir à la fin.
		\item %On note $\mathcal{A}$ l'aire du domaine $\mathcal{D}$. Calculer l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire.
		
%Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{-2}$.
Une primitive de la fonction $x \longmapsto 6 - 2x^2$ est $6x - \dfrac{2}{3}x^3$.

On a vu que sur l'intervalle $\left[- \sqrt{3}~;~ \ln 2\right]$, donc en particulier sur l'intervalle $\left[- \sqrt{3}~;~0\right]$, la parabole est au dessus de la courbe $\mathcal{C}$, donc l'aire $\mathcal{A}$ est égale (en unité d'aire) à l'intégrale :

$\displaystyle\int_{- \sqrt{3}}^0 \left[\left(6 - 2x^2\right) - \left(3 - x^2\right) \text{e}^x\right]\:\text{d}x = \left[6x - \dfrac{2}{3}x^3 - F(x)\right]_{- \sqrt{3}}^0 =  
\left[6x - \dfrac{2}{3}x^3 - \left(- x^2 + 2x +1\right)\text{e}^x\right]_{- \sqrt{3}}^0 =$ 


$0  - 1  + 6\sqrt{3} - \dfrac{2}{3}\times 3\sqrt{3} - \left(- 3 - 2\sqrt{3} + 1\right)\text{e}^{- \sqrt{3}}   =  4\sqrt{3} - 1 + \left(2 + 2\sqrt{3} \right)\text{e}^{-\sqrt{3}}   \approx 4,96$.~(u. a.)

On peut approximativement vérifier ce résultat sur la figure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe (à rendre avec la copie)}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-4)(3,7)
\psgrid[gridlabels=0pt]
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none](0,0)(-5,-4)(3,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-5}{1.897}{3 x 2 exp sub 2.71828 x exp mul}
\uput[r](2,-3){\blue $\mathcal{C}$}

\psline[linestyle=dashed](0.693,0)(0.693,5.039)\uput[ur](0.693,0){$\ln 2$}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[linecolor=red,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1.732}{0}{6 x dup mul 2 mul sub}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{-1.732}{3 x 2 exp sub 2.71828 x exp mul}
}
\psplot[linecolor=red,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2}{1.897}{6 x dup mul 2 mul sub}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-5}{1.897}{3 x 2 exp sub 2.71828 x exp mul}
\psframe*[linecolor=white](-0.65,3.3)(-0.35,3.7)\rput(-0.5,3.5){$\mathcal{D}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}