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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{19 juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Métropole juin 2009~\decofourright\\[4pt]Chimie de laboratoire et de procédés industriels}} 
\end{center}
    
\vspace{0,4cm}

% Calculatrice et formulaire autorisés \hfill 3 heures 
%
%\vspace{0,4cm}
%
%\begin{center}
%
%Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4
%
%\end{center}
%
%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

%On considère l'équation différentielle
 
%\[2y' + y = 0 \quad 	(E),\] 

%où l'inconnue $y$ est une fonction définie et dérivable sur $\R$.
 
\begin{enumerate}
\item %Résoudre l'équation différentielle (E).
(E) peut s'écrire $y' + \dfrac{1}{2}y = 0 \iff y' = - \dfrac{1}{2}y$. On sait que les solutions sont de la forme : 

$y = C\text{e}^{-\frac{1}{2}x}$, avec $C \in \R$. 
\item %On note $f$ la solution de l'équation différentielle (E) vérifiant $f(0) = 2$. 

%Montrer que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x) =  2\text{e}^{-\frac{x}{2}}$.
On a $f(0) = 2 \iff  C\text{e}^{-\frac{1}{2} \times 0} = 2 \iff C = 2$.
Donc : $f(x) = 2\text{e}^{-\frac{1}{2}x}$.
\item %On note $M$ la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~2].
 
%Calculer $M$. On donnera la valeur exacte de $M$ et son arrondi à $10^{-1}$ près.
On a $M = \dfrac{1}{2 - 0}\displaystyle\int_{0}^2  2\text{e}^{-\frac{1}{2}x}\:\text{d}x = \dfrac{1}{2}\left[- 4\text{e}^{-\frac{1}{2}x}  \right]_{0}^{2} = \dfrac{1}{2}\left[- 4\text{e}^{- 1} + 4 \text{e}^{0}\right]  = 2\left(1 -  \text{e}^{- 1}  \right) \approx 1,3$ à 0,1 près. 
\item On sait depuis le départ que $f'(x) = - \dfrac{1}{2}f(x) = - \text{e}^{- \frac{x}{2}} < 0$, car $\text{e}^x > 0$ quel que soit le réel $x$. La fonction $f$ est donc décroissante ce qui élimine le graphique 3.

D'autre part $f(1) = 2 \text{e}^{- \frac{1}{2}} \approx 1,21$ : le bon graphique est le \no 2.

%La courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~2] est donnée par l'un des trois graphiques suivants : 
\end{enumerate}

\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture*}(-0.5,-0.6)(2.2,3.2)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1](0,0)(-0.5,-0.6)(2.2,3.2)
%\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=1.25pt,subgriddiv=1,griddots=8,gridcolor=orange](0,0)(-0.5,-0.6)(2.2,3.2)
%\pscurve(0,2)(1,0.77)(2,0.3)
%\end{pspicture*}&\begin{pspicture*}(-0.5,-0.6)(2.2,3.2)
%\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-0.5,-0.6)(2.2,3.2)
%\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=1.25pt,subgriddiv=1,griddots=8,gridcolor=orange](0,0)(-0.5,-0.5)(2.2,3.2)
%\psplot{0}{2}{2 2.71828 x 2 div exp div}
%\end{pspicture*}&\begin{pspicture*}(-0.5,-0.6)(2.2,3.2)
%\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-0.5,-0.6)(2.2,3.2)
%\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=1.25pt,subgriddiv=1,griddots=8,gridcolor=orange](0,0)(-0.5,-0.6)(2.2,3.2)
%\pscurve(0,2)(1,2.45)(2,3)
%\end{pspicture*}\\ \hline
%Graphique 1 &Graphique 2&Graphique 3 \\ \hline
%\end{tabularx}
% 
%\medskip 
%
%Quel est le graphique qui donne la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~ 2] ? On explicitera le raisonnement qui a conduit au choix de ce graphique.

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 6 points}

\medskip

%On note i le nombre complexe de module 1 et dont un argument est $\dfrac{\pi}{2}$.
 
%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 2~cm). 

%On considère les points A, B, C d'affixes respectives : 
%\[ z_{\text{A}} = 3 + \text{i}\sqrt{3},~ z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}} },~  z_{\text{C}} = 2. \]

\begin{enumerate}
\item %Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_{\text{A}},~z_{\text{B}},~z_{\text{C}}$.
On a $\left|z_{\text{A}} \right|^2 = 3^2 + \left(\sqrt{3}\right)^2 = 9 + 3 = 12 = \left(2\sqrt{3} \right)^2 \Rightarrow  \left|z_{\text{A}} \right| = 2\sqrt{3}$.

Donc $z_{\text{A}} = 2\sqrt{3}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2}\right) = 2\sqrt{3}\left(\cos \frac{\pi}{6} + \text{i}\sin \frac{\pi}{6} \right)$.

Un argument de $z_{\text{A}}$ est donc $\dfrac{\pi}{6}$.

$z_{\text{B}}$ étant le conjugué de $z_{\text{A}}$ son module est le même : $2\sqrt{3}$ et un de ses arguments est $- \dfrac{\pi}{6}$.

Enfin le module de $z_{\text{C}}$ est égale à 2 et un de ses arguments vaut $0$.
\item %Écrire les nombres complexes $z_{\text{A}}$ et  $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle.
On a donc  $z_{\text{A}} = 2\sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et $z_{\text{B}} = 2\sqrt{3}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
\item %Placer les points A, B, C sur une figure.
Voir à la fin. 
\item %Déterminer l'affixe du point A$'$ symétrique du point A par rapport au point C.
On a donc $z_{\text{C}} = \dfrac{1}{2}\left(z_{\text{A}} +  z_{\text{A}'}\right) \iff 2z_{\text{C}} = z_{\text{A}} +  z_{\text{A}'} \iff  z_{\text{A}'} = 2z_{\text{C}} - z_{\text{A}} = $

$z_{\text{A}'} =  4 - 3 -  \text{i}\sqrt{3} = 1 - \text{i}\sqrt{3}$.
\item %Montrer que les points A, B, A$'$ et O appartiennent à un même cercle de centre C.
Calculons CA$^2 = \left|z_{\text{A}} - z_{\text{C}} \right|^2 = \left|3 + \text{i}\sqrt{3} - 2 \right|^2 = \left| 1 + \text{i}\sqrt{3} \right|^2 = 1 + 3 = 4$ ;

CB$^2 = \left|z_{\text{B}} - z_{\text{C}} \right|^2 = \left|3 - \text{i}\sqrt{3} - 2 \right|^2 = \left| 1 - \text{i}\sqrt{3} \right|^2 = 1 + 3 = 4$ :

CA$'^2 = \left|z_{\text{A}'} - z_{\text{C}} \right|^2 =  \left|1 - \text{i}\sqrt{3} - 2  \right|^2 = \left| - 1 - \text{i}\sqrt{3}\right|^2 = 1 + 3 = 4$ ;

Enfin CO$^2 = 2^2 = 4$.

Conclusion : CA$^2 = \text{CB}^2 = \text{CA}'^2 = \text{CO}^2 = 4 = 2^2$, donc les points A, B, A$'$ et O appartiennent au cercle de centre C et de rayon $2$.
%On précisera le rayon de ce cercle. 
\item %\emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}

%Montrer que la droite (AC) est une médiane du triangle OAB.
Puisque C est équidistant de A, B et O il est le point commun aux trois médiatrices du triangles ABO.

Or AB$^2 = \left|z_{\text{B}} - z_{\text{A}} \right|^2 = \left|3 - \text{i}\sqrt{3} - \left(3 + \text{i}\sqrt{3}\right)\right|^2 = \left| -2\text{i}\sqrt{3} \right|^2 = 12 = \left(2\sqrt{3}\right)^2$.

Donc AB = OA = OB $ = 2\sqrt{3}$ : le triangle OAB est équilatéral, donc les médiatrices sont aussi les médianes et en particulier la droite (AA$'$) est la médiane du triangle ABO.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3.5,-3.5)(5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-4,-4)(5,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3.5,-3.5)(5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscircle(0,0){3.4641}\pscircle(2,0){2}
\psdots(3,1.732)(3,-1.732)(2,0)(1,-1.732)
\uput[u](3,1.732){A}\uput[d](3,-1.732){B}\uput[dr](2,0){C}\uput[d](1,-1.732){A$'$}\uput[dl](0,0){O}
 \psline(3,1.732)(1,-1.732)

\pspolygon(3,1.732)(3,-1.732)(0,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 9 points}

\medskip
 
%Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\R$ par
% 
%\[f(x) = x + \text{e}^{-x}.\]
% 
%On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 2~cm). 

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{- x} = 0$, donc  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
\item %Vérifier que, pour tout nombre réel $x,~f(x) =  \text{e}^{-x}\left(x\text{e}^x  + 1\right)$.
On peut écrire :

$f(x) =  \text{e}^{-x} \times \text{e}^{x} \times x + \text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}\left(x\text{e}^x  + 1\right)$.

%En déduire la limite de la fonction $f$ en $- \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x \text{e}^{x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x  + 1 = 1$ et comme $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{-x} = + \infty$, par produit de limites on a, 

$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty$.
\item  %On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(x)$.
$f$ est dérivable sur $\R$ comme somme de fonctions dérivables sur $\R$ et  $f'(x) = 1 - \text{e}^{-x}$.
		\item %Résoudre l'équation $f'(x) = 0$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? 
$f'(x) = 0 \iff 1 - \text{e}^{-x} = 0 \iff 1 = \text{e}^{-x} \iff \ln 1 = -x$ (par croissance de la fonction ln) d'o\`u finalement $x = 0$.

La courbe $\mathcal{C}$ a donc un extremum en $0$, le point de coordonnées (0~;~1).
		\item %Étudier le signe de la fonction $f'$ sur $\R$.
On a $f'(x) > 0 \iff 1 - \text{e}^{-x} \iff 1 > \text{e}^{-x} \iff 0 > - x \iff x > 0$ ;

De même  $f'(x) < 0 \iff x < 0$ ;

Enfin $f'(0) = 0$.
		\item %Établir le tableau de variations de la fonction $f$ (on indiquera les limites).
De la question précédente on en déduit les variations de la fonction $F$ :
		
\medskip
		
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)\psline(0,2)(8,2) \psline(0,2.5)(8,2.5)
\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.4,2.5){$- \infty$} \uput[u](5,2.5){$0$} \uput[u](7.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(1,2.25){$f'$} \rput(1,1){$f(x)$}
\rput(3.5,2.25){$-$}\rput(5,2.25){$0$} \rput(6.5,2.25){$+$}
\psline{->}(2.5,1.5)(4.5,0.4) \psline{->}(5.5,0.4)(7.7,1.5) 
\uput[d](7.5,2){$+ \infty$} \uput[d](2.3,2){$+ \infty$}\uput[u](5,0){$1$}
\end{pspicture}

\medskip

\end{center}		 
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = x$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
		On a $f(x) - x = \text{e}^{-x}$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = 0$ entra\^{\i}ne que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) - x = 0$, ce qui montre que la droite $\Delta$ d'équation $y = x$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini.
	\item %Déterminer la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\Delta$.
	Comme la différence  $f(x) - x$ est égale à une exponentielle qui représente un nombre positif, on peut en déduire que la la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de son asymptote quel que soit le réel $x$.
	\item %Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\Delta$.
Voir plus bas. 
	\end{enumerate}
\item  Calcul d'aire 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$.
		Une primitive de $f$ est la fonction $F$ définie par $F(x) = \dfrac{x^2}{2} - \text{e}^{- x}$ 
		\item %Soit $\mathcal{S}$ la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la  droite d'équation $x = 2$.
La fonction $f$ étant positive l'est en particulier sur l'intervalle [0~;~2], donc l'aire de $\mathcal{S}$, exprimée en unités d'aire de la partie du plan est égale à l'intégrale :

$\mathcal{A} = \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x = \left[F(x) \right]_{0}^2 = F(2) - F(0) =  \dfrac{2^2}{2} - \text{e}^{- 2} - \left(\dfrac{0^2}{2} - \text{e}^{- 0} \right) =$

$2 - \text{e}^{- 2} + 1 = 3 - \text{e}^{- 2}.$~(u. a.)

On a $\mathcal{A} \approx 2,86$~(u. a.)

%Soit $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie $\mathcal{S}$. 
Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$ puis son arrondi à $10^{-2}$ près.

L'unité d'aire valant $2 \times 2 = 4$~cm$^2$,  $\mathcal{A} = 4\left(3 - \text{e}^{- 2}\right) \approx 11,44$~cm$^2
$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-0.5)(4,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-0.5)(4,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.5pt]{-0.5}{4}{x}
\uput[d](2.5,2.5){$\Delta$} \uput[ur](-1.5,3){\blue $\mathcal{C}$}\uput[u](4,0){$x$}\uput[r](0,5){$y$}\uput[dr](0,0){O}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.936}{4}{x 2.71828 x neg exp add}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{x 2.71828 x neg exp add}
\psline(2,0)(0,0)
}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}